基于等幾何方法的壓電功能梯度板動力學及主動振動控制分析

劉 濤，汪 超，劉慶運，胡文鋒，胡曉磊

(1. 安徽工業大學機械工程學院，馬鞍山243002；2. 上海大學機電工程與自動化學院，上海200072)

壓電智能結構因其具有自診斷、自適應和自修復的性能被廣泛應用于航空航天、生物醫學等領域。其是將壓電材料粘貼(或埋置)于梁、板、殼等結構的表面(內部)。當外部環境發生變化時，它能夠根據其自身的物理特性和形狀變化做出響應。伴隨著先進制造技術的革新，壓電智能結構形式更加多樣化、復雜化。因此，研究不同形式的壓電智能結構的力學行為，具有重要科學和工程意義。目前，國內外學者已開展了相關的靜力學[1]、動力學[2]、主動控制[3?5]、非線性[6?7]等問題的研究。

壓電智能板結構是壓電智能結構最基本的結構形式之一，就其數值建模方法來看，構造層合板單元常采用三維彈性理論、疊層層合理論以及包含經典板理論(CPT)、一階剪切變形理論(FSDT)、高階剪切變形理論(HSDT)的等效單層理論。其中，等效單層理論所耗費的計算量相對較少。因此，許多學者將等效單層理論與多種數值方法相結合用于壓電智能板結構力學性能的研究。

基于有限單元法(FEM)，He 等[3]與Liew 等[4?5]研究了表面粘貼有壓電層的功能梯度板(壓電功能梯度板)在機-電-熱載荷下的靜力學、動力學特性和主動振動控制等問題。Wang 等[8]分析了壓電智能層合板的主動振動控制與動態穩定性，并提出將傳感器層和驅動器層粘貼于中間層的同一方向，以解決當傳感器層和驅動器層分布于中間層的上下表面、且中間基層的鋪設角度為[?45°/45°/?45°/45°]時系統不穩定的問題[9]。基于廣義C0連續的高階剪切變形理論，Nguyen 等[10]利用多邊形有限單元法分析了壓電梯度多孔板非線性靜態、動態響應以及帶有壓電層的石墨烯增強的功能梯度金屬泡沫板[11]的主動振動控制問題。Phung-Van 等[12]基于單元光滑有限元方法(CS-FEM)對壓電智能層合板的力學性能進行了研究。在CSFEM 中，其先將每個母三角形單元劃分為三個子三角形單元，并在每個子三角單元中利用離散剪切間隙法消除剪切自鎖[13]；然后在整個母三角形單元上運用應變光滑技術解決三角形單元在FEM 計算中偏“剛性”的缺陷[14?15]。利用這種方法，Nguyen-Quang 等[16]則針對壓電功能梯度板的靜力學和主動振動控制問題進行了研究。結合HSDT和馮·卡爾曼方程，Fakhari和Ohadi[17]研究了熱環境下壓電功能梯度板的非線性主動振動控制等問題。Wang 等[18]利用FEM 和改進的非支配排序遺傳算法提出了一種用于壓電智能層合板形狀控制的設計方法。其主要目的是通過同時優化基板(層合板)和執行器(壓電材料)使板的靜態形狀控制達到最大化。Tzou 和Tseng[19]利用恒增益和恒振幅兩種負速度反饋控制方法，分析了表面粘貼有多片分布式壓電材料的智能壓電復合板的主動振動控制問題。

無網格法克服了有限元法對網格的依賴[20]，在涉及網格畸變、網格移動問題時具有明顯的優勢[21]。這也使得它成為壓電智能結構主要的研究方法之一。Li 等[22]用雙向B樣條有限點法，研究了表面粘貼有壓電層的層合板(壓電智能層合板)的靜力分析、靜態變形控制和材料參數識別。Selim 等[23]基于Reddy[24]的三階剪切變形理論和IMLS-Ritz 方法研究了兩種不同結構的壓電功能梯度板的主動振動控制問題。基于徑向點插值方法，Liu 等[25]分析了壓電智能層合板的靜態、動態形狀控制，Nourmohammadi 等[26]則分析了壓電功能梯度板的幾何非線性響應。

