運價呈幾何布朗運動規律的班輪運輸期權決策

宋 巍，劉李鵬，楊華龍，王大元

(大連海事大學 交通運輸工程學院， 遼寧 大連 116026)

集裝箱運輸是國際工業品貿易的主要運輸方式，在國際海運班輪市場中占有重要地位。[1]為滿足客戶的需求，船公司(承運人)需在固定的航線上，按特定的發船頻率和船舶掛靠港口順序，以公布的船期為托運人提供規則的集裝箱班輪運輸服務。[2]受船舶運力固定、運輸服務不可存儲、固定成本高和邊際成本低等因素的影響，為提高艙位利用率和運營效益，承運人通常采取與貨運代理人或大客戶簽訂長期合同的策略[3]，以較為固定的運價為客戶提供集裝箱貨物班輪運輸服務；承運人對大多數普通客戶(托運人)采取以包箱費率為主的均一定價[4]，即對托運人的集裝箱貨物只區分集裝箱尺寸和相應的航線，按統一標準計收運費。這種固定或均一的定價越來越不適應當今競爭日益激烈的班輪運輸市場。此外，在面對運輸需求劇烈波動變化時，這種運價策略缺乏應對的靈活性和有效性。班輪運輸期權作為一種新的補充策略已受到承托雙方的高度關注，其是將金融衍生工具應用到航運服務市場的產物，既可在遠期確定艙位預售量，又兼具應對市場需求變化的靈活性和有效性。[5]因此，研究集裝箱班輪運輸期權決策問題具有重要的理論和現實意義。

運價是關乎集裝箱船公司班輪運輸效益的關鍵指標之一，班輪定價一直是學者們研究的熱點問題。代表性的研究包括： GARRIDO[6]考慮到運輸需求對運價決策的影響，針對彈性需求的班輪定價問題，通過復式拍賣的方法確定運價，達到提高船公司運輸收益的目標；曾慶成等[7]考慮到承、托雙方之間的博弈關系，基于差價補償策略構建序貫決策博弈模型，研究托運人訂艙行為和承運人的定價決策；YIN等[8]研究價格折扣對托運人的影響，構建班輪公司的折扣定價模型。這些研究結合運輸需求、承托雙方的博弈行為特征和運輸成本等諸多不確定性影響因素，研究班輪定價問題，但都是在壟斷環境下進行的，即運價是由承運人控制且未考慮市場供需變化和未來不確定因素對運價產生的波動影響，因而其適用范圍均較為有限。

為研究如何更好地應對未來市場的劇烈波動，專家開始借鑒期權理論在航空領域的研究成果，將其引入到海運領域。例如：文獻[9]通過將運費期權引入海運服務市場中，建立托運人收益優化模型，對其在海運服務供應鏈中的最優化決策進行分析；文獻[10]基于期權理論提出國際集裝箱海運企業運輸協議動態定價的決策方法，建立附帶美式認購/認沽期權的國際海上集裝箱運輸協議動態定價決策模型。這些有關海運期權問題的研究不僅豐富了海運定價策略，而且在一定程度上推動了海運風險的分擔和防控。然而，剛剛起步的海運期權問題研究僅考慮托運人(文獻[9])或承運人(文獻[10])應對市場變化時單方面的決策行為，并沒有考慮承托雙方的博弈決策行為，這在一定程度上影響了海運期權的實際應用效果。鑒于此，本文將運價作為外生隨機變量，通過分析集裝箱班輪運輸承運人和托運人的博弈行為，構建承運人期權定價和托運人最優期權認購量的Stackelberg博弈模型，在海運運價服從幾何布朗運動規律[11]的條件下，研究承運人和托運人的最優決策行為，以期豐富和完善集裝箱班輪運輸的定價理論和實踐。

