基于超導電路的奧特-湯恩斯分裂效應*

吳小宇 趙虎 李智?

1) (四川大學電子信息學院, 成都 610065)

2) (航空工業西安飛行自動控制研究所, 西安 710065)

基于約瑟夫森結的超導量子比特是一個宏觀的人工原子, 通過微納米加工的方法, 可以改變人工原子的基本參數. 三維Transmon 量子比特是目前已知退相干時間較長的一種量子比特, 該量子比特通過電容的方式與三維超導諧振腔進行耦合, 是一個人造的原子與腔場耦合系統, 可對原子物理、量子力學、量子光學、腔量子電動力學的各種效應進行實驗驗證. 本文制備并實現了3D Transmon 量子比特, 通過Jaynes-Cummings 方法尋找到了區分基態、第一激發態和第二激發態的最佳讀出功率, 對共振條件下和非共振條件下的奧特-湯恩斯分裂效應進行了測試表征, 得到的測試結果與理論結果相符.

1 引 言

基于約瑟夫森結的超導量子比特是一個宏觀的人造原子[1], 近年來一直作為量子信息的基本載體向著長退相干時間、低噪聲、易加工、易拓展的方向不斷發展[2,3]. 由于超導量子計算具備加工容易、耦合可控、基態容易制備、拓展性強等優點, 被認為是最容易實現量子計算機的方式, 吸引了IBM[4]、Google[5]等國際公司投入力量進行研究.超導量子比特由超導電路構成, 具有參數靈活可調的特點, 可與超導諧振腔相結合, 實現芯片級的腔量子電動力學(cQED)[6,7], 也可作為一個靈活的實驗驗證平臺, 可對量子力學、量子光學、原子物理領域里的實驗進行驗證[8?10], 甚至部分自然原子不容易實現的實驗, 也有可能在超導芯片上實現[11].除此之外, 傳統的光場與原子的耦合較弱, 而超導電路與微波場的耦合, 可通過電容、電感等參數進行調節, 可實現原子與微波場的超強耦合, 也會產生一些奇異的量子光學效應[12?15]. 國內和國際上的研究小組基于三維 (3D) Transmon 量子比特與超導諧振腔的耦合, 演示了諸多相關的量子操縱方面的實驗[16?18].

有部分研究小組對超導量子比特的奧特-湯恩斯分裂效應進行了研究, Baur 等[19]用色散讀出法對Transmon 進行了奧特-湯恩斯分裂效應研究,相位量子比特的奧特-湯恩斯分裂效應通過隧穿原理進行讀出[20]; 磁通量子比特與共面波導諧振腔耦合的系統中也觀測到了奧特-湯恩斯分裂效應[21];Novikov 等[22]于2013 年在3D Transmon 量子比特中也觀測到了奧特-湯恩斯分裂效應. 本文通過雙角度蒸發的方法制備了Transmon 量子比特[23],并與鋁基三維超導諧振腔[24]進行耦合, 構成了3D Transmon 量子比特[25]. 在10 mK 的超低溫下,對3D Transmon 進行了基本的頻域參數表征. 用Jaynes-Cummings[26]讀出方法找到了區分量子比特處于基態|0〉,|0〉與|1〉的疊加態, 以及|0〉,|1〉和|2〉的疊加態的最佳讀出功率. 該方法與Novikov等[23]所用方法不同的是, 僅需要給量子比特施加連續的微波激勵信號, 而不需要對量子比特進行精準的時序測試, 從而降低了觀測奧特-湯恩斯分裂效應的測試復雜度. 并研究了該量子系統在共振情況下和非共振情況下的奧特-湯恩斯分裂效應[20],實驗與理論結果相符.

2 3D Transmon 量子比特

Transmon 量子比特是由電荷量子比特并聯大電容, 并與諧振腔相結合的一種超導量子比特, 其等效電路如圖1 所示. 由兩個約瑟夫森結構成的電荷量子比特與諧振腔通過電容Cg耦合在一起.

圖1 Transmon 量子比特等效電路圖Fig. 1. Equivalent circuit diagram of Transmon qubit.

