中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)的壓軸題解題探究

王瑞芳

摘 要：在中考中，數(shù)學(xué)最后一道壓軸題往往以二次函數(shù)的形式呈現(xiàn)。二次函數(shù)集中考察學(xué)生的幾何構(gòu)型、列式計(jì)算、化靜為動(dòng)等數(shù)學(xué)思想，結(jié)合大量知識(shí)考察學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力。并且，二次函數(shù)在數(shù)學(xué)中考中分值占比較高，是考生拿到高分的關(guān)鍵題型。因此，學(xué)生對(duì)于二次函數(shù)題型的掌握就顯得尤為重要。本文中，筆者將結(jié)合例題，探討二次函數(shù)的題型以及解題思路。

關(guān)鍵詞：中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù) 解題技巧

二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)教育中，對(duì)于學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和思維能力都有極高的要求，因?yàn)閴狠S題的解題思路往往是一環(huán)扣一環(huán)的，任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的記憶模糊或者思路受阻，都會(huì)導(dǎo)致整道題難以得到解決。所以，學(xué)生必須要了解常見的二次函數(shù)題型，并且要通過練習(xí)來鞏固解題思路。

1 了解中考中常見的二次函數(shù)問題類型

根據(jù)歷年各地的二次函數(shù)壓軸題，我們可以將二次函數(shù)的考法大致歸納為以下幾種：①動(dòng)點(diǎn)（或不確定點(diǎn)）問題：借助于動(dòng)點(diǎn)或不確定點(diǎn)所在函數(shù)圖象的解析式，用一個(gè)字母把該點(diǎn)坐標(biāo)表示出來。②動(dòng)三角形問題：至少有一邊的長度是不確定的，是運(yùn)動(dòng)變化的。或至少有一個(gè)頂點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)，求最大值或最小值。③動(dòng)線段問題：線段長度是運(yùn)動(dòng)，變化，不確定的。④求一個(gè)已知點(diǎn)關(guān)于一條已知直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)問題。⑤“兩個(gè)三角形相似”的問題。⑥三角形證明問題。

當(dāng)然，除了以上提到問題，壓軸題還會(huì)出現(xiàn)一些綜合性較強(qiáng)的二次函數(shù)題目。當(dāng)學(xué)生了解了壓軸題的基本題型后，教師就可以有針對(duì)性地選擇合適的習(xí)題進(jìn)行訓(xùn)練和講解。

2 以實(shí)例講解知識(shí)點(diǎn)

為了更好地呈現(xiàn)二次函數(shù)壓軸題的解題思路以及解題方法，我們以下列題目為例。

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B將∠OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C.

（1）請(qǐng)寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并寫出過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并寫出過程;

（2）如果D為拋物線的頂點(diǎn)，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得圖形ODAP可以寫成平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說明理由;

（3）直線BC與設(shè)拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)T，Q是線段BT上的任意一點(diǎn)，直接寫出|QA﹣QO|的取值范圍。

以下是本題的具體解析。

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)是y坐標(biāo)是0，得x坐標(biāo)為8，以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0）;點(diǎn)B的坐標(biāo)是x坐標(biāo)為0，解得y坐標(biāo)為6，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，6）;由題意得：∠ABO的角平分線是BC，所以O(shè)C=CH，BH=OB=6

∵AB=10，∴AH=4，由題目

設(shè)OC=x，則AC=8﹣x

由勾股定理可得：x=3

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）

將此三點(diǎn)代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得;

（2）求得直線BC的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角相等，對(duì)邊平行且相等，借助于三角函數(shù)即可求得;

（3）如圖，由對(duì)稱性可知QO=QH，|QA﹣QO|=|QA﹣QH|.

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，Q、H、A三點(diǎn)共線，|QA﹣QO|取得最大值4（即為AH的長）;

設(shè)線段OA的垂直平分線與直線BC的交點(diǎn)為K，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)K重合時(shí)，|QA﹣QO|取得最小值0.

題目點(diǎn)評(píng)：此題的構(gòu)架基本當(dāng)做二次函數(shù)壓軸題的普遍結(jié)構(gòu)，所以我們可以在解析本題的過程中將解答方法推廣到更多的相似題型。往往壓軸題第一問難度不是很大，大多是簡單證明題或是求表達(dá)式，在本題（1）中就只要求學(xué)生簡單地進(jìn)行解析式的求解，關(guān)鍵點(diǎn)就是要學(xué)生掌握設(shè)未知數(shù)的技巧，最后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，得以求出解析式。而壓軸題的第二問和第三問才是真正拉開學(xué)生間差距題目，要求學(xué)生具有細(xì)致考察數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的能力。本題的（2）就巧妙地將平行四邊形與二次函數(shù)相結(jié)合，考察二次函數(shù)性質(zhì)的同時(shí)還兼顧了平行四邊形對(duì)角相等、對(duì)標(biāo)平行的性質(zhì)，還在其中穿插了三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)。在題目（3）中，則是考察學(xué)生化靜為動(dòng)的思維，涉及了動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)線段問題，其中還加入了幾何圖形對(duì)稱的知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)生認(rèn)真識(shí)圖，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。由此可見，二次函數(shù)壓軸題能夠輻射到很廣的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的遺漏都會(huì)很容易丟掉壓軸題的分。除了考察的綜合性和復(fù)雜性，在這道題中也可以看出壓軸題的連貫性。此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)以及平行四邊形的綜合知識(shí)，第一問要求學(xué)生求出拋物線的解析式，這一問雖然看似簡單，但是十分關(guān)鍵的一步，因?yàn)榻馕鍪饺绻蠼忮e(cuò)誤，第二問和第三問就等于白做了，還會(huì)導(dǎo)致學(xué)生花費(fèi)大把的時(shí)間不停的計(jì)算，不停的修改，最后仍然拿不到分。第二問是動(dòng)點(diǎn)與平行四邊形相互結(jié)合的問題，這就體現(xiàn)了壓軸題的綜合性。

3 結(jié)語

二次函數(shù)的問題之所以能夠成為中考的慣用壓軸題，是因?yàn)檫@一類題需要學(xué)生具備極高的思維敏捷度，而正是這樣，二次函數(shù)題就更值得教師和學(xué)生一起鉆研和探討。二次函數(shù)題也沒有想象中的那么困難，只要了解了基本題型，做足了練習(xí)，就會(huì)在中考考場(chǎng)上得心應(yīng)手，取得中考勝利。

參考文獻(xiàn)：

[1] 匡繼昌.如何理解和掌握數(shù)學(xué)概念的教學(xué)實(shí)踐與研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)2013（06）.

[2] 趙靜.九年級(jí)學(xué)生二次函數(shù)認(rèn)知的調(diào)查研究[D].蘇州大學(xué)2011.