波導中多極子聲源低頻聲場特性衰減規(guī)律

孟春霞，馬忠成

(1. 水下測控技術重點實驗室，遼寧 大連 116013；2. 大連測控技術研究所，遼寧 大連 116013)

為了描述水下聲源并研究其輻射的聲場，經常使用全向點輻射器模型，稱其為單極子模型。但實際上聲源在一定程度上都具有指向性，即聲源在介質中產生的聲壓幅度和相位與觀測點的位置有關。在同一水平面內，沿船一周測得的輻射噪聲分布曲線，明顯是不均勻的，船艏和船艉方向上要小一些，前者是因為船體對螺旋槳噪聲的屏蔽，后者則因為尾流的屏蔽所造成[1]。因此，采用單極子模型難以對聲場特性準確描述。近年來，研究者提出了一些輻射噪聲模型和聲場計算方法。Бреховских等[2]利用簡正波展開研究了不同波導和不同邊界條件下單極子輻射器的聲場。Хауга等[3]研究了平行分層波導中有限尺寸的指向性聲源的簡正波理論。Кулакова等[4-6]的工作中研究了含有指向性和無指向性聲源的波導中各種局部情況下利用簡正波展開的特點。被積函數在積分區(qū)域內不僅有極點還有分支點，在近場除了考慮簡正波離散譜外，還必須考慮旁側波形式的連續(xù)譜[7-8]。Кузнецов等[9-10]對水下指向性聲源聲場特性進行了持續(xù)的研究，對指向性聲源聲場特性的數學物理問題進行了細致闡述。孟春霞[11]研究了在船舶的艏部、舯后部和艉部，用不同權系數的多極子來描述船舶的水下輻射噪聲場，并利用漁政船水下輻射噪聲數據對多極子模型的有效性進行了驗證。羅建[12]把艦船作為具有主機、輔機和螺旋槳3個輻射噪聲亮點的體積目標，研究了其輻射噪聲的空間指向性的重構方法。

本文推導出多極子聲源聲場勢函數，并針對能夠遠距離傳輸的低頻段，深入探討波導中不同階次多極子聲特性的衰減規(guī)律。

1 多極子聲場勢函數的數學表示

令有限尺寸并且具有任意形狀的單頻聲源位于均勻無限空間中。在聲源的內部選擇任意一點O，這點是半徑為r0的球面S0的中心，使得聲源完全處于球面內，如圖1所示。

圖1 多極子聲源模型概念的基礎Fig.1 Basis of the model concept for multi-pole sources

(1)

Δψ(M)+k2ψ(M)=0,M∈Ω

(2)

在邊界上具有確定的值：

(3)

式中：Δ是拉普拉斯算子；k=ω/c是波數；c是介質的聲速；M是研究的區(qū)域Ω或它的邊界S0上的點。在無窮遠處所求的勢函數ψ滿足索莫菲爾德條件。

在利用指向性點狀多極子輻射器模型時，省略時間因子e-iωt，無界均勻空間中聲場勢函數為：

(4)

式(4)是與有限尺寸的實際聲源等效的指向性點狀輻射器的聲場勢函數。在包含原始聲源的任意球面以外，這種點狀輻射器的聲場與有限尺寸的原始聲源的聲場處處吻合。模型輻射器的方向特性完全由系數Cnm確定，Cnm為復數，-n≤m≤n，該參數的物理意義是構成展開式的初級球面多極子的力矩。對于式(4)來說，利用特殊函數的積分表達式，可以得到多極子聲源聲場的積分表達式為平面波之和的展開形式：

(5)

當L=0時，這個表達式實際上是無指向性單極子輻射器的勢函數；當L=2時，相當于研究到四極子，其中單極子有1種形式，偶極子有3種形式，四極子有5種形式，這時，指向性點狀輻射器是包含18個未知參數的模型。在聲學正問題中，在研究各個多極子非相干分量的特性時，為簡便起見假設它們的多極子矩等于1，即Cnm=1。求解聲學逆問題，實際上就是根據實測的輻射聲壓值，對等效源模型中的各個多極子系數Cnm進行求解。

1.1 多極子勢函數的簡正波近似

考慮海底和海面的聲學邊界條件，經過推導，可得到Pekeris波導中多極子聲源聲場勢函數的簡正波近似形式的表達式：

(6)

(7)

聲場勢函數可以表示成非相干分量和相干分量之和的形式，非相干分量確定聲場的平均聲級，相干分量確定聲場在平均聲級附近的振蕩。多極子聲場勢函數幅度平方非相干分量的表達式為：

(8)

(xl/kh))2exp(-δrl2)

(9)

式(9)是單個選取的多極子聲場勢函數的幅度平方的非相干分量。

近場δr<<1時，所有號數為l的簡正波，exp(-δrl2)≈1，在中等距離exp(-δrl2)不為1；在遠距離δr>1時，聲場中的指數項迅速衰減。利用不同的近似條件可以得到不同區(qū)域聲場的近似表達式，針對實際需求，能夠方便地對不同區(qū)域的聲傳播規(guī)律進行估計。

1.2 多極子勢函數的圍線積分表示

圍線積分方法直接進行數值積分，能給出聲場的精確解。利用圍線積分的方法將式(1)表示為：

(10)

式中：ψH(R,θ,φ)為無界空間中的聲場勢函數，由式(1)確定；ψF(R,θ,φ)為波導中來自絕對軟上邊界的聲波對總聲場的貢獻。

(11)

2 聲場近似解適用條件仿真

淺海波導通常可以看作是水平均勻波導，能夠用Pekeris波導來描述。仿真計算條件如下：海水深度60 m，水中聲速1 500 m/s，水體下方為液態(tài)半無限空間，海底聲速1 800 m/s，海底密度2 700 kg/m3,海底無量綱的吸收系數為0.1。圖2為對聲源位于海面和接收器位于海底的情況，以及聲源和接收器都位于海水中部的情況進行仿真。