上述研究工作大多采用有限單元法或無網格法，盡管利用這些方法對壓電智能結構進行研究的成果已經較為豐富。但就上述的數值方法而言，它們也存在各自的弊端。例如：FEM會因為單元畸變導致計算精度降低[27]；無網格法由于沒有明確統一的數學表達形式，且不同構造體系下的參數也呈現不確定狀態，使其不易形成通用性集成化程序[28]。為解決這些問題，Hughes等[29]提出一種新的數值方法?等幾何分析(Isogeometric analysis,IGA)。其基本思想是將計算機輔助設計(Computer aided design,CAD)的非均勻有理B樣條(NURBS)作為計算機輔助工程(Computer aided engineering,CAE)的形函數，這樣既避免了如有限元使用拉格朗日多項式插值函數帶來的逼近誤差，又獲得了力學數值方法所需的高階性。

目前，已有少部分學者將IGA 引入到壓電智能結構的分析中。如，Phung-Van 等利用高階剪切變形理論分析了壓電智能層合板的線性[30]、非線性動態響應控制[31]。在壓電智能結構中，功能梯度板因其材料具有應力緩和的獨特性能，若采用其作為基體，可通過控制材料梯度變化，并結合壓電層電場大小，產生預期的變形及運動。基于等幾何分析，少量學者研究了壓電功能梯度板在機-電-熱負載下的幾何非線性瞬態響應[32]以及表面粘貼有壓電層的石墨烯增強的功能梯度多孔板的靜態、動態響應[33]。

上述文獻研究的結構大多為壓電層對稱分布于功能梯度材料板的上、下表面(結構A：圖1(a))，并沒有考慮此類結構用于振動控制時的動態穩定性。此外，功能梯度材料常被應用于熱環境當中，此類壓電層對稱分布的結構使得總會有一側的壓電材料暴露于高溫壞境中，而溫度會對壓電材料的彈性模量、介電常數等產生較大的影響[34]，最終影響智能結構的性能。若將兩層壓電材料分布于功能梯度材料的同一側(低溫測，結構B：圖1(b))，則會有效地減少溫度對于壓電材料性能的影響。針對結構A 和結構B兩種壓電功能梯度板，Selim等[23]研究了它們的主動振動控制問題，但其只分析了兩種結構的振動控制效果。目前，有關兩種結構的動態響應以及在主動控制中的傳感器、驅動器的電壓響應的研究工作較為鮮見。而這些問題恰恰對壓電智能結構的設計和工程應用有著重要的影響。如：兩種板結構的剛度有何不同、在振動控制過程中傳感器、驅動器的電壓響應存在何種差異。這些問題直接影響著結構本身、控制器以及控制硬件(如功率放大器)的設計。

圖1 壓電功能梯度板Fig.1 Piezoelectric functionally graded plate

因此，本文基于等幾何分析方法與Reddy 的三階剪切變形理論，并引入物理中面的概念，研究如圖1 所示的兩種不同結構的壓電功能梯度板的動態響應及主動振動控制問題。文中重點分析兩種結構在不同機械載荷下的動態響應、振動控制效果以及傳感器和驅動器的電壓響應，旨在為壓電智能結構的設計及工程應用提供參考。

1 壓電功能梯度板模型

定義壓電功能梯度板的長為a，寬為b。功能梯度材料層由金屬和陶瓷組成，其厚度為hf。每層壓電材料的厚度均為hp，板的總厚度為ht=hf+2hp。本文研究的兩種結構形式如圖1所示。忽略各層之間的膠粘層，在結構A 中，功能梯度層的上、下表面均覆蓋有一層壓電材料。其中，上壓電層極化方向向下，下壓電層極化方向向上；在結構B中，功能梯度層的上表面覆蓋兩層極化方向均向上的壓電層。

