基于鍵基近場動力學理論的單裂紋圓孔板沖擊破壞研究

劉 寧，胡夢凡，周 飛

(南京理工大學機械工程學院，南京210094)

巖石是隧道、礦山、鉆探等大型工程中的主要研究對象，研究其裂紋的起裂、擴展與止裂的規(guī)律具有極其重要的意義。動態(tài)斷裂韌度是控制裂紋擴展的主要參數之一，其數值對工程設計與研究具有重要價值[1?2]。

研究巖石動態(tài)斷裂行為常用爆炸沖擊加載[3]，落錘沖擊加載[4]，分離式霍普金森桿(SHPB)沖擊加載[5]等，其中分離式霍普金森桿加載目前被廣泛用來研究材料的動態(tài)斷裂行為。倪敏等[6]利用分離式霍普金森桿，采用實驗-數值法與準靜態(tài)法對比研究了單裂紋圓孔板(SCDC)的斷裂韌度，對裂紋動態(tài)擴展過程研究較少。楊井瑞等[7]研究壓縮單裂紋圓孔板試樣，提出實驗-數值-解析法解算試樣起裂韌度和擴展韌度，并研究了試樣動態(tài)止裂問題。曹富等[8]研究受沖擊壓縮單裂紋圓孔板裂紋起裂、擴展、止裂和二次起裂過程，用實驗-數值-解析法確定起裂韌度、擴展韌度、止裂韌度和二次起裂韌度。李煉等[9]采用霍普金森桿加載系統對偏心圓孔單裂紋圓盤的裂紋擴展進行試驗，采用實驗-數值-解析法得到動態(tài)應力強度因子，分析裂紋起裂、擴展和止裂的全過程。Wang 等[10]提出單裂紋半圓試樣(SCSC)，進行純I型和混合I/II 型巖石的動力斷裂實驗，并用AUTODYN 軟件模擬裂紋擴展行為。為了更好的觀測止裂情況，Wang 等[11]采用一種新的V 型底單裂紋半圓試樣(VBSCSC)，能有效抑制裂紋的擴展，采用ABAQUS軟件計算了應力強度因子，利用實驗-數值法確定動態(tài)斷裂韌性。David 等[12]研究了透明材料在動態(tài)載荷作用下裂紋擴展規(guī)律，采用XFEM 法模擬實驗結果。Ai等[13]研究了巴西圓盤巖石試樣在霍普金森壓桿作用下裂紋擴展規(guī)律，采用動態(tài)電阻應變儀和高幀相機進行測試，采用近場動力學方法進行數值模擬，揭示了巖石材料在高應變率載荷作用下的斷裂行為和機理。

傳統數值方法如有限元方法(FEM)、有限差分法(FDM)等，基于空間連續(xù)性與局部接觸作用假設建模，通過空間微分方程求解問題，但在處理裂紋擴展、沖擊破壞等不連續(xù)問題時，還存在相當大的困難[14]。近場動力學理論(Peridynamics,PD)由美國Sandia 國家實驗室Silling 教授首次提出[15?16]，基于非局部作用思想建模，用空間積分方程來描述物質點的運動，對于從連續(xù)到非連續(xù)、微觀到宏觀的力學行為具有統一的表述，數值上天然具有無網格屬性和不連續(xù)求解功能，在分析不連續(xù)問題時具有較大的優(yōu)勢[17?18]。在霍普金森桿沖擊單裂紋圓孔板研究中通常采用實驗-數值法[6?9]，需先通過實驗測得作用在試件上的加載力，再利用有限元程序計算得到試件的動態(tài)斷裂韌度。而本文采用鍵基近場動力學方法(Bond-based PD)建立霍普金森桿沖擊加載、試件多裂紋發(fā)展全過程近場動力學模型，實現了一體化數值仿真，在裂紋模擬適用性和方法便捷性等方面均具有較大優(yōu)勢。

