“理解算理”的測試維度與水平分析

浙江省義烏市實驗小學教育集團 楊凱明

算法和算理是數學教學中相輔相成的兩個部分，算理的主要表現方式包括以下四種：運算的意義、十進制與位置值思想、運算的性質和定律以及運算之間的互逆關系。下面以北師大版小學數學一年級上冊第七單元《加與減》中有關于“20以內進位加法”這一教學內容為例展開具體的探究。

一、“理解算理”的測試維度與樣例說明

教師可以通過各種數學計算題型的應用，進一步了解學生的解題思路，并根據學生對于算法理解水平的不同，可以從“算理表述的正確性、算理表征的層次性、算理遷移的通用性”這三個方面對學生的算理理解展開測評。

1.“算理表述的正確性”檢測樣例與水平劃分。算法表述正確性更多地體現在圖示的一致性方面，教師要使學生基于算法算理選擇圖示，達到檢測學生算法算理一致性的目的。“20以內進位加法”其中涉及的算法主要是通過框架的方式將算法的整個過程呈現出來的，但是算理確實更多地依賴于直觀圖示，或者運用文字的方式將背后所蘊含的道理展示出來。例如，在8+9這道習題的運算中，主要可以以兩種拆分湊十的方式來實現，教師要引導學生對于湊十法背后的十進制原理進行更深的理解。

以8+9 這一運算習題為例，通過該道習題可以將學生對算法的理解水平分出一定的層次，具體內容如下所示：

對于這道習題而言，主要可以將學生的算理理解水平分為三個層次：層次一：學生空著沒有做這道習題；層次二：學生選擇B選項，具有一定的根據框架式湊十的意識；層次三：學生選擇A選項，則代表學生能夠正確理解框架式和點子圖。

2.“算理表征的層次性”檢測樣例與水平劃分。算理表征的層次化即采用不同種類的物化材料，實現學生算理表征的檢測，包括文字、圖形。一般而言，算理表征的差異性，也直接反映出學生對于算理的理解水平。

以9+4這道計算題為例，學生展開算理表征檢測，根據9+4的計算過程，通過畫一畫、圈一圈的方式，將自身的解題思路充分展開出來。在這一過程中，教師可以引導學生將自己的計算過程展現出來，還原算式，達到逆向、順向監測的目的，從而劃分學生對于湊十法原理的理解水平。

順向檢測試題算理表征層次劃分如下所示：

層次一：學生空著沒有畫，或者是個數畫錯；層次二：學生畫出了實物圖，比如說氣球、花朵等等；層次三：學生畫出了點子圖、小棒圖。

逆向檢測試題算理表征層次劃分如下所示：

層次一：學生沒有作答，或者作答出現錯誤；層次二：學生選擇的答案為①②④⑥；層次三：學生選擇的答案為①②④⑥⑦。

3.“算理遷移的通用性”檢測樣例與水平劃分。算理遷移的通用性，即借助未學先試加以考查檢測的，所考查的內容為學生是否具備將算理遷移到之后數學內容的學習和理解中，幫助教師更加準確地掌握學生對知識點的理解程度。“20以內進位加法”教學之后的下一章節內容是“兩位數加一位數的進位算法”，這兩個知識點的算理都為十進制，因此教師在實際算理遷移通用性的檢測中，可以模仿9+4這道習題展開改變，例如：將19+4這道習題的計算過程通過畫一畫、圈一圈的方式表達出來，從而實現學生算法遷移通用型水平的考查。

19+4這道習題算理遷移通用性水平劃分如下所示：

層次一：學生空著沒畫，或者是畫錯；層次二：學生正確畫出了實物圖；層次三：學生繪制了點子圖、小棒圖，展現出了十進制位值制算法原理。

二、“20以內進位加法”理解算理水平區域調查分析

通過對近1200名小學生的“20以內進位加法”理解算理水平區域調查，筆者總結出來學生的算理能力水平特點如下：其一，算理表征表述的正確性總體相對較差，且城鄉學生差距較低；其二，算理表征層次性的總體水平相對較低，其中順向表征能力高于逆向能力；最后，算理遷移通用性與算理表征層次性緊密相關。

1.算理表征的層次性不明顯，材料缺乏結構性。根據相關統計調查顯示，針對算理表征物化手段而言，選擇蘋果、花朵等實物圖的學生占60%左右，而選擇點子圖的學生則占了30%，選擇小棒圖的學生只有5%左右。此外，還有5%左右的學生采用的是文字、算式的方式完成。其中一所農村小學的所有學生都采用了蘋果來完成算法表征的物化。

算理表征物化材料包括點子圖、小棒圖以及實物圖，而其中點子圖和小棒圖、實物圖歸類于齊性材料，計數器、數位筒則歸類于結構性材料。實際的調查數據顯示，在“20以內進位加法”這一內容的教學過程中，教師更多采用整齊性材料，表征方式呈現單一化的特點。此時，教師應該加以適當的調整和改善，即選擇結構性的材料，使學生對于十進制位值制能夠有更早一點的認識。

最后，教師也需要注意算理的表征，除了要注重層次性，也應該重視逆向、順向表征的融會貫通，促進學生對于算理更深層次的理解。

2.算理點狀教學，導致算理遷移的通用性水平較低。“20以內進位加法”所涵蓋的關鍵算理為十進制位值制，也正是基于這一算理之上，才誕生了湊十法。對于9+4這道計算題的表征算理的過程，更多的學生僅僅只是通過點數計算出結構，或者是直接基于運算意義的角度之上繪制出9+4的含義，卻沒有體現十進制思想，直接造成該部分內容的教學中十進制思想教學的缺失，進而導致在計算19+4這道計算題中，學生也沒有意識到圈十的含義和重要性。分析學生的畫畫作品可以看出，很多教師在教學中沒有意識到整體性思想的重要性，算理的點狀教學是導致算理遷移的通用性水平低的主要原因。

“20以內進位加法”這一部分數學內容的教學過程中，盡管教學重點不是位值制思想，但是位值制思想在教學過程中的滲透對于學生今后的數學學習具有重要的作用和意義。在實際教學中，教師主要可以通過直觀圖、計數器這種簡單的方式直接滲透位值制思想即可。

在小學數學教學以及對學生測評中，教師需要將算理作為主要的教學內容，加深學生對算理的理解，并通過算理表述的正確性、層次性以及遷移性三個方面的策略，使學生對算理的理解更為顯性，這對于學生數學運算能力的提高而言有較大的幫助。