2020年全國高考數學Ⅲ(理)23題的解法探究

廣東省廣州市鐵一中學 (511447) 范 群

1 試題呈現

2 試題證明

首先證明第(1)題：

證法1：因為a+b+c=0，abc=1，可見a,b,c不全相等，a,b,c均不為零，a,b,c中一正兩負，不妨設a0，可見ab+bc+ca<0.

證法4：構造三次函數y=f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，不妨設y=f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)，即y=f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3+(ab+bc+ca)x-1，顯然，f(x)在[a,b],[b,c]上均滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理知f′(x)在(a,b)中至少一個零點，在(b,c)中至少一個零點，可見，f′(x)一共至少兩個零點，而f′(x)=3x2+(ab+bc+ca)，令f′(x)=0，顯然當且僅當ab+bc+ca<0時，f′(x)最多有兩個零，此時必有ab+bc+ca<0.

現證明第(2)題：