合理構(gòu)造輔助圓，模型應(yīng)用巧破題

程花

[摘? 要] 圓是一種含有眾多特殊性質(zhì)的幾何圖形，利用圓中角度與線段長之間的關(guān)系可以挖掘題干隱含條件，巧妙解題，因此學(xué)會添加輔助線，掌握常見圓類模型十分重要. 文章舉例解析圓類模型，結(jié)合實(shí)例探究解題思路，開展教學(xué)反思，并提出相應(yīng)的建議.

[關(guān)鍵詞] 輔助圓;模型;性質(zhì);直角;最值;四點(diǎn)共圓

圓是初中數(shù)學(xué)的重要圖形之一，圓中含有一些較為特殊的性質(zhì)，合理利用可以巧妙解題. 因此，對于一些幾何綜合題，可以采用構(gòu)造輔助圓的方式來加以突破. 構(gòu)造輔助圓應(yīng)以圓的基本知識為出發(fā)點(diǎn)，總結(jié)歸納幾何模型，利用模型的解析思路來處理問題，下面舉例探究.

模型解析，解題探索

1. 模型一：直角模型

模型分析：“直徑對直角”是圓的重要性質(zhì)定理，即圓的直徑所對的圓周角為直角，據(jù)此可以構(gòu)建相應(yīng)的直角模型. 如圖1，A，B，C均在圓O的圓周上，若∠ACB=90°，則AB為⊙O的直徑. 進(jìn)一步拓展，若點(diǎn)C為一動點(diǎn)，則點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上運(yùn)動.

例1？搖 如圖2，在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，∠ACB=90°，點(diǎn)P是斜邊AB上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)Q是底邊BC上的一個動點(diǎn)，且兩點(diǎn)均不與點(diǎn)A和點(diǎn)B重合，試回答下列問題.

（1）若PQ∥AC，CQ=BQ，試求線段CP的長.

（2）若PQ不與AC平行，試分析△CPQ能否為直角三角形. 如果可以，請求出線段CQ長的取值范圍;如果不可以，請說明理由.

解析? （1）因?yàn)镻Q∥AC，CQ=BQ，所以AP=BP. 又∠ACB=90°，所以CP= AB. 由勾股定理得AB= =13，所以CP= .

（2）分析可知，若PQ不與AC平行，要使△CPQ為直角三角形，只有∠CPQ=90°. 結(jié)合圓的直角模型構(gòu)造輔助圓，即以CQ為直徑作半圓，設(shè)圓心為D，如圖3.

①當(dāng)半圓與AB相切時，設(shè)切點(diǎn)為M，連接DM，則DM垂直于AB，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時△CPQ即為直角三角形. 此時，AC=AM=5，MB=8. 設(shè)CD=a，則DM=a，DB=12-a. 在Rt△DBM中使用勾股定理，可得a2+82=（12-a）2，解得a= . 此時CQ=2a= .

②當(dāng)

③當(dāng)0

綜上可知，當(dāng) ≤CQ<12時，△CPQ可能為直角三角形.

評析？搖 上述試題為直角三角形存在性問題，可結(jié)合圓的“直徑對直角”構(gòu)造輔助圓進(jìn)行分析，即動點(diǎn)必然位于對應(yīng)的圓上，因此可將問題轉(zhuǎn)化為分析半圓與斜邊的交點(diǎn)問題.

2. 模型二：最值模型

模型分析：利用圓的特性可以確定兩點(diǎn)之間的距離最值，即常見的最值模型. 如圖4，點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn)，直線OP與⊙O相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A為圓上相對于點(diǎn)P的近點(diǎn)，點(diǎn)B是遠(yuǎn)點(diǎn)，那么PA就為點(diǎn)P到圓上的最短距離，PB就為點(diǎn)P到圓上的最遠(yuǎn)距離. 圓的最值模型可用于分析幾何線段最值問題.

例2? 如圖5，菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AB上的一個動點(diǎn). 現(xiàn)將△AMN沿MN所在的直線翻折，得到△A′MN，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，連接A′C，試求A′C長度的最小值.

解析？搖 題干給出了△AMN的翻折過程，其中點(diǎn)N為線段AB上的一個動點(diǎn)，根據(jù)折疊特性可知A′M=AM=1，結(jié)合點(diǎn)M為AD邊的中點(diǎn)，可知MA=MA′=MD，因此點(diǎn)A′在以AD為直徑的圓上，即其軌跡為一個圓（其實(shí)是圓的一部分）. 以M為圓心、AM的長為半徑畫⊙M，結(jié)合圓上的最值特性可知CM所在直線與圓的近交點(diǎn)就為最小值點(diǎn)，故連接MC，與⊙M的交點(diǎn)就為A′. 過點(diǎn)M作CD的垂線，垂足為H，如圖6. 已知∠A=60°，則∠MDH=60°. 在Rt△MDH中，MH=MD·sin60°= ，HD=MD·cos60°= ，則CH=CD+HD= . 在Rt△MCH中使用勾股定理，可得MC= = ，所以A′C= -1，即A′C長度的最小值為 -1.

評析？搖 上題屬于涉及動點(diǎn)的幾何翻折最值問題，其重點(diǎn)是確定動點(diǎn)翻折后對應(yīng)點(diǎn)的軌跡. 分析題干條件可挖掘出作輔助圓的解析思路，后續(xù)直接利用圓上動點(diǎn)的最值模型求解即可. 實(shí)際上，圓上最值模型背后隱含的是“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理，理解模型的本質(zhì)對于問題的解析來說十分重要.

