阿達馬不等式的證明

王子晗 黎雄

【摘要】本文給出了阿達馬不等式的代數證法以及利用拉格朗日乘子的分析證法，同時討論了阿達馬不等式取等號的充要條件.

【關鍵詞】二次型;矩陣;條件極值

一、引言

該不等式不僅描述了行列式的一個代數性質，也具有更為直觀的幾何意義.我們知道，n階行列式的幾何意義是該行列式的所有行向量所張成的平行2n面體的n維有向體積.阿達馬不等式的左邊就是這個有向體積的平方，而右邊就是組成該2n面體的每個行向量長度的平方的乘積.也就是說，n個向量所張成的平行2n面體的n維有向體積的絕對值小于或等于這n個向量長度的乘積.n≤3的結論是明顯的，而n≥4的結論幾何上不太容易想象.

取等號的情形在這一幾何角度來看也很明顯.一種情形是n個基向量兩兩正交，其張成的是n維長方體，其體積等于這n條邊長度的乘積;另一種情形是基向量包含零向量，張成的平行體的維數小于n，其n維體積當然為零.

本文從《簡明數學分析》中證明該不等式的一道例題入手，不僅給出了原書中利用拉格朗日乘子的方法證明阿達馬不等式取等號的充要條件，也利用高等代數中的二次型相關知識證明了阿達馬不等式.

因此矩陣A-的所有行向量兩兩正交.

【參考文獻】

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[2]郇中丹，劉永平，王昆揚.簡明數學分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2018.