設電荷量子比特的柵電壓為Vg, 柵電容為Cg,則柵電壓吸引的庫伯對數目為ng=CgVg/2e, 庫珀盒的總充電能為4EC= (2e)2/2(CJ+Cg), 庫珀盒的約瑟夫森能為EJ, 根據上述參數可寫出電荷量子比特的哈密頓量H:

其中n為庫珀對的數目,|n〉為粒子數算符. 構成電荷量子比特的約瑟夫森結較小, 其約瑟夫森能EJ遠小于充電能EC, 該量子比特對電荷噪聲極為敏感, 很小的電荷噪聲將會使得偏置點ng發生較大變化, 給該量子比特并聯大電容CB,使得EC減小,EJ/EC增大, 量子比特的能帶變得更加扁平,即對于同樣的電荷噪聲, 只會引起較小的ng變化,量子比特的抗電荷噪聲能力顯著增強. 較早的Transmon 量子比特所用的諧振腔都是共面波導諧振腔[6]. Transmon 量子比特的哈密頓量由超導電荷量子比特推導得到, 本文所描述的Transmon 量子比特是由一個約瑟夫森結構成的.

2011 年, 耶魯大學Paik 等[25]首次將Transmon量子比特與三維諧振腔耦合在一起, 構成了3D Transmon 量子比特, 經測試發現, 3D Transmon量子比特在退相干時間方面具有非常好的表現, 非常適合用做量子力學、量子光學、原子物理、腔量子電動力學等方面的驗證平臺.

制作3D Transmon 量子比特所用到的工藝主要為雙角度蒸發工藝. 雙角度蒸發工藝是制作約瑟夫森結的一種常用工藝, 其示意圖如圖2 所示. 雙角度蒸發工藝需要形成具有懸空結構的電子束膠,即圖2 中標注的W部分, 制作開始時, 首先從一個角度蒸發第一層鋁, 厚度為30 nm, 蒸發速率為0.2 nm/s, 接下來要進行氧化, 氧化條件能夠決定量子比特的能級分布, 氧化完成后, 進行第二個角度的蒸發, 第二個角度蒸發鋁的厚度要略大于第一個角度的厚度, 為了能夠保證邊緣的連接, 第二層鋁的厚度為50 nm. 圖2 中的h和H分別為上下層電子束膠的厚度,W為懸空部分的寬度,X為約瑟夫森結的橫向設計尺寸,M為電子束上層膠的開孔寬度,θ為電子束蒸發的角度.

圖2 雙角度蒸發工藝示意圖Fig. 2. Schematic diagram of double angle evaporation process.

根據幾何關系可以列出方程:

根據(2)式和(3)式, 在給定膠厚度h和H, 以及蒸發角度θ的情況下, 可以設計任意尺寸的約瑟夫森結. 但在設計時需要注意的是,θ一般不超過20°, 否則膜的均勻性就會受到影響.

本文制備的3D Transmon 量子比特實物照片如圖3(a)所示, 圖3(b)與圖3(c)是樣品的SEM 圖片,經測試表征, 該3D Transmon 的基態|0〉到第一激發態|1〉的躍遷頻率為f01=9.2709 GHz , 第一激發態|1〉到第二激發態|2〉的躍遷頻率為f12=9.0120 GHz ,如圖3(d)所示. 超導諧振腔的本征模態為fC=8.108 GHz , 有載品質因子為QL=4.8×105.

圖3 3D Transmon 樣品及能級分布Fig. 3. 3D transmon sample and energy level distribution.

3 Jaynes-Cummings 方法尋找最佳讀出功率

對3D Transmon 量子比特的量子態讀取常用的方法有色散讀出法[6]以及Jaynes-Cummings 讀出法. 色散讀出法給超導諧振腔施加的讀出信號功率較低, Jaynes-Cummings 方法基于三維超導諧振腔奇異的非線性效應, 可直接在諧振腔的本征模態fC處進行讀出. 這種讀出方法主要基于三維超導諧振腔對量子比特狀態的“繼承性”.

3D Transmon 的頻域測試系統如圖4 所示,總體的測試系統設計按照輸入衰減、輸出放大的原則進行, 這樣能夠提供最大的信噪比. 3D Transmon安裝在10 mK 級. 微波源與網絡分析儀的輸出端口1 通過功分器進入稀釋制冷機, 稀釋制冷機在不同的溫度區域安裝了衰減器, 輸入信號從室溫環境進入到樣品衰減了39 dB, 在輸出端安裝了兩個隔離器用于隔離輸出放大器的噪聲對3D Transmon的影響, 在4 K 和室溫下分別進行了兩級放大.

用圖4 所示的測試系統對3D Transmon 量子比特的頻域特性進行了掃描, 得到圖5 所示的結果.

注意圖5 中的黃色部分, 當讀出功率為–85 dBm時, 此時的諧振腔具有較大的傳輸系數, 當讀出功率為–90 dBm 時, 諧振腔的傳輸系數有所降低, 當讀出功率為–95 dBm 時, 諧振腔的傳輸系數幾乎和噪底相同. 圖5 中8.06 GHz 處傳輸曲線有一個較大的波谷, 這是由諧振腔的非線性效應造成的[26].

