彈性介質包圍的球形液體腔中氣泡和粒子的相互作用*

張陶然 莫潤陽 胡靜 陳時 王成會 郭建中

(陜西師范大學超聲學重點實驗室, 西安 710062)

為探究外層彈性介質對液體腔內氣泡和粒子相互作用的影響, 從速度勢分布理論出發, 結合拉格朗日方程得到了腔內氣泡和粒子的運動方程, 分析了氣泡的共振頻率及聲波作用下粒子和氣泡間的相互作用對其平動行為的影響. 結果表明, 介質彈性和密度等特性均可改變腔內氣泡的共振頻率, 表現為氣泡的共振頻率隨著球腔的半徑增大有先減小后增大的變化趨勢, 且逐漸趨于無界液體中單泡的共振頻率. 氣泡和粒子在球形液體腔中的平動受到聲場參數、外層彈性介質特性、氣泡和粒子本身特征等因素的影響, 總體特征表現為粒子有向腔壁運動的趨勢, 氣泡的平動與氣泡和粒子間相互作用特征密切相關.

1 引 言

彈性介質包圍的液體腔內部氣泡動力學研究在地質[1]、生物學[2,3]等領域有比較廣的應用. 氣泡在液體中的非線性振動可引起空化效應, 形成局部高溫高壓和沖擊波等極端現象, 在一定程度上可促進化學反應和物質交換等. 近年來, 許多學者對超聲波作用下氣泡的空化現象進行了廣泛而深入的研究, 發展了氣泡處于無界液體中[4,5]或液體內的界面附近[6]等情形下的氣泡動力學. 為簡化分析,在研究螺旋槳面[7,8]、血管壁[9,10]附近的氣泡振動時近似將界面簡化為無限大硬壁面后, 借助于鏡像理論等研究氣泡與界面間的相互作用. 在生物學中, 液體中微泡運動通常受到血管或軟介質的約束, 因此, 血管內氣泡的動力學行為的研究對分析空化氣泡的生物學影響尤為重要. 在特定的環境中, 液體可能存在于封閉腔體內, 當液體空化時,空化氣泡的振動行為將呈現出不一樣的特征.Wang[11]和Doinikov[12]等的理論研究表明彈性介質中一定大小的球形液體腔內氣泡的共振頻率隨著氣泡半徑的增大而增大, 與在無界液體中氣泡振動的自然頻率的變化趨勢完全相反, Vincent 等[13]通過實驗得出彈性介質中氣泡由于約束作用呈現快速振蕩的運動趨勢. 這預示著球形液體腔周圍介質的特性將對氣泡的動力學行為形成顯著影響.

Rayleigh 為解釋螺旋槳的空化腐蝕現象, 最早建立了不可壓縮液體內氣泡動力學的理論模型, 定性地分析了空化產生的機理, 為以后的空化研究奠定了基礎. 在此基礎上考慮液體壓縮性、黏性及表面張力后對其修正得到R-P 方程, Keller 等[14]考慮聲輻射、黏性、表明張力和聲波的影響對氣泡動力學進行了研究. 由于液體中的氣泡大多以多氣泡的形式存在, 人們利用牛頓力學和分析力學處理動力學問題的手段提出了兩個和多個氣泡間相互作用的理論模型, 如Doinikov[15]構建了兩氣泡體系的拉格朗日函數并結合拉格朗日方程得到了氣泡徑向和平動的動力學方程, Ilinskii 等[16]研究了考慮氣泡間相互作用后的耦合聲輻射, 以及通過構建系統哈密頓函數結合正則方程得到氣泡徑向振動和平動的動力學方程. 王成會等[17]考慮了氣泡間次級聲輻射的影響, 探討了氣泡的徑向振動和平動規律. 為了解釋沖擊波碎石術中腎結石碎片和空化團簇的作用, 發展了無界液體中氣泡和粒子相互作用的模型. Hay 等[18]在模型中假設氣泡和粒子都可以自由移動并精確到五階來描述氣泡-粒子的相互作用. Li 等[19]利用邊界積分法和實驗研究了氣泡和懸浮球之間的相互作用. 超聲波作用下液體中的氣泡和懸浮顆粒物等均可能與附近的空泡產生相互作用并形成空化影響, 因此, 人們發展了無界液體中粒子與氣泡的運動模型. 然而, 在超聲萃取或者干燥等過程中, 可能存在生物組織(彈性體)包圍的液體腔內的空化行為以及空化泡與粒子間的相互作用. 因此, 有必要發展受限條件下空化氣泡和粒子間的相互作用的動力學模型, 為解釋超聲促進物質交換等奠定理論基礎. 現有的理論和實驗研究表明[11,13], 負壓或者聲波作用下, 彈性介質包圍的封閉液體腔內的氣泡可生長并振蕩, 其動力學行為將影響周圍介質的力學性能等. 事實上, 包裹液體腔的介質也會影響腔內氣泡的平動, 而密閉液體腔內的多泡體系或者粒子的存在也會影響氣泡徑向振動和平動行為, 為探索密閉腔內液體中氣泡和粒子間的相互作用, 本文將發展氣泡-粒子系統的動力學方程, 并分析氣泡和粒子的平動特征.

