極坐標與參數方程在高考中的巧解

（貴州省黔東南州岑鞏縣大有鎮初級中學，貴州 黔東南 557802）

一、三個方程的互換

（一）直角坐標方程與極坐標方程的互換

由于本章內容與三角函數內容聯系緊密，但是距離三角函數的學習已有很長一段時間了，因此在教學之前可就相關三角函數公式做一個簡單的復習.另外，不少學生在做此類題目時不知如何書寫過程，只有最終結果，教師在教學過程中要注意加以引導。

（二）普通方程與參數方程的互換

首先，學生容易根據平時做題的經驗，想當然地去確定參數，如：參數方程，當t為參數和 為參數時曲線完全不同，應提醒學生仔細審題、注意細節.并且當t為參數時，曲線為一條直線，這時對于曲線的普通方程，學生常通過移項后兩式作商來消參，往往忽視對θ 是否為進行討論.2018 年全國數學高考卷Ⅱ理科第22 題就有對此問題的考查。

其次，在參數方程轉化為普通方程時，運用的是消參的方法，而消參要特別注意變量的范圍.因此，消參得到普通方程后，還需在參數方程中找到變量的范圍，進而確定是否需要加以限制，此步驟往往涉及到函數的值域問題。

例1：把下列參數方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線。

由于k 做了分母，不能為0，因此求出的普通方程是需要“摳點”的，而很多學生忽略了這一點.這就需要我們教師在平時教學中遇到消元或換元問題時，跟學生強調“消元與換元都要注意變量的取值范圍”，甚至可用生活中的實例“甲、乙兩位同學一起掃地，甲離開了，那么他的任務就會落到乙的頭上”來幫助學生理解，強調得多了，學生的印象自然就深刻.無獨有偶，2019 年全國數學高考卷Ⅰ理科第22 題的第1 小題再次對此類問題進行了考查。

二、參數方程的應用

（一）直線參數方程中參數幾何意義的應用

若已知直線的標準參數方程，且直線與曲線交于點A，B，要求｜AB｜，｜PA｜·｜PB｜，｜PA｜＋｜PB｜（其中點P 為直線上一定點），以及與AB 的中點相關的問題時，利用直線參數方程則較為簡單.這4種類型的問題中，學生最容易犯錯的是求｜PA｜＋｜PB｜，即便學生知道要利用韋達定理中t1+t2 的符號來判斷t1 與t2 同號或異號，也容易在｜t1 ＋t2｜與｜t1－t2｜上出錯.其根本原因在于對參數t 的幾何意義理解不到位，t 的幾何意義不是距離，而是t 的絕對值為動點到定點間的距離，動點在定點上方時為正、在下方時為負.在教學中，教師要注意為學生展示直線標準參數方程的推導過程，可師生共同討論，總結出參數t 的幾何意義，重視知識的產生過程，為學生打好基礎。

三、總結

教學發現，學生在做題中由于習慣了利用曲線的直角坐標方程解題，就像剛學習弧度制時，學生不習慣使用一樣，加之對極坐標與參數方程的認識模糊不清，初學時往往會采用第一種思路。然而高考在前面的解析幾何大題中對第一種思路已經有所考查，選做題中重復考查的可能性較小，并且第一種思路往往計算量較大，即便解出正確結果也耗時偏多。因此，如何在有限的時間內選擇合適的解題方法就顯得十分重要，這就需要我們在平時的教學中要求學生養成在做題前先在稿紙畫出草圖研究各曲線的關系，即通過數與形的結合確定解題方法，在實際應用中，慢慢加深對極坐標、參數方程的認識。

總之，這一章的教學要重視基礎，讓學生清楚“2 個坐標系、3 個方程”的區別與聯系.運用好典型例題，教學生養成解題前先畫圖的好習慣，準確熟練地運用基本原理和公式，掌握極坐標與參數方程獨特的解題方法。