整體法，想說少你不可以
——利用平方差公式分解因式之整體法

文韓光東

整體法廣泛應用于初中數學中，對于因式分解，更是不可或缺。簡單來說，其就是把問題或某些條件當成一個整體來處理，在解題時，不是著眼于問題的局部，而是有意識地放大考慮問題的“視角”。下面，我們主要從利用平方差公式分解因式方面，讓同學們體會如何使用整體法。

我們都知道，因式分解中的平方差公式是：a2-b2=（a+b）（a-b）。為了讓同學們更深刻地認識這個公式，明確公式中a、b可以代表的具體內容，我們換一種形式表達：A2-B2=（A+B）（A-B）。這里的A、B既可以指一個數字或字母，也可以指一個復雜單項式或多項式。當A、B指代的是一個復雜單項式或多項式時，我們就需要把這個單項式或多項式當作一個整體來看待，即公式中的A或B，這就應用了整體法的思想。

一、體會整體法

例1 因式分解：16a2-9b2。

【分析】運用整體法不能脫離公式，所以同學們在解決問題前要對所學公式熟練記憶，認清公式的結構特點；要去思考，問題是不是符合公式使用的結構特點，或能不能輕松轉化成對應的結構。平方差公式的結構特點：有兩項，且是“平方”減去“平方”。對于本題，我們發現16a2能夠轉化為（4a）2，9b2可以轉化為（3b）2，這里的4a、3b就相當于公式中的A、B，這樣我們就可以應用公式來處理了。

解：原式=（4a）2-（3b）2

=（4a+3b）（4a-3b）。

例2 因式分解：（2a+b）2-（a-2b）2。

【分析】觀察式子，若把（2a+b）和（a-2b）看作一個整體，即公式中的A、B，則（2a+b）2-（a-2b）2可看作兩項，符合平方差公式的條件，故可以用整體思想來因式分解。同學們要注意分解以后對式子的化簡與分解徹底。

解：（2a+b）2-（a-2b）2

=［（2a+b）+（a-2b）］［（2a+b）-（a-2b）］

=（3a-b）（a+3b）。

例3 因式分解：9（a+b）2-4（a-b）2。

【分析】對于部分同學來說，這道因式分解題有一點難度。主要是因為他們沒有整體意識，拿到問題就想著展開，殊不知這是“南轅北轍”。因式分解是把多項式化成幾個整式積的形式，而不是把它計算、化簡出來。只要掌握了整體法的處理方式，再復雜的因式分解也不再困難。本題在結構上有兩個部分，能看出來是“平方”減“平方”的形式。我們考慮用平方差公式進行解決，接下來，要找的就是公式中的A、B。9（a+b）2可以化成［3（a+b）］2，4（a-b）2可以化成［2（a-b）］2，那么 3（a+b）、2（a-b）就相當于公式中的A、B。然后，就剩套用公式以及化簡、分解徹底的問題了?？赡懿糠滞瑢W會出現找錯A、B的情況，把9（a+b）、4（a-b）當作A、B，這是對平方差公式的結構特點認識不清造成的。有時我們憑感覺做題，是不夠的，還要有依據。

解：9（a+b）2-4（a-b）2

=［3（a+b）］2-［2（a-b）］2

=［3（a+b）+2（a-b）］［3（a+b）-2（a-b）］

=（5a+b）（a+5b）。

二、整體法的靈活運用

例4 已知 4m+n=90，2m-3n=10。求（m+2n）2-（3m-n）2的值。

【分析】本題看上去像是代入求值的問題，但一看條件，并不能直接代入。再觀察要求的式子的結構特點，把m+2n、3m-n當成整體，看作A、B，符合平方差公式，因此考慮先因式分解。至此，問題得到解決。

解：（m+2n）2-（3m-n）2

=［（m+2n）+（3m-n）］［（m+2n）-（3m-n）］

=（4m+n）（3n-2m）

=-（4m+n）（2m-3n）。

當4m+n=90，2m-3n=10時，

原式=-90×10=-900。

例5 已知a、b、c是△ABC的三邊，試判斷（a2+b2-c2）2-4a2b2的正負性。

【分析】若把a2+b2-c2和2ab看作整體，當成公式中的A、B，則（a2+b2-c2）2-4a2b2可以看作兩項，符合平方差公式的結構。由此，可想到利用平方差公式因式分解，然后利用三角形的三邊關系，從而解決問題。

解：（a2+b2-c2）2-4a2b2

=（a2+b2-c2）2-（2ab）2

=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）

=［（a2+b2+2ab）-c2］［（a2+b2-2ab）-c2］

=［（a+b）2-c2］［（a-b）2-c2］

=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）。

∵a、b、c是△ABC的三邊，

∴ a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，從而（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）·（a-b-c）＜0，即（a2+b2-c2）2-4a2b2＜0。

【總結】運用整體法進行因式分解，關鍵是能夠把要分解的多項式與公式對應起來，找準公式中的A、B，再套用公式就可以了。這里，同學們對公式的結構特點要認識透徹，如果對應不準確，到頭來就是竹籃打水——一場空。