2 理論推導

為探究彈性介質包圍的液體腔內氣泡和粒子的動力學行為, 從氣泡、粒子及液體腔三者的速度勢分布函數出發, 借助坐標變換得到速度分布及系統的動能和勢能表達式, 進一步基于拉格朗日方程導出氣泡和粒子的動力學方程.

2.1 速度勢函數

如圖1 所示, 氣泡和粒子位于由彈性介質包裹的球形液腔內. 為簡化分析, 假定二者在運動過程中始終保持球形, 且二者球心均位于直徑z軸上,相對位置坐標為zj(j= 1, 2); 以球腔中心為坐標原點, 建立球坐標系(r,θ,φ) ; 分別以氣泡和粒子中心為坐標原點建立局部球坐標系(rj,θj,φj) . 若腔內充滿理想液體, 則其運動將滿足拉普拉斯方程Δφ=0 , 其中φ為標量速度勢.

圖1 充滿液體的空腔中的氣泡和粒子Fig. 1. The bubble and particle in a liquid-filled cavity.

液體速度勢可表示為

式中,φ1和φ2分別為與氣泡和粒子運動相關的液體速度勢,φc為腔內壁面運動相關的液體速度勢;求解拉普拉斯方程, 有

式中,Rj是為瞬時氣泡(粒子)半徑,Rc0是靜止時空腔的半徑,Pn是n階勒讓德多項式,b(nj)(t) 是與時間相關的函數,b(nj)可表示為[20]

式中ξj=Rj/d,d(t)=z2(t)-z1(t) 是氣泡 與粒子中心的距離 .

為在氣泡、粒子及球腔表面應用邊界條件, 需將速度勢φj及φc的表達式進行坐標變換. 在球腔中心為坐標原點的球坐標系中, 速度勢φj為[20]

式中

在以氣泡和粒子中心為坐標原點的局部坐標系中, 速度勢φc表示為[20]

式中

氣泡和粒子表面法向速度對應的邊界條件為

得

由于腔體外側彈性介質層僅發生微小形變, 故腔內表面法向速度關系近似為

式中Rc(t) 是空腔的瞬時半徑. 將(3)式和(7)式代入(13)式, 得

將(8)式代入(14)式中, 得

由于液體具有不可壓縮性, 故液體體積守恒, 有

基于速度勢分布以及邊界條件可得到氣泡周圍介質中速度分布, 進而可以求氣泡徑向振動和平動過程中引起的系統動能變化, 其推導過程參見附錄.

2.2 氣泡和粒子的運動方程

基于拉格朗日方程可以求得徑向振動氣泡和粒子平動動力學方程. 系統拉格朗日函數L=T -U,其中T和U是系統的動能和勢能. 系統動能包括:腔內液體動能Tl、剛性粒子平動動能Tp和彈性介質層動能Ts, 即T=Tl+Tp+Ts. 由附錄知腔體內液體動能可近似表示為

粒子的動能為[21]

式中,ρl為液體的密度,Vl為液體所占體積,ρp為粒子的密度.

