基于ARIMA模型的河北省玉米價格預測

胡楊 張朝陽

(河北農業大學經濟管理學院，河北 保定 071000)

1 研究背景

玉米是我國糧食的重要組成部分，同時也是飼料生產和農產品加工的主要原材料之一，對我國養殖業及加工業具有重大作用。玉米作為商品，具有供給需求高、價格波動程度大等特點。價格發生變化將對大量農民、養殖業和加工業從業人員的收入造成影響。價格波動較大，意味著玉米的價格會根據市場環境，供給需求量及宏觀政策的調控發生變化，且變化幅度較大。本文將對玉米在不同時間段下的價格波動進行研究，建立玉米價格模型，并作出短期預測，為政府及相關企業在制定有關政策時提供科學基礎。

近年來，我國在農產品價格預測方面進行了深入地研究，價格預測研究方向得到了高效且穩定發展，研究成果愈發成熟且多樣。如，以農產品月度價格作為研究對象，通過向量誤差修正模型深入分析了市場的價格傳導情況，得到了短期市場價格之間具有長期均衡關系，這種均衡關系控制著價格很難在短時間內產生較大程度上的變化，調節了價格的偏離的結論[1]；著眼于農產品價格傳導，分析了農產品的價格傳導情況等[2]。國內運用較多的成熟模型主要有以下幾種：通過建立ARMA模型分析農產品價格波動趨勢，并合理且準確的預測了以后一段較短時間內的農產品價格變化趨勢[3]；通過建立ARCH模型，對農產品期貨價格進行分析，找尋其波動的規律，并在此基礎上分析了對價格波動產生影響的因素[4]；通過X-12-ARIMA季節調整模型對蔬菜價格進行實證分析，得出價格變化的主要特征為價格呈現長期穩定上升的趨勢和具有季節性以及周期性波動的結論，并運用協方差分析了對蔬菜價格波動產生影響的各個因素[5]；通過APSO-AVR模型對農產品價格進行了分析及預測，表明了農產品價格在較短時期內的變化趨勢，同時證明了APSO-AVR模型能夠較為準確地對未來價格變動進行預測，精度較高[6,7]；通過EMD-AVR模型對農產品價格進行預測，結果證明該模型擬合程度較好，具有較高準確性[8,9]；通過灰色預測GM(1,1)模型，將農產品價格進行模擬，以此驗證該模型的預測能力[10]；使用ARIMA模型對價格進行了短期預測，充分研究了該模型在對農產品價格的預測上的準確度和優越性，可根據預測結果為決策提供理論依據及現實依據[11-13]；運用各種組合模型對農產品價格進行預測，得出了組合預測模型的準確度相較于單一預測模型普遍更好，能夠更加準確且合理地對農產品價格進行預測[14]。

2 資料來源與統計方法

2.1 數據來源

本文所使用的河北省玉米價格數據來源于中國畜牧業信息網2011年8月—2020年11月河北省14%水分的玉米價格數據。

2.2 統計方法

本文選取ARIMA模型對河北省玉米價格進行預測，該模型是近年來最適合對價格進行短期預測的模型之一。ARIMA(p，d，q)為該模型的標準式，其中的p指代的是AR的階數、q指代的是MA的階數、d指代的是價格數列通過平穩性檢驗時進行差分的次數。

ARIMA模型分析流程如下：通過對河北省玉米價格進行初步觀察，并作線型圖簡單判斷該價格序列是否平穩；無法判斷時對原始價格數列進行ADF檢驗，根據所得結果確定該價格數列是否平穩；如果原始序列不平穩，則將原始時間序列進行差分，并對差分后的時間序列進行ADF檢驗，直到成功通過ADF檢驗得到平穩的序列；通過AIC和SC確定模型的滯后階數，對模型進行定階，并對所建立的模型進行檢驗，根據驗證其擬合優度，確定其是否可行；接著進行殘差檢驗，確定模型是否存在自相關性；最后模型通過檢驗后，根據所建立的模型來對河北省玉米價格進行短期的預測和分析。

