無窮小存在的證據與康托集合論的錯誤

四川省攀枝花市老年科技工作者協會 張喜安

為了論述方便，我們首先引述康托集合論的兩個集合間一一對應的定義如下：

康托集合論的兩個集合間一一對應的定義：如果存在函數y=f(x)為集合A→B的雙射函數，則集合A和B為一一對應的關系。

康托集合論的基本觀點是一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應，部分可以和全體相等。而這個觀點正是康托集合論的一個定理，本文稱它為康托集合論的基本定理，現在我們把這個定理及其證明引述如下：

康托集合論的基本定理：令a，b為實數，且a＜b，則[a，b]的基數等于[0，1]的基數，即等于c。

證明：令y=f(x)=a+(b-a)x，顯然，y=f(x)為[0，1]→[a，b]的一個雙射函數，這就證明了[a，b]的基數等于[0，1]的基數，即等于c。

為了論述得簡單明了，我們取一種具體的情況，即令a=0，b=2，于是就得到集合[0，2]，并且[0，1]和[0，2]是兩個實數點的集合，[0，1]是[0，2]的真子集，這是已知條件。為了論證需要，我們首先讓[0，1]和[0，2]都在x軸上，現在假定[0，1]和[0，2]為一一對應的關系，則相互對應的元素的性質就存在相同和不同兩種情況。如果相互對應的元素的性質相同，根據集合論的外延公理：如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，并且集合B的每一個元素都是集合A的元素，則A=B，所以[0，1]=[0，2]，但是，這是和客觀事實矛盾的；如果[0，1]和[0，2]相互對應的元素不同，則[0，1]不是[0，2]的子集，因此[0，1]也就不是[0，2]的真子集，這不僅和已知條件相互矛盾，而且和客觀事實相互矛盾，那是因為在[0，1]和[0，2]在同一個坐標軸上的時候，[0，1]一定是[0，2]的真子集，因此，在[0，1]和[0，2]都在x軸上的時候，[0，1]和[0，2]不可能是一一對應的關系，只能是非一一對應的關系。也就是說，在這種情況下，康托集合論的基本定理的證明不能成立。因為這個定理是根據康托集合論的兩個集合間一一對應的定義證明的，所以這個定義的正確性就值得懷疑。現在我們再讓[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上，根據康托集合論的理論，由于存在函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，所以[0，1]和[0，2]為一一對應的關系，這時[0，1]和[0，2]相互對應的元素的性質就存在相同和不同兩種可能。如果[0，1]和[0，2]相互對應的元素的性質相同，則根據集合論的外延公理，有A=B，因此[0，1]=[0，2]，這顯然和客觀事實矛盾。因此只有一種可能，那就是[0，1]和[0，2]相互對應的元素具有不同的性質。而實數點的集合，它們的元素是沒有性質的，因此這時的[0，1]和[0，2]就是兩個非實數點的集合。因為函數y=2x的存在改變了它的判斷對象[0，1]和[0，2]的性質，使它們從兩個實數點的集合變為兩個非實數點的集合，所以康托的兩個集合間一一對應的定義就是錯誤的，根據它證明的康托集合論的基本定理也就不能成立，所以康托集合論也就是一個錯誤的理論。

前面已經指出，在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上的時候，一方面，由于存在函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，所以[0，1]和[0，2]為一一對應的關系，另一方面，也正是由于函數y=2x的存在，[0，1]和[0，2]的元素，即點就具有了不同的性質。現在我們就來研究一下它們具有什么樣的不同的性質。由于[0，1]和[0，2]是一一對應的關系，所以[0，1]和[0，2]的點的數目相等，但是[0，2]對應的線段的長度卻是[0，1]對應的線段的長度的2 倍，原因是集合[0，1]和[0，2]上的元素，即點一定具有不同的長度，而點所具有的長度只能是小于任意正實數，但是又不等于0 的無窮小長度，并且這些無窮小長度又必須遵守算術公理，也就是說，集合[0，1]和[0，2]上的點的無窮小長度的算術和分別等于[0，1]和[0，2]對應的線段的長度。而[0，1]和[0，2]具有不同的性質，則可以理解為，[0，1]和[0，2]上的點具有不同的無窮小長度，具體地說，即[0，2]上的點所具有的無窮小長度是[01]上的點所具有的無窮小長度的2 倍。

這也就是說，由于函數y=2x的存在，x軸上和y軸上的點具有了無窮小的長度，并且y軸上的點所具有的無窮小長度是x軸上的點所具有的無窮小長度的2 倍，這些無窮小長度都遵守算術公理。根據以上的論證，我們可以假定，由于函數y=f(x)的存在，兩個軸上的點就具有了無窮小的長度，這時兩個軸上的點也就不是實數的點，而是超實數的點，同時超實數點所對應的數就是超實數。現在令X=x+dx表示x軸上的超實數點，其對應的數就是超實數。其中x為實數，表示該點到原點的距離，dx為無窮小，它表示該點所具有的無窮小長度，它小于任意正實數，但是不等于0，并且遵守算術公理。請注意，這里的dx和經典微積分的微分概念有本質的區別。同樣的，Y=y+dy。如果有實函數y=f(x)，那么有超實函數Y=f(X)=f(x+dx)。因為Y=y+dy，所以dy=Y-y，因此dy=f(x+dx)-f(x)。這是一個重要的公式，我們稱它為超實函數的基本公式。現在讓我們來比較超實函數Y=f(x+dx)和實函數y=f(x)之間的差別時就會發現，實函數是超實函數丟掉了dx而得到的函數，因此和超實函數比較，實函數就是一個不完整的函數。再有，我們應該認識到，超實函數是客觀存在的，并且是我們原來所不知道的一個函數，而實函數只是超實函數的一個伴隨的不完整的函數。根據超實函數的基本公式dy=f(x+dx)-f(x)，如果有實函數y=2x，那么有dy=2dx。其中dy表示y軸上的點所具有的無窮小長度，dx表示x軸上的點所具有的無窮小長度。根據dy=2dx，則y軸上的點所具有的無窮小長度是x軸上的點所具有的無窮小長度的2 倍。如此可見，康托只知道，由于存在函數y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數，因此[0，1]和[0，2]是一一對應的關系，而康托卻不知道，也正是由于函數y=2x的存在，使兩個實數點的集合[0，1]和[0，2]變成兩個非實數點的集合，這就說明了，作為判斷兩個實數點的集合是否為一一對應關系的定義，卻改變了它的判斷對象[0，1]和[0，2]的性質，使它們從兩個實數點的集合變成兩個非實數點的集合，因此，康托的兩個集合間一一對應的定義就是一個錯誤的定義，康托集合論也就是一個錯誤的理論。

上面關于無窮小存在性的證明充分表明了，康托對于無窮小理論的否定是完全錯誤的。對于無窮小數，非標準分析的創始人，美國數學家魯濱遜認為：在實數之后，下一個十分自然的步驟，即引入無窮小。而在無窮小的基礎之上引入的超實函數，則給數學的發展提供了更為廣闊的空間。