空腔外分布有球殼狀彈性介質層, 其殼層內外半徑分布為Rc0和Rs. 由于液體不可壓縮, 空腔內氣泡的徑向體積脈動必然引起彈性殼層的運動, 其動能可以表示為[20]

式中ρs為固體的密度. 系統勢能包括氣泡體積勢能和腔壁外層介質彈性勢能, 即U=U1+U2, 其中U1可表示為[21]

式中P1(t) 是氣泡表面的壓力,FDj是氣泡和粒子所受的黏性阻力, 在液體勢能表達式中加入氣泡和粒子在平動時受到黏性阻力相關的項; 聲壓P1和黏滯力可以表示為[21]:

式中Pg1=P0+2σl/R10是氣泡內部的平衡蒸氣壓;R10是氣泡1 的平衡半徑;cl是液體中的聲速;γ是液體的比熱;σl是表面張力;ηl是液體的黏度;P0是液體中的靜態壓力;Pac是驅動聲壓;f是聲波頻率;N是循環數, 其取值決定高斯波的作用時間;υj表示氣泡(粒子)所在位置與彼此相互作用有關的液體體元振速, 其表達式為[15]

需要特別說明的是, 對粒子(j= 2), 在 (23)式中有=0 .

空腔外彈性介質層的勢能Us可表示為[20]

式中μ為固體的剪切模量.

將動能表達式(17)式—(19)式和勢能表達式(20)式和(24)式代入拉格朗日方程

可得密閉球形液體腔內氣泡和粒子的動力學方程分別為:

式中

動力學方程(27)中出現了腔壁瞬時半徑Rc對時間的高階倒數, 根據液體體積不變, 結合(16)式和(27)式, 約去高階小量, 近似有

2.3 球腔內氣泡的共振頻率

為分析密閉腔內氣泡相對位置對氣泡共振頻率的影響, 設

且有|x1|≤R10,|xc|≤Rc0, 若腔外側介質厚度趨于無窮, 即Rs?Rc0, 忽略(26)式展開式中的高階小量, 可得到氣泡線性振動方程, 即

其中

由此可以看出, 球腔內氣泡的共振頻率與腔外介質密度、彈性、液體表面張力系數、環境壓力及氣泡在球腔內的位置等因素有關.

3 數值分析

基于密閉腔體中液體內氣泡和粒子間的相互作用相關的動力學方程(27)式—(29)式可分析氣泡的徑向振動和平動以及粒子的平動, 采用的參數有:ρl=1000 kg/m3,cl=1500 m/s ,ηl=0.001 Pa·s ,σl=0.072 N/m,ρs=1233 kg/m3,cs=2111 m/s ,γ=1.4 ,μ=6 MPa ,f=0.7 MHz ,P0=101.3 kPa ,Pa=2 atm (1 atm = 101325 Pa),R1=R2=5 μm ,ρp=1.5ρ,Rc0=500 μm,Rs=Rc0+500 μm,d=10 μm,N= 10. 空腔外彈性介質層設為水凝膠[20].

Wang[11]分析了介質體積彈性對彈性介質包圍的液體腔中心的氣泡的共振頻率的影響, 發現隨著液體腔半徑與氣泡半徑比值增大共振頻率逐漸減小并趨近于無界液體中單氣泡共振頻率. 為更清楚地認識液體腔周圍介質對氣泡共振頻率的影響,基于(37)式我們分析R10= 2 μm 的氣泡的相對共振頻率ω10/ωm隨半徑比Rc0/R10的變化 (ωm是無界液體中單氣泡固有頻率), 如圖2 所示, 其中氣泡相對位置z1/Rc0分別為0, 0.3, 0.5, 對比發現相對位置對氣泡的共振頻率的影響較小, 幾乎可以忽略不計. 隨著半徑比Rc0/R10的增加, 氣泡的共振頻率有先減小后增大的變化趨勢, 在半徑比7 附近存在極小值. 當半徑比較小時(大約Rc0/R10< 4),氣泡相對頻率比大于1, 而后相對頻率比小于1 且隨著液體腔半徑的增大逐漸趨近于1, 與Wang[11]預測結果存在一定的差異, 主要原因在于其未計入外層介質密度的影響. 從密閉腔內液體中氣泡的共振頻率表達式可以看出, 腔外介質的彈性的存在可使得共振頻率增加, 然后隨著半徑比的增加, 介質彈性對共振頻率的影響將逐漸減弱, 外層介質密度對共振頻率的影響逐漸占主導地位, 進而導致共振頻率比小于1. 隨著腔體半徑的進一步增大, 腔壁外側介質特性對氣泡的影響逐漸減弱, 氣泡的共振頻率趨近于液體中自由泡的共振頻率. 因此, 液體腔外層介質對氣泡的振動行為的影響會隨著腔體尺寸的變化而不同.