3 ARIMA模型的構建與應用

3.1 模型原理

該模型是通過擴展ARMA模型得到的更科學且符合價格變化的模型。其中含有AR模型，MA模型和ARMA模型3類。

將自回歸模型稱之為AR(p)，表達公式：

yt=λ1yt-1+λ2yt-2+…+λpyt-p+ut

式中，λ1、λ2、…、λp為自回歸相關數；ut為無法找到相關規律的白噪聲；yt為p個滯后變量加權之后所得的和與白噪聲相加得到的p階自回歸變量。

將移動平均模型稱之為MA(q)，表達公式：

yt=ut+θ1ut-1+θ2ut-2+…+θqut-q=(1+θ1L+θ2L2+…+θqLq)ut=L)ut

式中，θ1、θ2、…、θq為移動平均相關數；ut為無法找到相關規律的白噪聲；MA(q)為將q+1個白噪聲和白噪聲滯后項進行加權后的和。稱呼MA(q)為q次移動平均計算。

將自回歸移動平均模型稱之為ARMA(p，q)，ARMA(p，q)的定義為模型中既有自回歸成分，又有移動平均成分，兩者同時作用于該模型之中。模型里p為自回歸成分里的相關階數，q指代的是移動平均成分中最大的相關階數。ARMA(p，q)的表達公式：

yt=λ1yt-1+λ2yt-2+…+λpyt-p+ut+θ1ut-1+θ2ut-2+…+θqut-q

即(1-λ1L-λ2L2-…-λpLp)yt=(1+θ1L+θ2L2+…+θqLq)ut

ARMA(p，q)模型中，AR部分決定了該模型是否平穩，若平穩，則(L)=0的全部根的絕對值>1。MA部分決定了該模型是否可逆，其中(L)=0的根的絕對值應該>1。

如果原序列是單整的非平穩數據，則將非平穩數據進行差分，直到差分至數據穩定后分別對數據進行AR(p)，MA(q)，ARMA(p，q)建模處理。

ARIMA(p，d，q)模型的建立，關鍵點在于p，d，q這3個數如何進行確定。需要針對d進行判斷，方式為對所研究的價格數列進行單位根檢驗，依據檢驗結果確定是否平穩，假使沒有通過單位根檢驗，那么將該價格數列進行差分，重新通過單位根檢驗判斷是否平穩，在通過d次差分后得到了一個穩定的數列，那么將該模型的d定義為差分次數，而后使用平穩的差分數列建立模型。需要根據自相關函數確定p的值，跟據偏相關函數來判斷q的值。

自回歸移動平均過程，ARIMA(p，d，q)表達公式：

Wold分解定理表明，所有協方差的平穩程序yt，都可以用下面的公式闡述：

yt-μ-dt=ut+1ut-1+

ut=yt-E(ytyt-1，yt-2，…)

對于常見的ARMA(p，q)模型，(L)yt=+(L)ut，yt的期望：

這就是漂移項與均值的關系，所以公式也可以寫為：

Φ(L)(yt-μ)=(L)ut

3.2 平穩性檢驗

當時間序列為平穩序列的時候，該序列的均值、方差和協方差應當在一定時間段內維持一定程度上的穩定，在該時間范圍內，序列應當符合相對程度上的概率分布。而對于非平穩序列來說，如果時間序列為非平穩序列，該序列均值、方差和協方差的值會伴隨時間的變化而發生變化。由此導致了非平穩序列很難通過計量經濟模型分析出其內在的關系，從而難以對未來的序列進行預測。在現實情況下的分析過程中，大部分的價格序列都處于非平穩狀態。所以如果所研究序列是非平穩序列，應當通過差分或取對數將該序列變成平穩序列。

本文通過ADF檢驗方法對數據Y進行平穩性檢驗，檢驗結果如圖1所示。

圖1 Y的ADF檢驗結果

由ADF檢驗結果可知，變量Y的ADF檢驗統計量為-1.8505，相應的P值為0.3545，>0.05，因此在5%的顯著性水平下接受原假設，即數據Y是非平穩序列，對變量Y進行一階差分，得到變量DY，對DY再次進行平穩性檢驗，結果如圖2所示。

圖2 DY的ADF檢驗結果

由ADF檢驗結果可知，變量DY的ADF檢驗統計量為-9.162，相應的P值為0.000，遠<0.05，因此在5%的顯著性水平下拒絕原假設，即數據DY是平穩序列，符合建立ARMA模型的平穩性條件。

