例談圓錐曲線中最值問題的解題方法

江蘇省句容中等專業學校 (212400) 趙 林

最值問題是圓錐曲線中的常見題型，也是歷年高考的熱點之一.解決這類問題需要涉及到代數、幾何、三角等相關知識，對培養學生的思維能力具有重要的作用.下面，筆者將圓錐曲線中最值問題的常見解法進行總結，與讀者交流.

一、用定義法求最值

例1 已知AB是拋物線x2=4y的一條弦，且|AB|=6，求弦AB的中點M到x軸的最短距離.

圖1

評注：利用圓錐曲線的定義，尋找條件和結論之間的內在聯系，再結合平面幾何的有關知識，可使解題簡潔明快，得心應手.

二、用參數法求最值

圖2

評注：參數法是聯系代數和幾何的橋梁，巧設橢圓的參數方程來解題，能達到化繁為簡，開拓思路，快速解題的目的.

三、用函數方法求最值

例3 已知直線y=x+m與橢圓x2+3y2=6交于A,B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值.

評注：函數方法是解決圓錐曲線中最值問題的常用手段，解題的關鍵是根據條件建立目標函數，從而使問題得到轉化.

四、用均值不等式求最值

圖3

圖4

評注：求圓錐曲線中的最值問題，要熟練地掌握圓錐曲線的定義和性質，靈活運用函數、不等式以及數形結合等思想方法，仔細審題，深刻挖掘隱藏條件，從而找到最恰當的解法.