分組分解法：從局部分解到整體分解

文朱坤燕

我們?cè)凇罢匠朔ㄅc因式分解”這一章中，學(xué)習(xí)了提公因式法和公式法這兩種因式分解的方法。但在因式分解時(shí)，有些代數(shù)式不能直接采用提公因式法和公式法，這時(shí)我們可以考慮嘗試采用分組分解法。

分組分解法，顧名思義，就是將代數(shù)式分成若干組，先將各組分別分解，再對(duì)整體進(jìn)行綜合分解。分組時(shí)要注意：分組后的各組代數(shù)式能進(jìn)行因式分解，在各組分別分解因式后，能用提公因式法、公式法等方法完成對(duì)整個(gè)多項(xiàng)式的因式分解。

例如，因式分解：ac2+bd2-ad2-bc2。

將原式分為兩組：

原式=（ac2-bc2）+（bd2-ad2），

分組分解（提公因式）：

原式=c2（a-b）+d2（b-a），

整體分解（提公因式）：

原式=（a-b）（c2-d2），

公式法分解：

原式=（a-b）（c+d）（c-d）。

由此可見，第一步“分組”尤其重要。若分組不恰當(dāng)，就無法進(jìn)一步分解。當(dāng)然，分組的方法并不唯一。常見的分組方法有以下幾種：

一、按字母分

將帶有相同字母的單項(xiàng)式分為一組。例如，ax-by+ay-bx可分組為（ax+ay）-（bx+by）或（ax-bx）+（ay-by）。方法不唯一，只要保證分組后可提公因式就行。

二、按公式分

將能夠使用公式法的多個(gè)單項(xiàng)式分成一組。例如，x2-2xy+y2-1可分組為（x2-2xy+y2）-1，先使用完全平方公式，再使用平方差公式進(jìn)行因式分解。

三、按次數(shù)差值分

有時(shí)，分組后，每組每項(xiàng)的相同字母的次數(shù)差值相同。例如，a5-a4-a+1可分組為（a5-a4）-（a-1），每組每項(xiàng)的次數(shù)差為1；或（a5-a）-（a4-1），每組每項(xiàng)的次數(shù)差為4。接下來提公因式或運(yùn)用公式法分解徹底。

總之，分組分解法的分解對(duì)象是無法直接提公因式或無法直接使用公式法分解的含有多個(gè)單項(xiàng)式的代數(shù)式。分組的目的是分組后可提公因式或使用公式法分解。這在多項(xiàng)式的因式分解中是一種常用的方法。