動(dòng)力學(xué)臨界問(wèn)題解題思路分析

倪華 陳傳來(lái) 張井衛(wèi)

[摘要]動(dòng)力學(xué)臨界問(wèn)題是高中物理比較常見(jiàn)的問(wèn)題，為了突破這類問(wèn)題，很多教師都有自己的一套教學(xué)方法。文章結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)探討這類問(wèn)題的解題思路，具體是：1.從挖掘關(guān)鍵詞句入手，確定并分析臨界狀態(tài);2.利用臨界狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，挖掘隱含條件;3.借助假設(shè)法、極值法、數(shù)學(xué)分析法等解題方法進(jìn)行解答。

[關(guān)鍵詞]臨界狀態(tài);假設(shè)法;極值法;解析法

[中圖分類號(hào)]G633.7

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020） 35-0054-03

動(dòng)力學(xué)臨界問(wèn)題涉及運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)的綜合應(yīng)用，對(duì)邏輯思維要求比較高，是很多典型題和難題的核心組成部分，學(xué)生掌握不好就會(huì)影響以后深層學(xué)習(xí)能力的提高。學(xué)生開(kāi)始遇到動(dòng)力學(xué)臨界問(wèn)題時(shí)往往出現(xiàn)思路混亂，無(wú)法準(zhǔn)確判斷臨界狀態(tài)，也無(wú)法準(zhǔn)確建立解題模型。怎么讓學(xué)生在遇到這類問(wèn)題時(shí)有很清晰的解題思路，清楚題中的各種陷阱，既快又準(zhǔn)地分析判斷臨界狀態(tài)呢？這一直是很多高中物理教師研究的課題。下面筆者就談?wù)勛约簩?duì)這個(gè)問(wèn)題的一些粗淺研究。

一、聚焦“臨界狀態(tài)”，確定解題程序

所謂“臨界狀態(tài)”是指在物體的受力或運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，達(dá)到某個(gè)特定情況時(shí)，有關(guān)的物理量將發(fā)生突變的狀態(tài)，此時(shí)相應(yīng)的待求物理量的值叫作臨界值。解題時(shí)準(zhǔn)確判斷物體所處的臨界狀態(tài)，并明確這種狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)非常重要。下表列舉了四種常見(jiàn)的臨界狀態(tài)及對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)。

在解決動(dòng)力學(xué)臨界問(wèn)題的過(guò)程中，首先要挖掘題目中含有“最大”“至少”“剛好”等關(guān)鍵詞的句子，通過(guò)受力分析和運(yùn)動(dòng)分析判斷隱藏的臨界狀態(tài)，然后根據(jù)臨界狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，利用物理分析或者數(shù)學(xué)解析方法解題。

二、常見(jiàn)動(dòng)力學(xué)臨界問(wèn)題例析

[例1]（松斷臨界問(wèn)題）如圖1所示，三段不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，均為200 N，它們共同懸掛一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定，θ= 30°。則O點(diǎn)懸掛的重物G不能超過(guò)（ ）。

A. 200N B.173 N C.100N D.346N

第一步，挖掘關(guān)鍵詞，分析臨界狀態(tài)。

本題中的關(guān)鍵詞是“最大拉力相同”，通過(guò)受力分析（如圖2），發(fā)現(xiàn)三段繩子中，OA繩的拉力最大，利用這三個(gè)力之間的物理制約關(guān)系，分析臨界狀態(tài)：OA繩的拉力達(dá)到200 N時(shí)，重物G達(dá)到的最大值。

第二步，根據(jù)臨界狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，利用物理分析法或者數(shù)學(xué)解析法解題。

重物G的最大值為：Gmax=Fc max

對(duì)O點(diǎn)受力分析，由平衡關(guān)系可得：

Fc max= FAmax sinθ=100N

總結(jié)：松斷臨界問(wèn)題解答的關(guān)鍵是判斷出什么情況下繩的拉力為零或者拉力達(dá)到最大的臨界值，然后由物理和數(shù)學(xué)關(guān)系求出重物G的最大值。

