因式分解的簡(jiǎn)單應(yīng)用

文田 瀟

進(jìn)入初中后，我們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有了質(zhì)的飛躍，學(xué)會(huì)了用字母表示數(shù)。類比數(shù)的運(yùn)算，我們研究了式的運(yùn)算。在式的運(yùn)算中，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是常見的運(yùn)算，這讓字母的一般性發(fā)揮到了極致。同學(xué)們對(duì)整式的運(yùn)算很容易理解，但往往不能把握因式分解恒等變換的本質(zhì)。如規(guī)定某一矩形的長(zhǎng)和寬分別為（a+1）和（b+1），則同學(xué)們很容易理解兩個(gè)代數(shù)式的和為長(zhǎng)與寬之和，兩個(gè)代數(shù)式的積為該矩形的面積。但同學(xué)們?nèi)绻姷剑╝b+a+b+1），卻不易思考到該代數(shù)式的意義和價(jià)值。因此，我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)中學(xué)習(xí)整式乘法這章內(nèi)容時(shí)，還學(xué)習(xí)了另外一部分恒等變換內(nèi)容——因式分解。本文將介紹因式分解在數(shù)學(xué)中的作用，以供同學(xué)們參考。

一、化繁為簡(jiǎn)

因式分解可化繁為簡(jiǎn)。例如，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)因式分解之前，得到這種式子后便不能再化簡(jiǎn)了，而在學(xué)習(xí)因式分解后，還可將x2+3x+2化為（x+1）（x+2），于是上述式子便最終化簡(jiǎn)為（x+2）。因式分解在后續(xù)圖形的數(shù)據(jù)運(yùn)算或代數(shù)應(yīng)用中都有很多用處，能把復(fù)雜的式子化為簡(jiǎn)單的代數(shù)式，將數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美體現(xiàn)得淋漓盡致。

二、解高次方程

初中代數(shù)領(lǐng)域中，解方程占很大一部分內(nèi)容。從一元一次方程，到分式方程，再到一元二次方程，甚至高次方程，用因式分解能很容易地解決。例如，解方程：x3+x2-2x=0。對(duì)于解一元三次方程，一般方法比較麻煩，初中階段也不涉及，感興趣的同學(xué)可以自行了解一下。這里，我們可以利用因式分解，將方程化為x（x+2）（x-1）=0。幾個(gè)因式的積為零，其中某個(gè)式子必為零。因此解得x1=0，x2=-2，x3=1，這樣就將上述方程輕而易舉地解出來(lái)了。

三、解決面積問題

在初中數(shù)學(xué)中，因式分解還能使數(shù)形結(jié)合應(yīng)用得更加順暢。例如，如何利用兩個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形，3個(gè)邊長(zhǎng)為y的正方形，5個(gè)邊長(zhǎng)分別為x、y的長(zhǎng)方形，拼接成一個(gè)面積最大的長(zhǎng)方形？用因式分解，我們便能輕松地解決。無(wú)論如何拼湊，圖形的總面積不變，是2x2+3y2+5xy。我們可將上式因式分解，試著尋找拼接的長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，可以得到（x+y）（2x+3y）。觀察此式，我們不難看出，拼接的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為（2x+3y）和（x+y），因此構(gòu)造長(zhǎng)和寬如上的長(zhǎng)方形即可。