圓錐曲線中過定點問題的常用解法

王術堅

【摘要】圓錐曲線的定點、定值問題是高考的考查熱點問題，其對學生數學學科素養的培養具有舉足輕重的作用，而圓錐曲線的大題往往因難度較大，對學生的轉化化歸能力、推理能力、運算求解能力、以及創新應用能力要求較高，學生的掌握有一定的困難。筆者在疫情期間指導學生高考備考時就專門為全校師生開展過一節定點問題的網絡直播公開課，該課中所用的解題方法，對于解決2020年全國高考理科數學I卷中的解析幾何題第20題是有效的，本文就此做了一個總結和分享，與各位同仁一起探討。

【關鍵詞】圓錐曲線解法;直線系方程法;曲線系方程法

【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】1992-7711（2020）32-168-01

1.通過直線系方程求定點

解決定點問題的關鍵就是根據已知條件建立過定點（x0，y0）的直線系方程y-y0=k（x-x0）其中k為參數，這里的參數k無論怎么變化方程都會過這個定點。

例1 在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線的方程為y2=4x，直線l交拋物線于A、B兩點，若OA·OB=-4，求證直線l恒過定點。

思路探求：先設點A、B和直線l的方程，再聯立方程組，把韋達定理所得結果用到OA·OB=-4中，求出m的值，代入所設直線方程。

解：設點A、B坐標分別為（x1，y1）、（x2，y2），直線l的方程為y=kx+m，聯立拋物線的方程y2=4x，可得x2-4kx-4m=0，其中x1+x2=4k，x1x2=-4m.又OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+;;;;=-4，故解得m=2，所以直線l的方程為y=kx-2.因而直線過定點（0，-2）.

方法點睛：在解決此問題時要按照題目意思，利用已知條件，求出k與m的關系式代回原直線方程k=f（m）.

例2 已知拋物線的方程為y=x2+1，點M（t，0）為x軸上一動點，過點M做作兩條直線l1，l2與已知拋物線相切于P、Q兩點，求證直線PQ恒過定點。

思路探求：本題從兩個不同的角度求出切線的斜率建立等式，再由原函數對x12進行代換，求得P、Q兩點共同滿足的一次方程進行求解。

解：設點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2），對y=x2+1求導數得y'=2x，所以l1的斜率為2x1，又由M、Q兩點的坐標可求得l1的斜率;;，所以;;=2x1，因為點P（x1，y1）在拋物線上，所以y1=x12+1，將x12=y1-1代入;

=2x1得y1=2tx1+2，對于l2同理可得y2=2tx2+2，所以直線PQ恒過定點（0，2）.

方法點睛：P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點的坐標滿足一個一次方程，由兩點確定一條直線，可知這個方程就是所求直線方程，這條直線方程是y=2tx+2，顯然過定點（0，2）.

2. 從特殊情形入手找出定點，再證明該定點與變量無關

例3 過點（0，-1）的直線l交橢圓方程C：;? +; =1于A、B兩點，問是否存在定點T，使得以AB為直徑的圓恒過T點，若存在，求出T點的坐標，若不存在說明理由。

思路探求：本題可先考慮特殊情況，當直線l與坐標軸垂直時，易求出可能的目標點，當直線l與坐標不軸垂直時，可設先出點A、B的坐標，再利用TA·TB=0進行驗證可達到目的。

解：當直線l與x軸平行時，l的方程是y=-1，與橢圓C的方程聯立，求得點A、B的坐標分別為（-4，0）和（4，0），所以AB為直徑的圓方程是x2+（y+1）2=16①，當直線l與y軸平行時，點A、B的坐標分別為（0，3）和（0，-3），此時以AB為直徑的圓方程是x2+y2=9②，聯立①，②得交點（0，3）.

當直線l與坐標軸不垂直時，設直線l的方程為y=kx-1，點A、B坐標分別為（x1，y1），（x2，y2）

;;y=kx+1

由;; +;? =1，得（2k2+1）x2-4kx-16=0，因點（0，-1）在橢圓內，知Δ>0成立。所以x1+x2=;;? ，x1x2=;;;，而TA=（x1，y1-3），TB=（x2，y2-3）.TA·TB=x1x2+（y1-3）（y2-3）=（1+k2）;;; -;;; +16=0，故TA⊥TB所以AB以為直徑的圓過定點（0，3）.

方法點睛：直接要求出動圓的方程并不容易，這時可以轉換為數量積為0，如本題所用的方法：當動圓過定點時，可先利用特殊情況，找出可能的定點，再利用目標點與直徑端點構成兩向量數量積相等進行驗證。

3. 通過曲線系方程求出定點

例4 已知橢圓的方程為;? +; =1，其左右頂點分別為A、B，點P為橢圓上異于A、B兩點的動點，直線x=4與直線PA、PB分別交于M、N兩點，點E的坐標為（0，7），試問M、N、E過三點的圓是否過異于點E的定點，若是，求出定點E的坐標;若不是，請說明理由。

思路探究：該處出現兩條直線的斜率之積，實為橢圓的第三定義，人教版教材中以例題的形式出現過，所以易知斜率之積為-;? .由PA、PB的直線方程可得M、N兩點的坐標，進而求出圓的方程，觀察到該圓的一般方程恒過定點。

解：設PA、PB的斜率分別為k1、k2，點P坐標為（x，y），由橢圓方程知y2=;;;;所以k1k2=;;; =-;? ，易知PA的直線方程分別為y=k1（x+2），PB的直線方程是y=k2（x+2），所以點M的坐標為（4，6k1），點N的坐標是（4，2k2），而kME=-2k1，kNE=-;;所以kMEkNE=-1，所以M、N、E三點在以線段MN為直徑的圓上，所以該圓的圓心為（4，3k1+k2），半徑r=3k1-2k2，所以圓的方程為（x-4）2+[y-（3k1+k2）]2=（3k1-k2）2，即（x-4）2+y2-（6k1+2k2）y-9=0，直線恒過定點（1，0）或（7，0）（點E舍去）.

方法點睛：利用曲線的方程求定點，把曲線中的x、y看做常數，并把方程變形成f（x，y）+λg（x，y）=0，只要求出使f（x，y）=0與g（x，y）=0同時成立的解即可。

在高考備考中，通性通法是學生應該重點掌握的.定點問題是圓錐曲線的高頻考點，在解決此類問題時，學生除了掌握相關的基本知識外，還需要掌握通性通法，在變化中尋找不變性。定點問題也是考察學生的四基四能的有效載體，學生在平時的備考中，需要多思考、多練習、多總結。

【參考文獻】

[1]郝志永， 王進軍. 圓錐曲線中過定點問題的思考與推廣[J]. 數理化學習（高一二版）， 2019， 000（005）：43-44.

[2]厲偉星. 圓錐曲線中直線過定點問題探析[J]. 中學生數理化：學研版， 2020， 000（002）：P.15-15.