圖4 3D Transmon 的頻域測試系統Fig. 4. Frequency domain measurement system of 3D Transmon.

圖5 網絡分析儀變功率掃描S21 曲線Fig. 5. S21 curve of variable power scanning of network analyzer.

對3D Transmon 進 行Jaynes-Cummings 讀出的測試系統在2014 年發表的論文[23]中進行了詳細介紹. 給樣品施加8.108 GHz 的微波脈沖信號, 并變化微波功率, 得到圖5 中的黑色曲線, 該曲線反映出量子比特處于基態|0〉時, 讀出信號隨輸入信號功率的變化情況. 給量子比特施加與f01=9.2709 GHz 相同的連續微波信號, 在8.108 GHz處進行讀出功率掃描, 可得到圖6(a)的紅色曲線,此時由于連續的微波信號作用, 量子比特處于|0〉和|1〉的疊加態, 當給量子比特施加非共振頻率的微波激勵信號7.2709 GHz 時, 得到的曲線與沒有任何微波激勵信號的曲線完全相同. 對比三條曲線, 即可找出區分量子比特|0〉和|1〉狀態的讀出最佳功率點. 觀測奧特-湯恩斯分裂效應, 涉及量子比特的三個能級, 因此需要尋找能夠區分基態|0〉、第一激發態|1〉以及第二激發態|2〉的最佳讀出功率點.對量子比特分別施加f01=9.2709 GHz 的激勵信號,以及f01=9.2709 GHz 與f12=9.0120 GHz 的激勵信號, 進行讀出功率掃描, 得到如圖6(b)所示的結果.

圖6 (a)區分兩個量子態的讀出功率的優化; (b)區分三個能態的最佳讀出功率優化Fig. 6. (a) Optimization of readout power for distinguishing two quantum states; (b) optimization for distinguishing three energy states.

當給樣品施加f01=9.2709 GHz 連續微波激勵信號時, 量子比特處于|0〉和|1〉的疊加態, 當給樣品施 加f01=9.2709 GHz 與f12=9.0120 GHz 的 連 續微波激勵信號時, 量子比特處于|0〉,|1〉和|2〉的疊加態. 圖6(a)中黑色箭頭標出的位置, 就是最佳的讀出功率點, 在該功率下, 可以很好地區分量子比特的三個最低能態, 從而進行奧特-湯恩斯分裂效應的觀測.

4 共振條件下的奧特-湯恩斯分裂效應

1955 年, Aulter 和Townes 利用OCS 分子做實驗發現[27], 如圖7 所示, 給該分子同時施加兩束角頻率分別為ωC和ωP的信號,ωC與量子比特|0〉|1〉的耦合拉比頻率為ΩC,ωP與量子比特|1〉|2〉耦合的拉比頻率為ΩP, 可以發現, 當ΩC逐漸增強時,|1〉到|2〉躍遷的單峰頻譜將會劈裂為雙峰結構, 也可稱為綴飾態. 功率較強的耦合信號角頻率ωC與原子能級差ωab的失諧可表示為δ=ωC-ωab. 由于他們最早發現了這個量子光學效應, 因此這種劈裂稱為奧特-湯恩斯分裂效應, 或稱為動態Stark splitting 效應.

圖7 奧特-湯恩斯分裂效應示意圖Fig. 7. Schematic diagram of ATS effect.

給3D Transmon 同時施加f01=9.2709 GHz 與f12=9.0120 GHz 的信號, 保持f01=9.2709 GHz 的信號較弱, 并在f12=9.0120 GHz 附近進行頻率掃描, 逐漸增強f01=9.2709 GHz 信號的強度, 從而得到如圖8(a)所示的奧特-湯恩斯分裂效應強度圖.

圖8(a)中黃線標出的三個功率點分別為耦合信號功率為–30, –20 和–10 dBm, 其二維圖曲線如圖8(c)—圖8(e)所示, 可以明顯看出, 當f01功率較低時, 掃描f12只能得到一個9.0120 GHz 的諧振峰, 但是隨著f01功率的增加, 掃描f12可以得到兩個關于9.0120 GHz 對稱的諧振峰, 并且他們之間的距離隨著功率增加而增加.