1 近場動力學理論

1.1 基本思想

如圖1所示，設在任意時刻t，空間域R中任一物質點x與其周圍一定范圍δ(近場范圍)內的任意其它物質點之間存在本構力函數f作用，根據牛頓第二定律可得近場動力學方法的運動方程：

式中：u為物質點位移；u¨ 為物質點加速度；b為體力密度；ρ為材料密度；dV x′表示物質點x′處的體積微元；f為物質點x與x′之間本構力函數，定義物質點間相對位置ξ 及相對位移η 為Ω：

圖1 物質點間相互作用關系Fig.1 Grid relationship in PD model

對于鍵基近場動力學模型，式(1)中物質點間的本構力函數f可以寫為：

式中，ω(ξ,η)為點對勢函數：

式中：c(ξ)表示微觀彈性模量；s表示物質點對的伸長率。

式中，G0為材料的斷裂能。

引入物質點對的破壞情況占比φ來表示此局部破壞水平：

對于均質各向同性材料，將物質點對勢能與傳統彈性力學應變能等價，可得微觀彈性模量c表達式，對于本文試件沖擊壓縮二維平面應力問題：

式中：E為彈性模量；ν表示泊松比。

霍普金森桿為大長徑比結構，可簡化為一維PD模型研究，微觀彈性模量表達式為：

1.2 數值方法

將巖石板離散為物質點，運動方程式(1)的離散形式可表示為：

時間步長采用文獻[16]公式計算：

其中，cip=c(xp?xi)。

2 仿真模型

2.1 單裂紋圓孔板沖擊模型

根據文獻[6]分離式霍普金斯桿沖擊單裂紋圓孔板(SCDC)試驗裝置，如圖2所示，建立單裂紋圓孔板沖擊破壞PD模型。試件彈性模量為17.67 GPa，密度為3055 kg/m3，幾何尺寸如圖3所示，試件左端面到圓心的距離L1=42 mm，右端面到圓心的距離L2=121 mm，試樣寬度w=80 mm，圓孔直徑D=15.5 mm。

圖2 霍普金森桿沖擊加載實驗裝置Fig.2 Schematic view of the SHPB

圖3 單裂紋圓孔板試樣幾何形狀Fig.3 Geometric configuration of single cleavage drilled compression specimen

霍普金森壓桿直徑為D=100 mm，入射桿長為4500 mm，透射桿長為2500 mm，壓桿彈性模量E1=210 GPa，泊松比ν1=0.3，密度ρ=7850 kg/m3，可求得波在入射桿及透射桿中理論上的傳播速度：

應力波從入射桿傳播至試樣需870μs。為了提高求解效率，入射桿及透射桿采用一維PD模型，SCDC采用二維PD模型，數值離散后一維桿模型節(jié)點間距?xH=0.5 mm，取其臨域半徑δ=2.2mm；二維模型離散后節(jié)點間距Δx=0.5 mm，臨域半徑δ2=1.65 mm，鍵臨界伸長率s0=0.0042。時間步長統一取Δt=2×10?7s。

2.2 碰撞模型

式中：A=(πD2)/4為壓桿的截面積；h為試件厚度。

同理可寫出試樣右端和透射桿之間的受力模型：

2.3 整形器模型

為了改善加載波形，優(yōu)化試樣受到的激勵信號，實驗中采用波形整形器來過濾波形中的高頻信號，在進行數值模擬時也需考慮整形器影響。通常采用銅作為波形整形器，Frew 等[20]給出了其應力-應變關系：

