導數在經濟學中的應用

劉馨婷 深圳市育才中學

引言：作為一門十分重要的基礎學科，數學在許多領域都有著廣泛的應用。很多研究人員需要用數學語言描述自己的理論，許多自然科學理論都可以通過數學運算與數學推導得到，故數學在各個行業都有著廣泛的應用。

微積分是高等數學的一個重要分支，也是經濟數學的基礎。導數是微積分理論中的重要概念之一，幾乎一切研究變化率的問題都離不開導數。在物理學中，可以通過導數求解物體的速度與加速度；在化學中，可以通過導數計算可逆反應速率；在生物學中，可以通過導數求解微生物的繁殖速度。在經濟學中，導數更是有著非常廣泛的應用。應用導數的知識，我們可以高效地分析經濟問題中的多個邊際量。此外，在構建復雜的經濟學模型后，我們常常需要應用導數的知識，對模型進行求解，從而得到結果。隨著經濟學理論的日益完善，導數將在經濟學分析中發揮更重要的作用。本文簡要介紹了導數的概念，分析了將導數用于經濟分析的重要性，并探討了導數在經濟學中的應用。

一、將導數用于經濟分析的重要性

在應用數學方法解決經濟問題時，經濟學家可以將問題簡化為數學模型，通過對模型進行求解，他們可以高效地得到可靠的結論。在應用數學知識分析問題的過程中，經濟學家能夠較為客觀地分析問題，避免主觀因素對結果產生影響。此外，經濟學家可以借助數學模型，簡潔而準確地表達自己的觀點。可以說，數學在經濟分析中發揮著十分重要的作用[1]。

在經濟分析中，研究者常常需要計算當一個經濟變量發生變化時，另一個經濟變量將發生何種變化。應用與導數相關的知識，研究者可以高效地解決這類問題。導數是描述因變量隨自變量變化的規律的有力工具，它可以幫助經濟學家精確地計算當一個經濟變量（如可支配收入）產生微小的增量時，另一個經濟變量（如消費）的增量。通過計算導數、尋找駐點，經濟學家可以高效地確定如何使后者達到最值。可以說，導數是經濟學家有力的分析工具。

二、導數在經濟學中的應用

（一）邊際分析

在企業的經營和管理的過程中，經營者常常需要分析生產和銷售情況，制定合適的經營策略。邊際分析是研究自變量的變化會對因變量的變化產生何種影響的方法。企業的經營者需要運用邊際分析，提高經營活動的收益。如果企業的經營者考慮提高產量，那么他們需要進行邊際分析，以確保在生產更多產品時，企業可以獲得更豐厚的利潤。邊際分析可以幫助企業的經營者決定如何分配資源，從而降低成本，提高收入和利潤。

1.邊際成本

例如，一家面包店的日平均銷售量為1000個面包，平均一個面包的材料成本（除工資外的主要可變成本）為2元。目前，該面包店在正常營業時間內的最大面包生產量為1200個，如果需要每天生產超過1200個面包，則需要額外支付員工的加班工資和交通費用。通常情況下，訂購數量不超過1200時，訂購數量越多，盈利越多。而訂購數量超過1200時，經營者需要比較面包售價和邊際成本（此處所指的邊際成本為材料成本加額外的加班工資和交通費用）后，才能做出決定，不能簡單地認為訂購量越多越好。

2.邊際收入

3.邊際利潤

在利用導數求解邊際利潤時，經濟學家可以高效地得到某種產品的最大利潤。設L(x)代表產品銷量為x的情況下的利潤，根據經濟學常識，由L(x)=R(x)-C(x).對公式的兩邊求導可得，L’(x)=R’(x)-C’(x)，L’(x)即為邊際利潤。根據函數極值的相關知識，當L’(x)=0時，函數在這一點有極值，有可能是極大或者極小值。當L’’(x)＜0時，利潤函數在這一點可以取得極大值。