為了得到諧振峰的峰值與頻率, 可通過洛倫茲曲線進行擬合, 雙峰奧特-湯恩斯分裂效應曲線可通過兩個洛倫茲曲線相加進行擬合. 圖8(c)—圖8(e)中的黑點為測試得到的原始數據, 紅色曲線為洛倫茲擬合曲線, 用于擬合的公式為

圖8 3D Transmon 量子比特的奧特-湯恩斯分裂效應 (a)奧特-湯恩斯分裂效應測試強度圖; (b)奧特-湯恩斯分裂效應雙峰間距與微波幅度的關系; (c)耦合信號功率為–30 dBm 時的奧特-湯恩斯分裂效應曲線; (d)耦合信號功率為–20 dBm 時的奧特-湯恩斯分裂效應曲線; (e)耦合信號功率為–10 dBm 時的奧特-湯恩斯分裂效應曲線.Fig. 8. ATS effect of 3D transmon qubit: (a) ATS test intensity diagram; (b) relationship between ATS peak spacing and microwave amplitude; (c) ATS curve at –30 dBm coupling signal power; (d) ATS curve at –20 dBm coupling signal power; (e) ATS curve at –10 dBm coupling signal power.

其中y0為曲線的偏移,A1與A2反映洛倫茲峰與橫軸包圍的面積,xc1與xc2是兩個洛倫茲峰所在的位置,w1和w2表示兩個洛倫茲峰的半高寬. 將不同功率下的xc1-xc2與耦合信號的微波幅度繪制在一起, 得到如圖8(b)所示的散點, 將這些散點進行線性擬合, 得到圖8(b)中的曲線, 可以看出擬合效果很好, 這與奧特-湯恩斯分裂效應理論符合得很好.

5 非共振條件下的奧特-湯恩斯分裂效應

只考慮小失諧情況下的奧特-湯恩斯分裂效應稱之為共振情況下的奧特-湯恩斯分裂效應, 即耦合信號的失諧量δ遠小于f01=9.2709 GHz 與f12=9.0120 GHz , 當耦合信號有較大失諧時, 對探測信號進行掃描, 得到奧特-湯恩斯分裂效應的雙峰會隨著耦合信號失諧的不同而產生偏移, 形成免交叉結構. 免交叉結構形成的兩條曲線是(5)式哈密頓量的兩個本征值.

對該哈密頓量進行本征值求解, 可以得到

在這種非共振情況下, 測量的時候掃描ωP, 雙峰出現在ωP與綴飾態能級發生共振的時候, 此時測量得到的曲線應該滿足方程:

圖9 非共振條件下的奧特-湯恩斯分裂效應免交叉測試強度圖 (a) ω C的功率為–20 dBm; (b) ω C 的 功 率 為–15 dBm; (c) ω C 的功率為–10 dBmFig. 9. Anticrossing intensity test diagram of ATS under non resonance condition: (a) Power of ω C is –20 dBm;(b) power of ω C is –15 dBm; (c) power of ω C is –10 dBm.

圖9 (a)—圖9(c)為非共振情況下的奧特-湯恩斯分裂效應測試強度圖和擬合曲線, 這三個強度圖對應的ωC功率分別為–20, –15 與–10 dBm, 對應ωP的功率為–34 dBm. 圖中黑色曲線是用(7a)式和(7b)式擬合的結果, 擬合時的參數為ωab/h=9.2713 GHz,ωbc/h=9.0125 GHz ,h為普朗克常數.

圖9(a)—圖9(c)對應的ΩC擬合值分別為4.6,8.5 以及16.6 MHz, 可以看出測試曲線與擬合曲線符合得非常好.

實際上, 免交叉能級結構的兩個能級對應的本征態是|1,N〉和|2,N〉態的疊加, 有如下形式:

其 中,Θ=tan?1(ΩC/2δ)[23],當共振時,, 探測到兩個態的概率幅相等, 反映在能譜上就是兩條強度相等的譜線結構.

非共振時, 有兩種情況, 首先在免交叉左側,此時δ＞0 , 所以可以做如下變換:

從(9)式可以看出, 隨著δ的增加, 探測到|2,N〉的概率將遠大于|1,N〉的概率, 所以能譜上只能看到頻率較高的|2,N〉態到|c,N〉態的躍遷譜線.

6 結 論

本文制作了3D Transmon 量子比特, 并對其基本參數進行了表征. 基于該量子比特最低的三個能級, 通過Jaynes-Cummings 讀出方法選取能夠最大程度區分最低三個能級的讀出功率, 對共振情況與非共振情況下的奧特-湯恩斯分裂效應進行了測試, 實驗結果與理論結果符合得較好. 3D Transmon量子比特是一個人工原子與超導諧振腔的耦合平臺, 人工原子的參數可通過微納米加工手段進行修改, 超導諧振腔的諧振頻率也可以設計, 因此可作為量子力學、量子光學以及腔量子電動力學的實驗驗證平臺, 對部分其他量子系統中不容易實現的理論實驗進行驗證.

感謝日本NEC基礎創新實驗室Tsai J S提供的樣品加工支持.