1 問題描述

在集裝箱班輪運輸的某個港口航線上，承運人通常會將一部分運力以長期合同的方式預售給與其具有長期穩定合作關系的貨運代理人或大客戶，剩余的運力通過直接售艙方式銷售給托運人，或期權等以遠期方式銷售給托運人。為規避未來市場波動的風險，承運人通過發行期權鼓勵托運人在遠期市場購買期權運力，并在期權到期日即期市場(簡稱“即期市場”)銷售其余運力。托運人可根據承運人的期權定價，選擇在即期市場購買運力或從遠期市場上認購期權獲得運力。由此可見，集裝箱班輪運輸期權決策主要涉及承運人與托運人之間的決策。

由于班輪運輸壟斷性逐漸淡化，運價主要由市場供需狀況決定，承運人和托運人都是市場價格的接受者。運輸服務是一種在期貨市場上的標準商品，由MCCARDIE等[12]和BRENNAN等[13]的分析可知：在期貨市場上，標準商品的短期價格服從幾何布朗運動規律。此外，KOEKEBAKKER等[14]采用幾何布朗運動對運價進行建模，該方法在蒙特卡羅試驗中獲得了較為準確的結果。據此，本文論述均假定海運運價服從幾何布朗運動規律。

基于期權理論，承運人是期權決策的領導者，而托運人是跟隨者，承運人與托運人雙方形成一個Stackelberg博弈關系。

1) 承運人需推斷托運人的期權認購量才能制訂合理的期權執行價格和期權費。若期權執行價格和期權費過高，托運人更傾向于在即期市場直接購買艙位；若期權執行價格和期權費過低，托運人會購買并選擇執行期權，此時承運人收益會遭受損失。

2) 當承運人給出期權執行價格和期權費之后，托運人需確定合理的期權認購量。期權認購量若過多，則在即期市場運價下跌時，會造成因托運人放棄執行期權而產生期權費損失；期權認購量若過少，則在即期市場運價上升時，會造成托運人的運費增加。

因此，解決集裝箱班輪運輸期權決策問題的關鍵是承、托雙方在Stackelberg博弈下，承運人制定合理的期權執行價格和期權費，托運人確定合理的期權認購量，以實現承、托雙方的利益最大化。

2 期權定價模型

2.1 符號說明

x為單位運力期權執行價格；r為期權費；Q為托運人的期權認購量；D為托運人的艙位需求量；p為即期市場上的單位運價；p0為期初運價；pmax為運價波動上限；pmin為運價波動下限；T為期權到期日；b為單位運輸成本；K為承運人在某一港口航線上的運力；m為承運人在即期市場剩余運力的銷售比例。

2.2 托運人期權決策

根據海運運價的幾何布朗運動規律特征ln(p/p0)～N(μT,σ2T)，ln(p/p0)的概率密度函數為

(1)

式(1)中：μ和σ均為幾何布朗運動規律的系數。即期市場上單位運價的概率密度函數為

(2)

當承運人的期權定價為(x,r)，托運人的期權認購量為Q時，托運人的期望運費為

(3)

式(3)中：f(D)為托運人艙位需求量D的概率密度函數；第一項為期權運費；第二項為當市場價格低于期權執行價格時，托運人執行期權時的訂艙成本；第三項為當市場價格高于期權執行價格時，托運人在即期市場上訂艙的成本。

托運人的期權決策模型M1為

minM1(Q)

(4)

s.t.Q≥0

(5)

Q≤K

(6)

1) 模型M1是一個凸規劃。

對式(1)求M1(Q)關于Q的一階導數和二階導數，可得

(7)

(8)

(9)

式(9)中：λ和u為拉格朗日乘子。

模型M1的最優解滿足條件為

(10)

(11)

(12)

u,λ≥0

(13)

由此可得：

(14)

式(14)中：F(Q)為托運人期權認購量Q的分布函數；F-1(Q)為F(Q)的逆函數。

4) 當λ≠0,u≠0時，式(11)與式(12)矛盾，不存在解。

由于M1是一個凸規劃模型，根據庫恩塔克條件求得的解即為模型的最優解，可得托運人的最優期權認購量為

(15)