圖2 單極子勢函數非相干分量及其近場近似解Fig.2 Regular components of monopole potential function and its approximate solutions at near field

波導的聲學參數不變，設聲源深度5 m、接收器深度55 m，圖3給出單極子聲源頻率60 Hz和100 Hz時勢函數非相干分量與中等距離近似解及遠場近似解的對比。

圖3 非相干分量精確解與近似解對比Fig.3 Exact solutions of regular components of monopole potential function and its approximate solutions

從圖3可以看出：對于水深60 m的情況來說，勢函數遠場近似解適用距離大于5 km，而且頻率越高，適用距離越大。可見中等距離近似解的適用條件很寬泛。

3 多極子衰減規(guī)律仿真

3.1 中遠距離聲場勢函數衰減規(guī)律仿真

在中遠距離上，與簡正波相比旁側波對聲場的貢獻可以忽略，聲場表現(xiàn)為簡正波疊加的形式。在式(1)中，n=1,m=-1為y偶極子；n=2，m=-2為有2個水平軸的yy四極子；n=1，m=1為有1個水平軸1個垂直軸的yz四極子，n=1，m=0為z偶極子；n=2，m=0為有2個垂直軸的zz四極子。其他類型的多極子在聲信號觀測角度上勢函數為0。

在研究聲學逆問題時，利用聲場勢函數與聲壓之間的關系：

(12)

并進一步與實測的聲壓值進行比對。

波導的聲學參數不變，圖4(a)為聲源深度5 m，接收器深度6 m頻率100 Hz不同類型多極子聲場勢函數非相干分量衰減曲線。圖4(b)為聲源深度5 m，接收器深度28 m，頻率100 Hz時不同類型多極子勢函數非相干分量衰減曲線。為了便于比較，將圖中曲線沿著垂直軸進行了平移。

圖4 頻率100 Hz時多極子勢函數衰減曲線Fig.4 Attenuation curves of multi-poles source potential function f=100 Hz

從圖4可以看出：在中遠距離上，根據聲場勢函數衰減規(guī)律，多極子可以分為2組，第1組包括：單極子、水平偶極子、具有2個水平軸的四極子、具有2個垂直軸的四極子;第2組包括：垂直偶極子與具有一個水平軸一個垂直軸的四極子。這樣，在遠場分析實際聲源的指向性時，可以忽略垂直面上的指向性，并且遠場條件下，實際水下聲場的多極子模型可以簡化。

3.2 近場衰減規(guī)律仿真

在聲源特性精細研究和觀測的近場，接收器與聲源之間的距離在300～400 m到1～2 km。在這個距離上旁側波對聲場的作用不能忽視，此時簡正波形式的聲場近似解無法給出聲場在空間上的細致結構，因此采用圍線積分方法研究多極子的聲場分布。聲壓接收方向為沿著x軸方向，此時y軸水平偶極子的聲場為0，因此只研究x軸水平偶極子的聲場衰減規(guī)律。

聲源深度36 m，接收器深度98 m，波導厚度為100 m。海底聲學參數與前述相同。圖5分別給出了聲源頻率100 Hz和50 Hz時單極子與水平偶極子和垂直偶極子聲場特性的對比結果。

在圖5中，聲信號觀測方向為水平偶極子極大值方向，因此聲場看不出方位的變化。從圖5可以看出：相同波導條件下，在近距離上，水平偶極子與單極子的衰減規(guī)律相同，垂直偶極子比單極子和水平偶極子都衰減的快，傳播損失較大。對于同一種多極子來說，頻率越高，聲信號衰減速度越快。

圖5 單極子與及垂直偶極子聲場特性對比Fig.5 Comparison of sound field characteristics between monopole and horizontal dipole and vertical dipole

水平偶極子聲源是最常見的多極子聲源，設波導的聲學參數不變，水平偶極子聲源沿著直線運動，研究聲源與接收器之間正橫距離分別為50、100和200 m時，不同頻率水平偶極子聲源聲場衰減規(guī)律，仿真結果如圖6所示。

從圖6可以看出：水平偶極子的聲場具有指向性，但是在海洋信道濾波器的作用下水平偶極子聲場的8字型指向性發(fā)生了畸變。在水平距離較小的情況下，接收器與聲源之間的正橫距離對聲場的指向性非常明顯；隨著水平距離的增大，接收器與聲源之間正橫距離對聲場的影響減弱。相同頻率不同接收深度的聲場也存在差異，這是由于在波導中到達不同接收位置的聲線能量不同。

圖6 水平偶極子不同正橫距離時聲場對比Fig.6 Comparison of sound field characteristics between cross section for horizontal dipole

4 結論

1)在不同的傳播距離上，可以采用不同的近似公式來描述多極子勢函數非相干分量的衰減規(guī)律。

2)在中遠距離上，按照勢函數衰減規(guī)律分類，多極子可以分為2類：單極子、水平偶極子、具有2個水平軸的四極子和具有2個垂直軸的四極子；垂直偶極子及具有1個水平軸和1個垂直軸的四極子。

3)在近場水平方向上，單極子與水平偶極子傳播規(guī)律相同，垂直偶極子比單極子衰減速度快。海洋波導中隨著傳播距離的增大，多極子的指向性減弱。

4)本文的研究工作為描述水下聲源的聲場提供了精確的理論模型，利用該模型，能夠有效地預報海洋波導中低頻水下聲源輻射聲信號在不同區(qū)域的傳輸規(guī)律，具有重要的實用價值。