1.1 功能梯度層的體積分數

在功能梯度層中，定義金屬材料的體積分數含量沿厚度方向呈冪函數分布。

對于結構A：

式中：下標c和m 分別代表非金屬和金屬；z代表厚度方向上的坐標，對于結構A：z∈[?hf/2,hf/2]，對于結構B：z∈[?ht/2,ht/2?2hp]；n為功能梯度指數n∈[0,∞]；Pc和Pm分別為非金屬和金屬的相關材料屬性，如密度、彈性模量或者泊松比等。

1.2 三階剪切變形理論

為消除非均勻復合材料結構力學問題中拉伸-彎曲耦合效應，本文引入物理中面的概念[35]，結合三階剪切變形理論，可得到壓電功能梯度板內部任意一點的位移為：

1.3 本構方程

式中：D為電位移向量；e和g分別為壓電應力常數矩陣及介電常數矩陣

對于結構B，式(22)中積分區域要做修改。

1.4 等幾何分析

在壓電功能梯度板中，本文采用NURBS基函數對機械位移場與電勢場分別進行離散化。

1.4.1 NURBS 基函數

對于二維平面問題，NURBS 基函數由兩個方向的一維B樣條基函數的張量積構成[37]：

2 閉環控制分析

如圖2所示，在結構A 的閉環控制中，上壓電層作為驅動器，下壓電層作為傳感器。結構在機械載荷作用下產生機械變形時，傳感器層感知結構的變形而產生相應的輸出電壓。通過反饋控制原理，該感應電壓通過控制器控制增益放大后，作為驅動器的輸入電壓。驅動器由于逆壓電效應產生相應的反驅動力抑制結構的變形，從而達到控制結構變形的目的。對于結構B，上壓電層作為傳感器，下壓電層作為驅動器。

圖2 帶有壓電驅動器和傳感器的功能梯度板的主動控制示意圖Fig.2 Diagram of the active control of the FGPwith surfacebonded a piezoelectric actuator and sensor

根據上述分析，在閉環控制中，式(37)可改寫為：

3 數值算例

本節，首先通過分析壓電智能結構的自由振動與靜態彎曲響應，驗證了本文所提等幾何分析方法的正確性和有效性；其次，利用模態疊加技術與Newmark-β 直接積分法，分析了兩種不同結構的壓電功能梯度板的動態響應及在主動控制中的振動、電壓響應。

文中所有數值算例的網格密度均采用16×16、NURBS基函數階次均取為p=q=3。機械邊界條件簡寫為：簡支(S)，固支(C)，自由(F)。如未特殊說明，材料參數可查閱表1。

3.1 驗證性分析

3.1.1壓電功能梯度板固有頻率分析

如圖1(a)所示，一個四邊簡支的壓電功能梯度板的尺寸為：a=b= 400 mm,hf= 5 mm,hp= 0.1 mm。其功能梯度層材料為Ti-6A1-4V 與aluminum oxide、壓電層材料為PZT-G1195N。表2列舉了板的第1階、2階、4階、6階、8階固有頻率。通過與文獻[39]的解析解結果比較，驗證了本文方法的正確性。

表1 材料參數Table 1 Material parameters

表2 四邊簡支(SSSS)PFGP 的固有頻率/Hz Table2 Natural frequencies for an SSSSPFGP

3.1.2懸臂壓電雙晶梁靜態彎曲響應分析

如圖3所示，以一個懸臂壓電雙晶梁為例，對壓電智能結構的靜態彎曲響應進行分析。梁的尺寸為100 mm×5 mm×1 mm，其上、下層壓電材料采用極化方向相反的PVDF材料(上層極化方向向下，下層極化方向向上)。材料參數為E11=E22=2.0 GPa,G12=1.0 GPa,ν12=0,e31=e32=0.046 C/m2,k11=k22=k33=0.1062×10?9F/m。當 對 上、下 壓 電層施加外電場時，梁因逆壓電效應而產生彎曲變形。