2) 托運人最優期權認購量Q*關于期權執行價格x和期權費r單調遞減。

由最優期權認購量Q*滿足關系式

(16)

有

(17)

(18)

由式(17)可知：托運人最優期權認購量Q*關于期權執行價格x單調遞減。由式(18)可知：托運人最優期權認購量Q*關于期權費用r單調遞減。得證。

2.3 承運人期權決策

承運人在遠期市場上以期權的形式銷售部分運力，剩余運力只能在即期市場上銷售。假設承運人在即期市場的銷售比例為m，m是即期市場價格p的減函數，且與承運人的運力規模、服務水平等有關，即

(19)

式(19)中：β為與承運人的運力規模和服務水平等有關的競爭力系數，β∈(0,1]。

考慮托運人的最優期權認購量時，承運人的期望利潤為

(20)

式(20)中：第一項為期權費用收入；第二項為當期權執行價格高于即期市場價格時，托運人放棄執行期權，承運人在即期市場銷售剩余運力獲取的利潤；第三項為當期權執行價格低于即期市場價格且托運人購買的期權運力能滿足需求時，承運人獲得的利潤；第四項為當期權執行價格低于即期市場價格且托運人購買的期權運力未能滿足需求時，承運人獲得的利潤。

由此可得承運人定價模型M2為

maxM2(x,r)

(21)

s.t.x+r≥pmin

(22)

x+r

(23)

綜上，根據承運人與托運人雙方之間Stackelberg博弈關系，當承運人給定一個期權定價(x,r)之后，由式(21)可知托運人最優期權認購量Q*是關于(x,r)的函數。因此，將式(15)代入式(21)中，利用模型M2便可求得承運人的最優期權定價，再利用式(15)可求得托運人的最優期權訂購量。

3 算法設計

由于定價模型M2的目標函數是一個帶有積分的復雜非線性函數，本文設計改進的遺傳算法求解。為克服傳統遺傳算法存在局部搜索能力差、種群多樣性逐漸降低和“早熟收斂”等缺陷，本文從2個方面對遺傳算法進行改進：

1) 結合適應度定標法和Boltzmann適應度調節策略調節不同時期的選擇壓力，加大局部搜索能力。

2) 在每一代新種群中定期補充一定數量的新個體，保持種群多樣性。

改進的遺傳算法步驟如下：

1) 選擇編碼方式，生成初始種群。本文選擇二進制編碼方式，并設置最大迭代次數、交叉率和變異率，隨機生成初始種群。

2) 適應度評價。為動態調整種群的選擇壓力，對定價模型M2的目標函數進行線性變化，結合Boltzmann調節策略選擇適應度函數

(24)

式(24)中:α為調整參數;W為一個控制參數，隨著迭代的進行逐漸變小。記錄適應度最優的個體，若種群達到最大迭代次數，則執行步驟7)，否則執行步驟3)。

3) 選擇。本文采用輪盤賭法進行選擇操作，選擇概率由個體適應度決定，適應度低的個體也具有“生存”機會，從當前種群中選擇一定比例的個體。同時，采用精英保留策略，使當前代中最優秀的個體保留到下一代，確保種群向高適應度進化。對種群進行選擇操作，生成新群體。

4) 交叉。本文采用均勻交叉法，同時為保證種群的多樣性和避免過早收斂，在種群中補充新個體，禁止重復個體進行交叉。對種群進行交叉操作，生成新種群。

5) 變異。本文隨機選擇變異位，然后取反。原基因位值為1，變異為0；反之，原基因位值為0，變異為1。通過變異操作，生成新種群。

6) 局部搜索。本文設計局部搜索算法，運用two-opt對部分個體進行局部搜索，選擇最好的個體替換當前個體，以生成下一代。

7) 結束迭代。輸出最優個體和解碼后的最優結果，得到承運人期權定價結果。

4 算例

為驗證所建模型和算法的有效性，本文參照文獻[15]，選取某承運人在某個港口航線(起、訖港口)上的運力600 TEU，競爭力系數0.8，單位運輸成本680美元/TEU。假設起初運價 795美元/TEU，運價波動下限為600美元/TEU，上限為1 000美元/TEU，托運人的艙位需求量服從均值為30 TEU、標準差為6 TEU的正態分布，期權到期日期為30 d，期權到期日運價的幾何布朗運動規律系數μ=0.000 3，σ=0.016 0。算法的主要參數設置如下：種群大小N=80；最大迭代次數GENMAX=80；交叉概率Pc=0.8；變異概率Pm=0.3。算例測試結果見表1。