ARMA模型建立本節對Y數據建立ARIMA模型。ARIMA(p，d，q)模型通過AC，PAC最小信息準則來確定階數，本文針對常見的p，q取值，進行比較，來確定最后滯后階數，本文通過各個模型比較可知，模型ARIMA(2，1，2)的AC值和PAC值最小，說明該模型對數據的擬合效果最好，因此本文最終確定模型為ARIMA(2，1，2)。具體模型回歸結果如圖3所示。

DYt=0.0019-0.5088DYt-1-0.8782DYt-2+0.5855μt-1+0.9599μt-2

T=(0.27)(-12.24)(-22.89)(28.53)(64.92)

R2=0.1004 F=2.84(P=0.0000)

由以上回歸結果可知，所有回歸系數在5%顯著性水平下都是顯著的，模型的擬合系數為0.1004，模型的F統計量為2.84，對應的P值<0.05，說明模型整體在5%顯著性水平下是顯著的。

3.3 殘差檢驗

當使用針對價格數據開展時間序列研究時，必須要求所研究的價格序列可以準確地對未來進行預測，因此要求在進行預測的時候該價格時間序列中的數據必須相互關聯。如果價格序列中各項價格數據間關聯度極小或者沒有關聯性，則無法選取該價格時間序列進行分析及預測。

當所研究的序列之間無法找到相關規律，那么將該序列屬于白噪聲序列。原假設假定于在m期之間序列之間不具備相關性，無法從價格數據中得出準確且合理的聯系，備擇假設假定價格數列之間具有相關性，序列之間互相聯系。對模型的殘差進行自相關偏相關檢驗，通過檢驗結果對價格時間序列進行驗證，從而確定該價格時間序列是否具有相關性。

模型殘差檢驗對所構建的ARIMA(2，1，2)模型的殘差進行自相關偏自相關檢驗，以下為針對河北省玉米價格所得模型的檢驗圖(圖4)。

圖4 自相關偏相關檢驗圖

由以上檢驗結果可知，模型殘差的自相關和偏自相關值全部比臨界值更小，Q統計量對應的P值比0.05大，說明在5%顯著性水平下，模型的殘差不存在自相關性。即說明模型能夠較好的刻畫數據特征，模型結果較為理想。

3.4 模型預測結果

當所用數列通過檢驗后，根據ARIMA模型開始作出預測。由上文分析結論確定運用ARIMA(2，1，2)根據2011—2020年河北省玉米價格數據為基礎來對未來價格作出預測，從而證實了所建模型ARIMA(2，1，2)具有良好的可信度。根據所得的預測(圖5)進行處理分析，其真實價格處于預測的置信區間之中，這個結果證明了所建立的模型有著良好的擬合度，能夠較為準確地對河北省玉米價格作出預測。

圖5 模型預測結果

根據上述結果的相關數值可以從計量經濟的方面對預測情況進行科學合理的表述，其中錫爾不相等系數是0.015603，其數值明顯<0.05；偏相關系數的值是0.000004，該數值代表著本預測具有極高的擬合度，方差比率的數值是0.027157，以上三者都能有效證明所研究的結果具備著較高準確度。相關數值里面協方差比率的值是0.972840，其非常靠近1，出現這種結果則有力證明了該模型具有很高的可信度。但協方差比率的值很高的時候，意味著偏差極小。也就驗證了預測結果同真實價格數據極其相似。

4 結論

本文用時間序列分析的ARIMA模型對河北省玉米價格變化情況進行了預測研究，建立了結構為ARIMA(2，1，2)的模型，并且用該模型對2011年8月—2020年10月的河北省玉米價格進行了分析，并預測了2020年11月—2021年6月河北省玉米價格的變化情況。模型預測結果表明2020年9—10月價格達到頂點，然后在接下來的6個月中將處于持續下行趨勢。

該模型可以很好地預測河北省玉米價格變化情況。但是由于價格序列在實際分析中會隨著多種影響因素的變化而變化，所以序列中的所有價格普遍具有隨機性，當利用過去的真實價格數據進行預測時，不可避免地會存在一定誤差，因此更適用于短期預測。應當通過不斷更新數據對所建立的模型進行補充及修正，使得預測更為精確。