表3 為不同電壓下梁末端(x=a,y=b/2)的撓度值。可以看出，本文所提方法對于分析含壓電材料的智能結構的靜態彎曲行為的有效性。

3.2 動態響應分析

定義四種時變機械載荷為：

圖3 壓電雙晶梁示意圖[22]Fig.3 Geometry of a piezoelectric bimorph beam[22]

表3 同電壓載荷下壓電雙晶梁的末端撓度值/(1×10?6 m)Table 3 Tip deflectionsof the cantilever piezoelectric bimorph beam with different voltages

式中，q0=?15 MPa，F(t)如圖4所示，其表達式為：

在正弦橫向載荷(Sinusoidal load)作用下，一個長度為200 mm、厚度為10 mm 的四邊簡支的功能梯度(Al/Al2O3)方板在n= 1 時，其中心點的無量綱化撓度=w/h如圖5所示。該結果與文獻[33]的結果基本一致。

圖4 四種時變機械載荷F(t)Fig.4 Four different time-varying loads F(t)

圖5 n= 1時，四邊簡支的功能梯度板中心點的無量綱化撓度Fig.5 Dimensionlessdeflection of center poin for an SSSSFGPwith n=1

在此基礎上，對結構A、結構B兩種壓電功能梯度板的動態響應進行分析。兩種結構的機械邊界條件均為四邊固支。壓電層是厚度為2 mm 的PZT-G1195N 材料。功能梯度層是厚度為20 mm的Ti-6A1-4V/aluminum oxide 材料。板的尺寸為200 mm ×200 mm(a×b)。式(64)與式(65)中的均布載荷q0=?10 000 N/m2，γ=330 s?1，t1=0.003 s。

圖6與圖7分別為兩種板結構的中心點在四種不同橫向機械時變載荷下的動態撓度。可以看出：1)當功能梯度指數n增加時，板中心點撓度的振幅和周期隨之減小。這是由于n增加時，板的陶瓷成分也逐漸增加，板的剛度隨之增強；2)結構A 的動態撓度振幅大于結構B的。但隨著n的增加，這種差距逐漸減小；3) 在相同的材料及尺寸條件下，結構B的剛度大于結構A。

3.3 主動振動控制分析

本節，首先利用速度反饋控制方法，研究了兩種不同結構的懸臂壓電功能梯度板的主動振動控制，驗證了該方法的有效性。其次，分析了結構A 與結構B在自由振動和受迫振動時的主動振動控制、傳感器層電壓響應、驅動器層電壓響應。

算例1.懸臂壓電功能梯度板

圖6 板結構A 中心點動態撓度Fig.6 Dynamic deflection of center point of plate structure A

板的尺寸為300 mm ×300 mm (a×b)，功能梯度層是厚度為5 mm 的Ti-6A1-4V/aluminum oxide材料。壓電層是厚度為0.1 mm 的PZT-G1195N 材料。僅在此算例中，PZT-G1195N 的壓電應力常數e31=e32=6.1468 C/m2。