3. 模型三：四點(diǎn)共圓模型

模型分析：拓展圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)的性質(zhì)，可知如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，則其四個頂點(diǎn)共圓. 對其進(jìn)一步挖掘可得圓的“四點(diǎn)共圓”模型，具體如下：

如圖7，Rt△ABC和Rt△ABD共斜邊AB，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊中線特性可知OC=OD=OA=OB，所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓. 利用共點(diǎn)共圓可進(jìn)一步結(jié)合圓周角定理來轉(zhuǎn)化為角度相等，從而完成模型向等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化，這是證明幾何角度問題的常用方法.

例3？搖 如圖8，△ABC為等腰直角三角形，其中AC=BC=2，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn). 現(xiàn)將△CAD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)角度α，得到△CEF，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為E，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為F，DF與AE的交點(diǎn)為M. 當(dāng)α由90°變化為180°時，求點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡的長.

解析？搖 試題為三角形旋轉(zhuǎn)問題，分析旋轉(zhuǎn)角變化時點(diǎn)M的軌跡. 由條件AC=CE，CD=CF，可知∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD. 因?yàn)椤螦CD=∠ECF，所以∠ACE=∠DCF. 進(jìn)一步可推知∠CAE=∠CDF. 取AC的中點(diǎn)為O，則A，D，M，C四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心、AO的長為半徑的圓上，連接OD，CM，作圖如圖8.

據(jù)圖可知，點(diǎn)M的運(yùn)動路徑為弧CD. 由四點(diǎn)共圓幾何性質(zhì)可知∠CMF=∠CAD=45°，∠CMD=135°，由條件可知CD⊥AB，∠ADC=∠DOC=90°，所以弧CD的長= = ，即α由90°變化為180°時，點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡的長為 .

評析？搖本題為幾何變換綜合題，以等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)為背景求頂點(diǎn)隨旋轉(zhuǎn)角變化的運(yùn)動弧長. 解題的關(guān)鍵是作輔助圓，發(fā)現(xiàn)A，D，M，C四點(diǎn)共圓. 四點(diǎn)共圓背后隱含的是幾何等量關(guān)系，在實(shí)際解題時可以將其拓展到利用四點(diǎn)共圓構(gòu)造等角中.

解后思考，教學(xué)建議

上述舉例探索了構(gòu)造輔助圓，利用圓的模型簡化解題過程的思路. 構(gòu)造輔助圓是幾何問題解析的重要策略，尤其適用于涉及動點(diǎn)的幾何問題，下面提出三點(diǎn)建議.

1. 關(guān)注模型本身，深刻理解模型

上述所呈現(xiàn)的直角模型、最值模型、四點(diǎn)共圓模型是圓中特殊的三大模型，也是構(gòu)造輔助圓解題的典型代表. 學(xué)習(xí)模型時，需要關(guān)注模型本身，理解模型的知識本質(zhì)，包括模型對應(yīng)的圓的性質(zhì)、知識原理等. 如直角模型實(shí)則是圓的“直徑對直角”性質(zhì)，最值模型則是“兩點(diǎn)之間，線段最短”原理的拓展，“四點(diǎn)共圓”則是對圓周角定理的變式拓展. 在實(shí)際教學(xué)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生從圓的性質(zhì)定理出發(fā)，理解模型本質(zhì)，以定理定義為依托，開展模型教學(xué).

2. 添加輔助圓，學(xué)習(xí)構(gòu)造方法

利用圓的模型解題的關(guān)鍵一步是添加輔助圓，即幾何構(gòu)造，其構(gòu)造的基礎(chǔ)是理解題意，所以掌握添加輔助圓的常規(guī)方法是十分必要的. 輔助圓的添加方法有很多種，具體可歸納為以下三種：一是利用圓的定義添加輔助圓，即三個及以上的點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等作圓;二是作三角形的外接圓，即任意不在同一直線上的三點(diǎn)共圓，也是由圓周角推論所得;三是利用四點(diǎn)共圓，一般有兩種思路，可用四邊形的對角互補(bǔ)，也可利用同底同側(cè)有相等頂角的三角形. 在實(shí)際教學(xué)中，建議教師根據(jù)具體的問題情境開展輔助圓構(gòu)造法教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問題特點(diǎn)，結(jié)合問題指導(dǎo)構(gòu)造思路.

3. 滲透數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思維

開展解題方法教學(xué)的核心主要有兩個：一是指導(dǎo)學(xué)生掌握解題技巧，二是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 其中后者對學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展最為重要，也是課改理念所在. 在教學(xué)中，學(xué)生思維的提升可具體到思想上，即教學(xué)中合理地滲透數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生利用對應(yīng)的思想開展問題分析、轉(zhuǎn)化. 如上述添加輔助圓，利用圓類模型的解題過程滲透構(gòu)造思想、模型思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，正是在這些思想的融合下完成了輔助線添加、問題轉(zhuǎn)化、思路構(gòu)建. 因此，需要教師結(jié)合數(shù)學(xué)思想開展解題方法教學(xué)，使學(xué)生理解思想內(nèi)涵，內(nèi)化方法，逐步提升思維水平.

寫在最后

圓是學(xué)生在初中階段唯一接觸的曲線圖形，本身具有諸多的幾何性質(zhì)，深刻理解可用于幾何問題求解. 對于一些涉及動點(diǎn)的問題，可通過添加輔助圓來幫助學(xué)生理解題意. 上述所呈現(xiàn)的是其中較為常用的三大圓類模型，其解析方法和構(gòu)造思路具有一定的參考價值，在實(shí)際教學(xué)中建議教師從圓的基本性質(zhì)入手，指導(dǎo)輔助線添加的方法，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解模型，形成模型解題的方法策略. 同時重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，以提升學(xué)生的綜合素質(zhì).