級數的收斂與發散問題

李紅巖

（唐山學院基礎部，河北 唐山 063000）

18世紀，關于級數的研究還沒有形成完整的體系，級數的收斂和發散問題并沒有引起數學家的重視。

牛頓、萊布尼茲以及拉格朗日和歐拉都把級數看成是多項式的代數形式。一開始，他們可能并沒意識到，求和不僅僅是有限項的和，也可以推廣到無限多項的和，因此，他們并沒有完全重視無窮級數帶給他們的問題。然而，研究工作中出現的關于無窮多項和的問題讓他們不得不提出新的研究方向。最有意思的是，如何解決這類問題，以及在其他問題中出現的相關困惑。

實際上，在17世紀就已經有人觀察到了收斂與發散的不同，同樣是英國的數學家布龍克爾在研究反比例函數在第一象限下的面積和y=lnx兩者之間的關系時，利用幾何級數，證明了ln2和這兩個級數的斂散性。牛頓和格雷戈里用級數的和來完善對數表、積分表及其他函數表。通過大量的計算，他們發現有些級數的和可能存在也可能不存在。而“收斂”和“發散”這兩個概念，格雷戈里早在1668年就提出過，但是他并沒有把這兩個概念加以深化和發展。而牛頓也認識到，關于級數的斂散性的問題，在相關研究中是必須要考慮的，他發現，當變量x取很小的值時，冪級數是收斂的，而當x取某些值時，冪級數的和可能是無窮大量。

1713年，萊布尼茲在寫給約翰·伯努利的信中第一次提到了現在已經成為定理的萊布尼茲判別法：一個級數的項，若其符號交替變化，每一項的絕對值單調減少并趨于零，則這個級數一定收斂。1742年，麥克勞林在他的著作《流數論》中提到：若一個流量可以表示為收斂的級數，那么它一定不能用一個代數項表示。麥克勞林還提出，一個收斂的級數，它的項一定是單調遞減的，并且小于任意的小正數，所以級數的前幾項的和幾乎等于這個級數的和。同樣在他的這本著作中，麥克勞林給出了用積分判斷級數是否收斂的判別法：級數∑nf(n)收斂的充要條件是有界，其中f(x)在積分范圍a≤x≤∞上有界且保持符號不變。

尼古拉·伯努利在1712年和1713年寫給萊布尼茲的信中也曾經提到過級數收斂性的某些想法和見解，他說：當級數中的x小于等于-1，且n是一個分數（分母為偶數）時，級數的和不存在。這說明，級數是否發散并不是決定級數的和不存在的唯一條件。他同時還指出。當都是發散的，但是第一個級數的和是一個實數，而第二個級數的和卻是一個虛數，所以，級數的和存在與否，是不能由級數發散來決定的。盡管他得出了這一結論，但是尼古拉·伯努利并沒有給出級數收斂的確切定義。萊布尼茲在回信中提出了“收縮”的概念，他同意伯努利的觀點，即不收縮的級數的和可以不存在。

在同一時期，歐拉也看到了發散級數在運算中的特殊情況，但是關于級數收斂和發散的概念，他們都沒有給出清晰的結論，但是歐拉也意識到，對于收斂的級數，級數的項必須單調遞減并趨于零。30年后，在與尼古拉·伯努利的通信中，歐拉關于級數的某些結論遭到了質疑，尼古拉·伯努利指出，通過確實可以得到但是并沒有對x的一般級數的斂散性給予證明，而且他還質疑歐拉，利用一個發散級數怎么可能得出一個數量或者函數的精確值，因為余項被忽略掉了。

歐拉如何回復伯努利我們已經不得而知了，但是他在后來給哥德巴赫的信中，引用了尼古拉·伯努利的理論，他說+1-2+6-24+120-720+…是沒有和的，他同時也指出，盡管這個發散級數的和不存在，但是這些發散級數都有一個確切的“值”。這個“值”就是由級數而得到的代數表達式的值。他在1743年寫給伯努利的回信中說：盡管對發散級數和的問題存疑，但是關于級數和的定義，并沒有出現失誤。伯努利回應道：按照這個理論，兩個不一樣的函數可能展開成同一個表達式，由此可以得出結論，和并不唯一，顯然這個結論是錯誤的，但是伯努利提不出具體的例子。

拉格朗日在他的早期著作中也提到了收斂與發散的不同，他說，當一個級數的第n項無限趨近于零是，這個級數就等于一個數值。到十八世紀末，他在研究泰勒級數時，給出了我們今天一個非常重要的公式，也就是泰勒定理，即這個就是我們常常提到的拉格朗日余項。他指出研究無窮泰勒級數，如果不考慮級數的余項，是不正確的，但是他同樣沒有給出級數收斂的概念，也沒有指出無窮級數的斂散性與余項之間的關系。級數的斂散性的研究通過柯西的研究，形成了一個初步結論，即要想得到數值或者函數的無窮收斂級數展開式，必須滿足Rn→0。

后來的達朗貝爾也討論過級數收斂和發散的關系，在18世紀無窮級數的研究工作中，劍橋大學的盧卡斯教授也在級數的問題上提出過自己的觀點?？偠灾?，在無窮級數的研究方面，形式上的觀點占了主要位置，都沒有從實質上去討論級數斂散性的問題，直到19世紀，才形成了關于無窮級數很有意義的觀點，并被后人加以驗證和承認。