正定二次型問題解法舉隅

江蘇省無錫市第一中學 (214031) 錢 銘 江南大學理學院 (214122) 謝廣喜

數學競賽題思維容量大，解競賽題有助于學生創造性思維的培養.有些知識點常考常新，在命題者眼中，它們是提高學生數學核心素養的良好載體，本文試舉例以分享.

評注:從根本上來說，這類問題的背景屬于高等代數/線性代數中的正定二次型問題.

評注：發現λ=2，(*)式即為2[x-(y+1)]2+3y2-6y+3≥0，也即有2[x-(y+1)]2+3(y-1)2≥0，即x=2,y=1時取得等號.

仿照上述例題，可解決題目：若實數a,b,c滿足a2+b2+c2=1，則3ab-3bc+2c2的最大值是.(2015浙江省五校聯考第17題)

評注：這道題是帶有附加條件的多元最值問題，通常的主元配方思想是基本的切入點，尤其要注意不等式取最值時的等號情形驗證，否則可能得到錯誤答案.