一類改進的廣義隨機奇異值分解方法

劉圓圓

（成都理工大學，四川 成都610059）

1 概述

不適定問題的應用背景非常廣泛, 如信號處理, 圖像去噪去模糊, Fredholm 類積分方程等。近幾年，廣義奇異值分解以及隨機算法被廣泛提出用于解決線性離散不適定問題。不適定問題是指對于以下三個條件中任意一條不滿足的問題：解的存在性、解的唯一性、解的穩定性。同時，現在也有越來越多的領域充滿著越來越多的問題是不適定的，所以對于不適定問題的研究是具有實際意義的。

2 問題的提出

3 改進的隨機廣義奇異值分解方法

4 數值實例

們選取兩個代表性的矩陣維度n=1000 和n=2000。

表1（Phillips）不同維度及噪聲水平下兩種方法在CPU 時間和相對誤差上的比較

圖1（Phillips）不同維度及噪聲水平下兩種方法精確解和近似解的比較

表2（Heat）不同維度及噪聲水平下兩種方法精確解和近似解的比較

圖2（Heat）不同維度及噪聲水平下兩種方法在CPU 時間和相對誤差上的比較

由表1 表2 以及圖1 和圖2 可知，表格當中對比了兩種算法及兩種矩陣維度的運行時間以及相對誤差，圖當中對比了兩種算法相對于精確解的結果。改進算法的近似解與原始算法的近似解與精確解的相對誤差相差不大，但改進算法在運行時間上比原始算法更具優勢，數值實例說明了此算法的有效性。同時由表1 可以看出，在不同的矩陣維度下，改進算法的CPU 時間低于原始算法的運行時間。此外，原始算法的相對誤差有時小于改進算法的相對誤差，有時大于改進算法的相對誤差，但其數值相差不大。由于隨機矩陣和隨機方法的引入，使得隨機矩陣不具有確定性，且當在進行matlab 實驗時，沒有將隨機矩陣確定下來，所以誤差具有不確定性。總而言之，相對誤差的大小對比相差過小，因此可以得到原始算法與改進算法在數值實例中都保持相當的精確度。在運行時間上進行比較時，可以看出改進算法始終都比原始算法更有優勢。當n=1000 時，時間相差大約2 秒。當足夠大的時候，例如當n=2000 時，原始算法和改進算法在的時間上相差更大，然而改進算法卻依然能運行得很好，保持較好的相對誤差。所以隨著矩陣維度的增加，改進算法比原始算法在運行時間上更具優勢。

本文提出了一種GSVD 的重新縮放與隨機方法的結合，旨在減小問題(1)中非奇異矩陣的條件數，同時降低矩陣的維度。歸一化后的GSVD 產生了新的截斷GSVD 方法，這也是一種非常適合求解線性離散不適定問題的方法。