圖7 板結構B中心點動態撓度Fig.7 Dynamic deflection of center point of plate structure B

圖8 n=1時，懸臂板的末端撓度Fig.8 Tip deflection of a cantilevered plate with n=1

因此，在動態響應控制分析中，本文采用物理中面來消除拉彎耦合效應對于結構A 的影響，從而使系統穩定。

圖9與圖10為速度反饋增益Gv對兩種板結構末端節點動態撓度的控制效果。可以看出，結構A 與結構B均可有效地實現功能梯度板的動態響應控制。

算例2.四邊固支的壓電功能梯度板

板的材料及尺寸均與3.2節動態響應分析中的壓電功能梯度板相同。式(65)中，t1=0.002 s。引入瑞利阻尼，在四種機械載荷作用下，兩種板結構中心點動態撓度的控制效果如圖11和圖12所示。通過對比可知：1)Gv=0時，由于板的結構阻尼，動態撓度的振幅逐漸減小；2)隨著速度增益Gv的增大，主動阻尼C=GvKφφa Kφ?φ1sKφus隨之增大，強迫振動階段和自由振動階段動態撓度的振幅均減小的越快；3)與本節算例1類似，兩種結構在不同時變機械載荷作用下，板的動態撓度響應控制效果均較好。

圖13與圖14分別為兩種結構的傳感器層中心點的動態電壓。可以看出：1)Gv=0時的動態電壓的振幅大于Gv≠ 0時的振幅；2)結構A 與結構B傳感器層的輸出電壓響應方向相反，且結構B電壓的振幅大于結構A。這是由于在計算結構A 的機電耦合剛度矩陣Kφus時，矩陣e?(式(45))中的第2項(z?z0)eTm、第三項(z3?c0)eTm在z方向(z∈[?ht/2,?hf/2])積分后為負所造成的。

圖9 結構A：板末端動態撓度控制效果Fig.9 Structure A:thetip transient deflectionof a cantilevered plate

圖10 結構B：板末端動態撓度控制效果Fig.10 Structure B:the tip transient deflection of a cantilevered plate

圖15與圖16分別為兩種結構的驅動器層中心點的動態電壓。通過對比可知：1)Gv的值越大，傳感器層動態電壓的振幅也越大，這是由式(58)決定的；2)在驅動器層，結構B抑制振動所需的驅動電壓振幅大于結構A，且兩者方向相反。這是由于結構A 與結構B的驅動器層位置不同、且極化方向相反；3)由于結構B驅動器所需電壓高于結構A，若選用結構B此類結構進行設計時，更應考慮其電退極化效應[34]。

圖11 結構A：板中心點動態撓度控制效果Fig.11 Structure A: the central transient deflection of a full clamped plate

圖12 結構B：板中心點動態撓度控制效果Fig.12 Structure B: the central transient deflection of a full clamped plate

圖13 結構A：傳感器層中心點動態電壓Fig.13 Structure A:dynamic voltage at the center of sensor layer

由上述分析可知，通過速度反饋控制方法可有效地抑制板的振動，達到主動控制的目的。在工程應用中，可根據實際的需求設計反饋增益Gv的大小，實現板振蕩時間及幅度的控制。

圖14 結構B：傳感器層中心點動態電壓Fig.14 Structure B:dynamic voltageat the center of sensor layer

圖15 結構A：驅動器層中心點動態電壓Fig.15 Structure A:dynamic voltage at the center of actuator layer

圖16 結構B：驅動器層中心點動態電壓Fig.16 Structure B:dynamic voltage at the center of actuator layer

4 結論

本文結合等幾何分析與三階剪切變形理論為壓電功能梯度板的動力學及主動振動控制分析提供了一個新的高精度數值分析方法。研究了兩種不同結構的壓電功能梯度板的動態響應及主動振動控制問題，并得到了以下結論：

(1)通過對兩種結構的動態響應的分析可知，相同尺寸及材料條件下，結構B(壓電層均粘貼于中間功能梯度層的同一側)的剛度大于結構A 的(壓電層分別粘貼于中間功能梯度層的上、下表面)。隨著功能梯度指數n的增加，差距逐漸較小。

(2)利用速度反饋控制增益Gv可有效地實現結構A、結構B的主動振動控制，且控制效果良好。

(3)結構B傳感器層因壓電效應產生的電壓振幅大于結構A，且兩者方向相反。在驅動器層，結構B 抑制振動所需的驅動電壓振幅也大于結構A，且兩者方向相反。