其中，σ0=625 MPa，n=0.32，m=4.25，計算應力-應變關系如圖4所示。卸載過程是彈性的，其彈性模量E=117 GPa。

圖4 銅的應力-應變關系曲線Fig.4 Stress-strain curve of copper

沖擊部分各部件的尺寸和材料參數如表1所示。

表1 材料參數Table 1 List of Material Properties

在碰撞過程中整形器發(fā)生形變，其橫截面積可以表示為：

式中：L0為整形器初始長度；A0為整形器初始截面積；L為變形后的長度，等效應力隨橫截面尺寸的改變而改變：

圖5給出了不同撞擊速度下應變波形的曲線圖，從圖中可以看出撞擊速度越大，應變峰值越高，到達峰值所用時間越短，采用整形器模型所得的波形曲線較平滑，波形得到明顯改善。

圖5 不同撞擊速度波形圖Fig.5 Strain curvesof different impact velocities

3 數值仿真結果及分析

3.1 不同撞擊速度裂紋擴展過程

試件預制裂紋長度為25 mm，采用不同的加載速度撞擊，研究試件裂紋擴展過程和破壞模式。當撞擊速度較小時，主裂紋沿著預制裂紋方向擴展將巖石一分為二，應變能集中于裂紋尖端以及中心圓孔上下兩端，隨著主裂紋擴展完成后，次生裂紋逐漸產生，從中心圓孔上下兩端萌發(fā)，逐漸向上下貫穿將巖石分為四片，如圖6所示；當撞擊速度較大時，主裂紋仍然沿預制裂紋方向迅速擴展，應力波傳播至右端面反射回與入射波相互作用，導致圓孔左上部分與右下部分應力集中，最終產生剪切破壞形成U 型裂紋，與此同時主裂紋停止擴展(止裂)，之后主裂紋起裂繼續(xù)擴展直達右端面，主裂紋擴展完成后次生裂紋逐漸產生，如圖7所示。圖8為數值模擬裂紋擴展結果與文獻[6]實驗結果的對比，二者具有較好的一致性。

3.2 試樣端面受力分析

預制裂紋長度為10 mm，當撞擊速度為9.43 m/s時，數值模擬所得入射桿與透射桿中應變波如圖9所示，和實驗數據吻合較好[6]。

圖10表示撞擊速度為9.43 m/s時試件左右端面所受應力隨時間變化的云圖。靠近圓孔的左端面，受到沖擊后端面受力逐漸增加，且由于中間部分向內凹陷，中間部分受力較兩端小，當試樣裂紋開始擴展時，端面受力極其不均勻，受力狀況呈V 形分布，中間局部區(qū)域甚至處于不受力狀態(tài)；遠離圓孔的右端面，在前期受力分布相對均勻，由于裂紋不斷擴展，試樣逐漸被分為兩塊，中間部分向會內凹陷，受力較小。

對比文獻[6]采用疊加法進行試樣端面的平面加載情況，本文模型得到的裂紋起裂后的端面受力和形變分布極不均，充分反映了試件沖擊破壞期間復雜的動態(tài)響應過程。

3.3 裂紋擴展過程分析

對SCDC 試樣主裂紋的擴展情況進行研究，對比試驗得到的起、止裂時間及裂紋的擴展特點，分析SCDC的起止裂規(guī)律。

圖6 沖擊速度為6 m/s時試件裂紋擴展過程Fig.6 Crack propagation contour for impact velocity of 6 m/s

圖7 沖擊速度為12.5 m/s時試件裂紋擴展過程Fig.7 Crack propagation contour for impact velocity of 12.5 m/s

圖8 數值模擬與實驗結果對比[6]Fig.8 Comparison of the numerical results against the experiment results[6]

圖9 入射桿與透射桿上應變波信號Fig.9 Comparison of the strain signals between the incident bar and the transmission bar

圖11與圖12給出了撞擊速度為9.43 m/s時裂紋的擴展長度、擴展速度隨時間變化情況。預制裂紋在973μs時起裂，然后迅速擴展，中途會出現止裂現象，在止裂前擴展速度會逐漸下降。在1164μs時出現二次起裂，裂紋擴展速度瞬間增加，而且二次起裂后的擴展速度較第一次擴展速度大，擴展速度處于不穩(wěn)定狀態(tài)。裂紋尖端的時程曲線與實驗吻合較好。

