電磁場切向邊界條件解析

何俊

摘要：本文給出了電磁場切向邊界條件的三維示意圖，推導了電磁場的切向邊界條件，結合三維示意圖詳細解讀了兩種切向邊界條件表達式的意義，闡明了兩種表達式的聯系與區別以及內涵的統一，有助于讀者深入、細致、全面地掌握電磁場的切向邊界條件。

關鍵詞：電磁場;切向邊界條件

中圖分類號：O441?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1672-9129（2020）16-0152-02

前言：實際的電磁場工程問題通常要涉及到由不同電磁參數的媒質構成的相鄰區域。在不同媒質的分界面上，由于媒質的電磁參數發生突變，使得電磁場矢量也隨之發生突變，所以微分形式的麥克斯韋方程組不能應用于媒質的分界面上，而積分形式的麥克斯韋方程組不受電磁場矢量是否連續的影響，因此可以從積分形式的麥克斯韋方程組出發，推導出電磁場矢量在不同媒質分界面上滿足的邊界條件。邊界條件在電磁場工程問題的求解過程中占據重要地位。

目前，應用于本科教學的教材中[1]-[3]，關于切向邊界條件的推導都沒有給出三維的示意圖，使讀者，特別是初學者難以理解切向邊界條件的兩種表達式，不能正確掌握切向邊界條件的內涵。本文試圖以容易理解的三維圖示的方式解析切向邊界條件，使讀者對于晦澀的公式有直觀的理解。

1 電磁場切向邊界條件的推導及解析

如圖1所示，在兩種媒質的分界面上任一點P處的法向單位矢量e→n，由媒質2指向媒質1。在點P周圍任取一與e→n共面的小矩形回路abcda，所圍面積為ΔS。ab和cd兩條邊分別位于分界面兩側，且與分界面平行，其長度ab=cd=Δl。ab和cd無限靠近分界面，所以bc=da=Δh→0。有向面元ΔS→的法向單位矢量e→p與小矩形回路abcda的繞行方向成右手螺旋關系，e→t是分界面上的切向單位矢量，其方向與有向線段ab一致，e→t滿足e→t=e→p×e→n。

積分形式的全電流安培環路定理

∮CH→·dl→=∫SJ→·dS→+∫SD→t·dS→??????? （1）

將其應用于小矩形回路abcda，有

∫baH→·dl→+∫cbH→·dl→+∫dcH→·dl→+∫adH→·dl→=∫ΔSJ→·dS→+∫ΔSD→t·dS→? （2）

在bc=da=Δh→0條件下，方程左邊表示為limΔh→0∫baH→·dl→+∫cbH→·dl→+∫dcH→·dl→+∫adH→·dl→，只要分界面附近的H→為有限值，那么其在長度趨于零的有向線段上的線積分等于零，即limΔh→0∫cbH→·dl→=limΔh→0∫adH→·dl→=0，所以，方程左邊等于

limΔh→0∫baH→·dl→+∫cbH→·dl→+∫dcH→·dl→+∫adH→·dl→=∫baH→1·dl→+∫dcH→2·dl→=∫ΔlH→1-H→2·e→tdl≈H→1-H→2·e→tΔl??? （3）

式中，由于Δl很小，可以認為H→在Δl上是均勻的，因此有上述約等式。

在bc=da=Δh→0條件下，方程右邊表示為limΔh→0∫ΔSJ→·dS→+∫ΔSD→t·dS→，其中，limΔh→0∫ΔSJ→·dS→=∫ΔllimΔh→0ΔhJ→·e→pdl=∫ΔlJ→S·e→pdl，由于D→隨時間連續變化，則D→t也為有限值，則limΔh→0∫ΔSD→t·dS→=0，所以方程右邊等于

limΔh→0∫ΔSJ→·dS→+∫ΔSD→t·dS→=∫ΔlJ→S·e→pdl≈J→S·e→pΔl??????? （4）

式中，又由于Δl很小，可以認為J→S在Δl上是均勻的，因此有上述約等式。

由（3）、（4）可得

H→1-H→2·e→t=J→S·e→p?????????? （5）

H1t-H2t=JSp??????????? （6）

為了更好地理解該結論，將H1t，H2t和JSp標注在圖2上，可以看出H1t和H2t分別為H→1和H→2在e→t上的投影，JSp為J→S在e→p上的投影。這也說明了J→S與e→p方向可以不一致。由于J→S垂直于H→1和H→2，而e→p是小矩形回路abcda的法向單位矢量，所以H→1和H→2可以與小矩形回路abcda不共面。注意到，分界面兩側的H→在e→t上的投影之差等于面電流密度在與e→t垂直的e→p上的投影。

由于H→1-H→2·e→t=H→1-H→2·e→p×e→n=e→n×H→1-H→2·e→p，所以由式（5），

e→n×H→1-H→2·e→p=J→S·e→p，因此可得

e→n×H→1-H→2=J→S????????? （7）

為了更好地理解該結論，e→n×H→1=e→JSe→n×H→1=e→JSH→1sinθ1，e→n×H→2=e→JSe→n×H→2=e→JSH→2sinθ2，如圖3所示，將e→n×H→1，e→n×H→2和J→S標注在圖3上，可以看出e→n×H→1和e→n×H→2分別為H→1和H→2在與J→S垂直的方向上的投影，并且投影之差等于面電流密度大小。

式（6）和式（7）是磁場強度矢量H→的切向邊界條件的兩種表達式，下面結合圖4說明這兩種表達式之間的區別和聯系。表達式一中的切向方向是指與小矩形回路abcda的法向單位矢量e→p的垂直方向，即e→p×e→n方向;表達式二中的切向方向是指與面電流J→S垂直的方向，即e→JS×e→n。如圖4所示，當小矩形回路abcda的法向單位矢量e→p與面電流J→S方向一致時，有H1t=e→n×H→1，H2t=e→n×H→2，JSp=J→S;當小矩形回路abcda的法向單位矢量e→p與面電流J→S方向不一致，存在一個夾角θ時，有H1t=e→n×H→1cosθ，H2t=e→n×H→2cosθ，JSp=J→Scosθ，即兩種表達式中的切向分量以及對應垂直方向上的電流密度都是投影的關系。最后一句話總結：如果兩種媒質的分界面上存在面電流，使磁場強度矢量H→的切向分量不連續。同樣的過程可以求得電場強度矢量E→的切向邊界條件：電場強度矢量E→的切向分量連續。

2 結論

兩種媒質分界面上的面電流使磁場強度矢量H→的切向分量不連續，而電場強度矢量E→的切向分量總是連續的。本文借助三維示意圖使讀者可以直觀地理解切向邊界條件的兩種表達式。磁感應強度矢量H→的切向分量與切向方向的選擇有關，而切向分量之差等于投影到與切向方向垂直的方向上的電流密度。當e→p（e→p=e→n×e→t）與面電流J→S方向一致時，兩種表達式相同（僅考慮矢量的模）;當e→p與面電流J→S方向不一致時，兩種表達式中的切向分量以及對應垂直方向上的電流密度都是投影的關系。

參考文獻：

[1]謝處方，饒克謹，楊顯清，趙家升原著，楊顯清，王園等修訂，《電磁場與電磁波》（第5版），2019，10，高等教育出版社，ISBN：978-7-04-052518-2

[2]Bhag Singh Guru等著，周克定，張孝文，董天臨，辜承林譯，《電磁場與電磁波》，2000，8，機械工業出版社，ISBN：7-111-07761-X

[3]陽小明，李天倩著，《電磁場與電磁波》，2016，9，機械工業出版社，ISBN：978-7-111-54865-2