表1 算例測試結果

由表1可知：承運人采用期權售艙，最優期權執行價格為743美元，最優期權費為55美元，托運人最優期權認購量為24 TEU，承運人期望利潤為22 296美元，托運人期望運費為23 711美元。當承運人在即期市場直接售艙時，其期望利潤為20 770美元，托運人期望運費為23 894美元。顯然，承運人采用期權售艙可增加利潤1 526美元，期望利潤增長約7.35%；而托運人通過期權獲得運力可節省183美元，期望運費節省約0.76%。由此可見，運用期權決策既可增加承運人的期望利潤，又可減少托運人的期望運費。

遺傳算法收斂圖見圖1。由圖1可知：算法在第15次迭代后搜索到最優值。由此可見，本文設計的改進遺傳算法在集裝箱班輪運輸期權決策問題的求解中具有良好的搜索性能，能搜索到問題的最優解。

由于班輪運輸期權決策既與即期市場運價有關，又與承運人的規模和服務水平等市場競爭力因素有關，根據承運人的市場競爭力系數，對期權決策進行敏感性分析，在同競爭力系數下的承運人期權定價和托運人期權認購量變化情況見圖2。由圖2可知：隨著承運人競爭力系數的變大，除承運人的最優期權費保持基本不變以外，承運人的最優期權執行價格會增長，托運人的最優期權訂購量相應減少。究其原因，主要是由于承運人在即期市場競爭力越強，其更有能力在期權到期日即期市場直接售艙，減少期權售艙的數量，并提高期權的執行價格，托運人的期權認購量將會減少。

在不同競爭力系數下，采用直接售艙或期權售艙時，承運人的期望利潤和托運人的期望運費結果見表2。由表2可知：隨著承運人競爭力系數的變大，其市場占有率增大；在期權售艙下，承運人期望利潤和托運人的期望運費雖然都會增大，但承運人的利潤增長率和托運人的運費降低率會變小。例如：當承運人市場競爭力系數由0.2增大到0.8時，承運人采用期權售艙比直接售艙獲得的期望利潤增長率由41.47%降為7.35%，托運人的期望運費降低率也從1.19%降為0.77%。承運人在即期市場競爭力越強，其市場占有率越高，期權售艙對承運人和托運人的益處越不明顯。

表2 不同競爭力系數下的期望利潤和期望運費結果

5 結束語

本文針對運價呈幾何布朗運動規律的集裝箱班輪運輸期權決策問題進行研究，基于承、托雙方Stackelberg博弈原理，構建承運人和托運人期權決策模型，并設計改進的遺傳算法求解。研究結果表明：應用班輪運輸期權決策可提高承運人的期望利潤，并降低托運人的期望運費。同時，班輪運輸市場競爭越激烈，即承運人在即期市場的競爭力系數越低，采用期權決策，承運人的期望利潤越大，托運人的期望運費越低；反之，承運人在即期市場的競爭力系數越大，采用期權決策對承運人和托運人雙方的益處越不顯著。由此可見，在當今競爭日益激烈的集裝箱班輪運輸市場環境下，期權決策不僅能抵御集裝箱班輪運輸需求波動等風險，而且能實現承、托雙方的共贏。鑒于班輪運輸期權問題的復雜性，本文只研究了單個起、訖港口對航線上的期權決策問題，后續研究將考慮市場競爭環境，研究托運人與承運人之間在整條班輪航線(包含多個起、訖港口)上的期權決策問題應是進一步的方向。