為了研究裂紋擴展過程與撞擊速度的關系，圖13給出了不同撞擊速度下裂紋擴展長度時間曲線，可見裂紋擴展都經歷了起裂-擴展-止裂-二次起裂的全過程，撞擊速度越大，起裂時間越短，第一次止裂時裂紋擴展的長度更長；當撞擊速度較低時，裂紋會產生多次止裂現象，第一次加載時裂紋擴展一段距離后止裂，試樣獲得的能量不足以使裂紋發(fā)生二次起裂，等到應力波在入射桿中傳播一個來回后再次加載，試樣得到足夠的能量才能導致二次起裂，因此裂紋會擴展較長的時間(≈1680μs)。

圖10 試樣端面受力分布(v0=9.43 m/s)Fig.10 Stresscontoursof the left and the right end surfaces(v0=9.43 m/s)

圖11 裂紋擴展長度曲線Fig.11 Curve of crack length

圖12 裂紋擴展速度曲線Fig.12 Curveof crack velocity

圖13 不同撞擊速度下裂紋擴展情況Fig.13 Crack growing comparison ofdifferent impact velocities

4 動態(tài)應力強度因子計算

通過PD理論計算J積分的方法已有報道[21?23]，對于鍵基PD理論，采用Hu 等[22]提出了裂紋尖端J積分方法：

為了驗證本文動態(tài)應力強度計算結果的合理性，首先對經典Chen 的問題進行了分析，結果如圖14所示，與Murti 等[24]的求解結果進行對比，采用PD方法計算的動態(tài)應力強度因子與其吻合較好。因此本方法可用于SCDC模型的應力強度因子計算。

圖15給出了撞擊速度為7 m/s時試件動態(tài)應力強度因子曲線。由圖13可知，裂紋初始起裂時間為1000μs，此時動態(tài)應力強度因子為2.9 MPa?m1/2，二次起裂時間為1147μs，對應的動態(tài)應力強度因子為3.24 MPa?m1/2。在裂紋擴展的時候，能量釋放，裂紋尖端的應力強度因子大小逐漸下降，直至裂紋止裂后，裂紋尖端能量逐漸積累，其應力強度因子大小逐漸增加，直至超過二次起裂韌度后再次起裂。

進一步計算了不同撞擊速度下裂紋的起裂韌度，如圖16所示，可以看出，試件動態(tài)起裂韌度隨撞擊速度的增加而增大。

圖14 動態(tài)應力強度因子算例結果對比[24]Fig.14 Calculated dynamic stress intensity factors[24]

圖15 試件動態(tài)應力強度因子計算曲線Fig.15 The curve of the dynamic stress intensity factor

圖16 不同撞擊速度下的動態(tài)起裂韌度Fig.16 Crack initiation toughnessunder different impact velocities

5 結論

本文建立了分離式霍普金森桿沖擊單裂紋圓孔板(SCDC)近場動力學模型，模擬了試件動態(tài)斷裂全過程，獲得了裂紋擴展模式和發(fā)展規(guī)律，與實驗結果吻合較好。

(1)受圓孔影響，SCDC試樣端面受力不均勻，在裂紋擴展時呈現V 形分布。

(2)SCDC試樣沖擊破壞過程中，裂紋擴展經歷了起裂-擴展-止裂-二次起裂的復雜過程。

(3)加載速度較小時，裂紋呈現十字形，當加載速度較大時，圓孔與左端面之間出現剪切破壞，呈現U 形裂紋。

(4)加載速度越大，起裂韌度越大。

本文方法除了可模擬單裂紋圓孔板破壞過程，對脆性材料雙裂紋圓孔板、圓盤沖擊、預制裂紋三點簡支梁、Kalthoff-Winkler 模型等經典沖擊破壞問題的裂紋起裂、擴展、分叉均有較好的模擬精度，相比傳統數值方法具有明顯優(yōu)勢，可推廣應用于更廣泛的工程斷裂問題研究。