[例2]（分離臨界問(wèn)題）如圖3所示，試分析小球在半徑為R的豎直平面內(nèi)的圓周軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，能通過(guò)最高點(diǎn)的速度條件（重力加速度為g）。

第一步，挖掘關(guān)鍵詞，分析臨界狀態(tài)。

本題的關(guān)鍵詞是“能通過(guò)最高點(diǎn)”。通過(guò)受力分析和運(yùn)動(dòng)分析可知，小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)由重力G和支持力FN的合力提供向心力，速度越大支持力FN就越大;反之，支持力FN就越小。如果速度不夠，小球就會(huì)脫離軌道，因此過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度對(duì)應(yīng)的支持力為F N=0。

第二步，根據(jù)臨界狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，利用物理分析法或者數(shù)學(xué)解析法解題。

[總結(jié)]解答分離臨界問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住分離前的臨界狀態(tài)是接觸面的彈力為零，針對(duì)這個(gè)臨界狀態(tài)就可以列出臨界方程，求出臨界值，再根據(jù)題意進(jìn)行分析解答。

[例3]（相對(duì)滑動(dòng)臨界問(wèn)題）如圖4所示，光滑水平面上放置質(zhì)量分別為m、2m的A、B兩個(gè)物體，A、B間的最大靜摩擦力為pmg，現(xiàn)用水平拉力F拉B，使4、B以同一加速度運(yùn)動(dòng)，則拉力F的最大值為（ ）。

A.μmg

B.2μmg

C.3μmg

D.4μmg

第一步，挖掘關(guān)鍵詞，分析臨界狀態(tài)。

本題的關(guān)鍵詞是“拉力F的最大值”。拉力F比較小的時(shí)候，兩物體有共同的加速度和速度，兩物體之間的摩擦力是靜摩擦力。當(dāng)拉力F大到某一數(shù)值的時(shí)候，物體B會(huì)和物體A發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)兩物體的加速度和速度都不相等，兩物體之間的摩擦力是滑動(dòng)摩擦力。因此，兩物體處于發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界狀態(tài)，它們之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力，此時(shí)是兩物體共同加速，對(duì)應(yīng)的拉力F達(dá)到最大值。

第二步，根據(jù)臨界狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，利用物理分析法或者數(shù)學(xué)解析法解題。

假設(shè)當(dāng)AB間的靜摩擦力達(dá)到最大時(shí).拉力F達(dá)到最大，根據(jù)牛頓第二定律得：

對(duì)A物體有：μmg= ma

解得：a=μg

對(duì)整體有：F=（2m+m）a

解得：F= 3ma= 3μmg

[總結(jié)]解答相對(duì)滑動(dòng)臨界問(wèn)題一般先用假設(shè)法，假設(shè)兩物體處于相對(duì)滑動(dòng)瞬間的臨界狀態(tài)——相互之間的靜摩擦力達(dá)到最大值，再圍繞這個(gè)臨界狀態(tài)用隔離法和整體法列牛頓第二定律方程解題。在解題中要注意兩個(gè)方程之間的關(guān)聯(lián)——加速度相同。

[例4]（速度達(dá)到極值的臨界問(wèn)題）如圖5所示，在傾角為θ的光滑斜面上端系有一勁度系數(shù)為k的彈簧，彈簧下端連一個(gè)質(zhì)量為m的小球，球被一垂直斜面的擋板A擋住，此時(shí)彈簧沒(méi)有形變，重力加速度為g，求移開(kāi)擋板后小球沿斜面向下運(yùn)動(dòng)到速度最大時(shí)，球的位移x。

第一步，挖掘關(guān)鍵詞，分析臨界狀態(tài)。

本題的關(guān)鍵詞是“速度最大時(shí)”。移去擋板后，第一階段小球受到重力沿斜面向下的分力和沿斜面向上的彈簧彈力作用，而向下做加速運(yùn)動(dòng)，由于彈簧彈力不斷增大，重力沿斜面向下的分力大小不變，故沿斜面向下的合力不斷減小，當(dāng)合力減小到零時(shí)，加速度也減小到零，速度達(dá)到最大值。