例如，某面粉加工廠的經營者在對其產品的銷售情況進行統計分析后，得出其利潤為L(x) （元）與每月產量Q（噸）的關系為L(x)=36000x-225x2，他們希望求出產量在70噸、80噸、90噸時邊際利潤的數值。在解決這個問題的過程中，我們需要首先求出L(x) 對x的導數，應為L’ (x)=36000-450x。將不同的產量分別帶入公式計算，可得出L’(70)=4500，L' (80)=0，L’ (90)=-4500。這說明，每月生產70噸時邊際利潤為4500元，每月生產80噸時邊際利潤為0元，每月生產90噸時邊際利潤為-4500元，也就是說，當每月生產量為80噸時企業可以獲得最高利潤[4]。

（二）需求價格彈性

為了增加銷售收入，企業常常采取“薄利多銷”這一銷售策略。不過，在降低價格后，企業不一定能獲得更高的收入。企業收入的變化趨勢，與商品本身的性質和市場狀況都有一定的關系。經濟學家常常應用與需求定律相關的知識，確定降低價格后企業收入的變化情況。

“需求定律”是由偉大的英國經濟學家阿爾弗雷德·馬歇爾（Alfred Marshall，1842-1924）最早提出的，是經濟學的重要定律，被稱為“經濟學中最著名的定律”、“經濟學家最確定的定律”。根據“需求定律”，商品價格越高，消費者購買的商品越少。應用這一定律，經濟學家可以評估消費者對價格變化的敏感性，預測消費者的行為。

在日常生活中，我們可以找到許多與需求價格彈性相關的例子。替代品較少的商品，其需求價格彈性通常較低。主食就是一個很好的例子，很少有商品可以替代主食，因此，主食的需求價格彈性較低。可替代性較強的商品通常具有較高的彈性。因此，奢侈品的需求價格彈性通常較高[5]。

需要注意的是，同一種商品的短期及長期彈性可能不同。在短期內，如果某一型號汽車的價格不斷逐漸上升，那么消費者可能會轉而購買其他型號的汽車，也就是說，消費者對特定型號汽車的需求可能有很高的彈性。不過，從長遠來看，由于幾乎沒有其他交通方式，農村居民對汽車的需求可能沒有彈性。在決策的過程中，企業的經營者應深入分析該商品的需求價格彈性，及時調整商品的價格，從而獲得更高的銷售收入[6]。

（三）采購決策

為了更好地進行成本管理，企業的經營者和管理者常常需要制定合適的采購策略。相關人員需要把握原料價格的變化規律，從而降低原料成本。他們常常需要應用與導數有關的知識，分析確定原料價格的最低值。一個工廠需要采購原料A，原料A的價格P存在季節性波動，我們如果用x代表月份（x為整數，1≤x≤12），并將P0作為該原料在年初時的價格，可以將該原料價格變化規律總結為P(x)=P0＊(sin(x^0.7)+2)，求在幾月的時候購買該原料最劃算？

在分析這個問題的過程中，我們應當注意原料價格的變化規律。經過分析可知，原料的價格存在著一定的周期性變化規律，且周期逐漸變長。因此，找到原料價格在一年當中的最低點，是解決該問題的關鍵。我們可以應用導數的知識求解。P’(x)=P0＊0.7＊cos(x^0.7)/x^0.3，由三角函數的性質可知，當1.00＜x＜1.90時，P’(x)＞0，價格隨時間的推移逐漸上升；當1.90＜x＜9.15時，P’(x)＜0，價格隨時間的推移逐漸下降；當9.15＜x＜12.00時，P’(x)＞0，價格隨時間的推移逐漸上升。因此，當x介于9和10之間時，P(x)可以取得最小值。經計算得知，P(9)= 1.00＊P0，P(10)= 1.04＊P0＞P(9)。因此，在九月的時候，該原料的價格最低，為1.00＊P0。該工廠應該在九月的時候采購原料A，從而節約生產成本。

（四）營運資金決策

三、結語

在復雜多變的經濟環境下，經濟學家在分析問題時，需要建立相關的數學模型，才能更準確、高效地解決相關問題。應用與導數相關的知識，經濟學家可以高效地計算經濟變量的最優值，預測相關變量的變化趨勢，為決策提供可靠的依據，這有助于企業獲得更豐厚的利潤，在激烈的市場競爭中更好地生存。需要注意的是，在運用數學知識解決經濟學問題時，經濟學家應當扎實地掌握相關理論知識，充分考慮到實際情況的具體特征，才能更好地發揮數學在經濟分析中的作用。