圖2 相對頻率隨空腔半徑與氣泡半徑比值的變化Fig. 2. The relative frequency changes with the ratio of cavity radius to bubble radius.

氣泡的初始半徑不同, 聲場中氣泡的振動行為也不同. 為分析氣泡半徑對粒子和氣泡系統平動的影響, 選取初始半徑分別為2, 3, 4, 5 μm 氣泡做數值分析, 如圖3 所示. 在氣泡和粒子中心間距不變的條件下, 當氣泡半徑為2 μm 時, 氣泡和粒子均向腔壁平動; 隨著氣泡半徑的增大, 氣泡向液體腔中心跳躍式平動而粒子向腔壁運動且其路徑有起伏跳躍特征, 且在氣泡半徑為4 μm 時相互作用力最強. Wu 等[21]發現無界液體中氣泡和粒子間相互作用強弱與氣泡的初始半徑相關并表現為互相吸引. 由于液體腔外層的彈性介質會對氣泡與粒子間相互作用產生影響, 從而使得液體腔中的氣泡和粒子與無界液體中的氣泡和粒子的運動趨勢不同,并在氣泡半徑不同時表現出相互吸引或排斥的特征.

圖3 氣泡初始半徑對氣泡和粒子的平動的影響Fig. 3. The effect of initial radius of bubble on the translation of bubble and particle.

液體腔體內氣泡和粒子動力學模型可用于分析超聲植物提取、生物組織空化等, 應用領域不同, 選用的聲波頻率范圍不同. 為探索頻率的影響, 利用(37)式計算了5 μm 氣泡的共振頻率約為0.72 MHz并選取頻率分別為0.7, 1.0, 1.5 MHz 的聲波分析液體腔內氣泡和粒子的平動, 如圖4 所示. 當頻率為0.7 MHz 接近氣泡的共振頻率時, 氣泡和粒子間相互作用最強, 且表現為氣泡向腔中心平動, 而粒子向腔壁運動. 隨著頻率的增加, 氣泡的徑向振動行為相對逐漸減弱, 二者之間的相互作用也減弱, 在驅動聲波頻率為1.5 MHz 時, 氣泡和粒子間僅有輕微的相互遠離運動特征.

圖4 驅動聲波頻率對氣泡和粒子的平動的影響Fig. 4. The influence of driving sound frequency on the translation of bubble and particle.

聲波頻率一定時, 驅動聲壓大小決定氣泡振動強弱, 進而影響氣泡與粒子的平動特征, 圖5 中曲線對應聲壓幅值分別為0.5, 1.0, 1.5, 3.0 atm. 在同樣的聲場條件下, 粒子相較氣泡而言其平動更顯著, 主要原因在于氣泡的膨脹推動粒子向腔壁運動. 隨著驅動聲壓幅值的增加, 氣泡的徑向振動越強, 推動粒子向腔壁運動的位移越大. 在聲壓幅值小于1.5 atm 時氣泡進發生較小的平動位移, 而當聲壓幅值增大到3.0 atm 時, 氣泡向液體腔中心運動. Vincent 等[13]在實驗中觀察到凝膠中的液體腔內氣泡由于外層彈性介質的影響將向中心位置運動, 而在聲波作用下, 氣泡和粒子間的相互作用在一定程度上能夠平衡外層彈性介質的影響, 但當驅動聲壓較高時, 二者相互作用增強, 將表現為更為復雜的相互吸引和排斥的特征.