第二步，根據(jù)臨界狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，利用物理分析法或者數(shù)學(xué)解析法解題。

速度最大時(shí)有：kx= mgsinθ。

解得：x= mgsin θ/k

[總結(jié)]速度達(dá)到極值的臨界問(wèn)題，解題關(guān)鍵是根據(jù)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受力的變化判斷出加速度的變化和速度的變化，進(jìn)而分析得出當(dāng)加速度為零時(shí)小球的位置，速度到達(dá)最大臨界值。然后根據(jù)題意利用平衡關(guān)系、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式或者牛頓第二定律建立方程解決問(wèn)題。

[例5]（組合性臨界問(wèn)題）如圖6所示，將小砝碼置于桌面上的薄紙板上，用水平向右的拉力將紙板迅速抽出，砝碼的移動(dòng)很小，幾乎觀察不到，這就是大家熟悉的慣性演示實(shí)驗(yàn)。若砝碼和紙板的質(zhì)量分別為m1和m2，各接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度為g。

（1）當(dāng)紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)時(shí)，求紙板所受摩擦力的大小;

（2）要使紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)，求所需拉力的大小;

（3）本實(shí)驗(yàn)中，m1=0.5 kg，m2=0.1kg，μ=0.2，砝碼與紙板左端的距離d= 0.1m，取g=10 m/s2。若砝碼移動(dòng)的距離超過(guò)l= 0.002 m，人眼就能感知，為確保實(shí)驗(yàn)成功，紙板所需的拉力至少多大？

第一步，挖掘關(guān)鍵詞，分析臨界狀態(tài)。

本題是2013年江蘇高考題，題目有三個(gè)問(wèn)，比較綜合。其中第一、二問(wèn)的關(guān)鍵詞是“紙板相對(duì)砝碼運(yùn)動(dòng)”，可見(jiàn)屬于相對(duì)滑動(dòng)臨界問(wèn)題，當(dāng)砝碼受到的靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)，達(dá)到分離臨界狀態(tài)。第三問(wèn)屬于速度達(dá)到極值臨界問(wèn)題，關(guān)鍵詞是“紙板所需的拉力至少多大”，即為確保實(shí)驗(yàn)成功，砝碼移動(dòng)的距離不超過(guò)Z。砝碼的運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)過(guò)程，第一過(guò)程是沒(méi)有滑離紙板，在紙板施加的滑動(dòng)摩擦力驅(qū)動(dòng)下做加速運(yùn)動(dòng);第二過(guò)程是滑離紙板后，在桌面施加的滑動(dòng)摩擦力阻礙下做減速運(yùn)動(dòng)，這兩個(gè)過(guò)程之和的位移不能超過(guò)l。

第二步，根據(jù)臨界狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，利用物理分析法或者數(shù)學(xué)解析法解題。

（1）砝碼和桌面對(duì)紙板的摩擦力分別為f1 =μ m1g，f2=μ（m1+m2）g

紙板所受摩擦力的大小為：f=f1 +f2 =μ（2m1+m2）g

（2）設(shè)砝碼的加速度為a1，紙板的加速度為a2，則有f1= m1a1，F(xiàn)-f1 -f2=m2a2

發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)需要的條件是：a2>a1

代人數(shù)據(jù)解得：F>2μ（m1+m2）g

[總結(jié)]這類組合性臨界問(wèn)題，往往有好幾個(gè)臨界狀態(tài)，或者只有一個(gè)臨界狀態(tài)但融人題目的問(wèn)題之中。處理這類問(wèn)題的思路是先根據(jù)題意分析物體大概的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，在此基礎(chǔ)上結(jié)合關(guān)鍵詞句，分析出臨界狀態(tài)，確定具體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程和臨界值，然后根據(jù)臨界狀態(tài)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，利用物理分析法或者數(shù)學(xué)解析法，結(jié)合題意綜合解題。

動(dòng)力學(xué)臨界問(wèn)題的處理方法有很多，可以從不同角度進(jìn)行突破，筆者水平有限，在此分享一下自己的研究成果，還望廣大同行不吝賜教，歡迎大家批評(píng)指正。

（責(zé)任編輯 易志毅）