液體腔的大小對密閉腔內氣泡的運動狀態有著顯著影響, 為更進一步分析影響特征, 改變內腔半徑分別為100, 300, 500 μm 分析粒子和氣泡的平動, 如圖6 所示. 在不同尺度的液體腔內的粒子和氣泡在聲波作用下的運動行為表現為: 粒子朝腔壁運動且隨著內腔半徑的增大粒子的運動位移變大; 對于氣泡而言, 在內腔半徑較小時, 外層彈性介質對氣泡的振動行為的影響更為顯著, 因此, 在一定程度影響可調節粒子和氣泡相互吸引或排斥的狀態, 表現為腔內徑100 μm 時氣泡向著腔壁遠離粒子運動; 隨著內腔半徑的增大, 粒子向腔壁運動的位移變大, 聲波作用下氣泡則朝向球腔中心有小的位移變化.

圖5 驅動聲壓幅值對氣泡和粒子的平動的影響Fig. 5. The influence of sound pressure amplitude on the translation of bubble and particle.

圖6 腔體大小對氣泡和粒子平動的影響Fig. 6. The influence of cavity size on the translation of bubble and particle.

液體腔內由于粒子的存在影響氣泡的徑向振動和平動. 為更進一步分析粒子密度對密閉腔內氣泡的運動狀態的影響, 比較粒子密度ρp分別為0.5ρ,ρ和1.5ρ時粒子和氣泡的平動狀態變化, 如圖7 所示. 隨著粒子密度的增大, 粒子向腔壁運動的位移逐漸減小,原因在于重粒子平動狀態發生變化需要更大的推力作用.對氣泡而言,粒子密度越大氣泡向著球腔中心運動位移也越小,因此氣泡和粒子間的相互作用同時影響二者的平動行為.

圖7 粒子密度對氣泡和粒子平動的影響Fig.7.The influence of particle density on the translation of bubble and particle.

4 結 論

本文構建了彈性介質包裹的液體球腔內粒子和氣泡間的相互作用動力學模型,基于拉格朗日方程得到了表征氣泡徑向振動和平動、粒子平動動力學方程.基于此方程,可分析聲場參數、球腔約束條件(如腔體大小)、氣泡和粒子本身特征等因素對系統運動的影響.球形液體腔外層介質的彈性、密度、腔體結構等均可影響氣泡的共振頻率,由于介質彈性的影響,當氣泡半徑與球腔半徑比較接近時,氣泡共振頻率大于無界液體中的共振頻率;隨著球腔半徑的增加,氣泡共振頻率逐漸減小到低于無界液體中的共振頻率的情形.由于氣泡的徑向振動形成次級聲輻射引發粒子和氣泡間的相互作用,進而影響二者在液體腔內的平動.氣泡的徑向振動可推動粒子向著腔壁運動,且氣泡的振動越強,粒子在聲波持續時間內的平動位移越大,同樣,氣泡的平動也會受到二者相互作用的調制,在不同的相互作用情形下存在向球腔中心運動和向腔壁運動兩種情形.

氣泡在球狀液體腔內的運動可改變液體內的速度場分布,同時影響周圍的物質運動狀態.氣泡和粒子間的相互作用在一定程度上可調控氣泡的運動行為,進而增強液體腔內外物質交換,可為解釋超聲植物有效成分提取及生物組織內的空化行為提供理論基礎.

附 錄

為了得到空腔中液體的動能表達式,需要利用前文求得的液體運動的解進行推導.腔內液體動能可表示為

式中,ρl為與液體的密度,Vl為液體所占體積.根據變換關系,(A 1)式可進一步表示為

式中,Sc,S1,S2分別表示空腔、氣泡和粒子的表面;nc,n1,n2分別表示垂直于空腔、氣泡和粒子表面并指向液體的單位向量.結合(2)式—(15)式后液體速度勢(1)式代入(A2)式,得

將(11)式、(12)式代入(A 3)式,液體動能的具體表達式為