艦載導(dǎo)彈測發(fā)控設(shè)備剩余壽命預(yù)測概率方法

蘇曉丹

(海軍裝備部駐北京地區(qū)軍事代表室，北京 100854)

0 引 言

測試與發(fā)射控制系統(tǒng)是艦艇上導(dǎo)彈武器系統(tǒng)的重要組成部分，其功能是對導(dǎo)彈控制系統(tǒng)性能及全彈配合性信號的協(xié)調(diào)性實施測試、發(fā)射條件檢查和準(zhǔn)備、對檢查合格的導(dǎo)彈按命令進(jìn)行發(fā)射。發(fā)射控制是對導(dǎo)彈實施控制系統(tǒng)接通、狀態(tài)初始化控制以及綜合各種發(fā)射準(zhǔn)備條件，并對檢查合格、準(zhǔn)備好的導(dǎo)彈實施發(fā)射點火控制。測試與發(fā)射控制系統(tǒng)的性能影響和制約導(dǎo)彈武器的使用性能，其可靠性和自動化程度直接決定和影響導(dǎo)彈武器的生存能力和快速反應(yīng)能力[1–2]。

導(dǎo)彈測發(fā)控設(shè)備的使用經(jīng)驗表明，在某些情況下設(shè)備實際使用的持續(xù)時間會超出技術(shù)文件中給出的指標(biāo)。因此，預(yù)測測發(fā)控設(shè)備的剩余壽命，進(jìn)而采取有針對性的預(yù)防性維修措施，延長測發(fā)控設(shè)備的使用期限，具有重要意義[3]。

艦船裝備及分系統(tǒng)的使用壽命指其從開始服役到結(jié)構(gòu)達(dá)到破壞極限狀態(tài)（退役或報廢）的時間。在役艦船裝備及分系統(tǒng)的剩余使用壽命則是指在不加維修及正常維護(hù)、正常使用條件下結(jié)構(gòu)可繼續(xù)使用的年限。

設(shè)備剩余壽命預(yù)測方法總體上可以分為3 類：基于機(jī)理模型的方法、數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法和兩者融合的方法。基于機(jī)理模型的方法是在深入分析設(shè)備失效分析機(jī)理基礎(chǔ)上，建立機(jī)理模型并據(jù)此預(yù)測剩余壽命。數(shù)據(jù)驅(qū)動的方法則是利用監(jiān)測到的設(shè)備性能退化數(shù)據(jù)，進(jìn)行剩余壽命預(yù)測[4]。

國內(nèi)外學(xué)者對武器裝備剩余壽命問題開展了研究，如司小勝等[5]研究了不確定退化測量數(shù)據(jù)下的設(shè)備剩余壽命估計問題，鄭建飛等[6]研究了考慮不確定測量和個體差異的非線性隨機(jī)退化系統(tǒng)剩余壽命估計，李建民[7]研究了基于灰色理論的艦船裝備剩余壽命預(yù)測模型。

根據(jù)目前的研究結(jié)果，已經(jīng)可以對剩余壽命進(jìn)行驗前分析，但是還有一些問題需要繼續(xù)研究，如當(dāng)達(dá)到某個事前給定的設(shè)備狀態(tài)的概率值時，測試設(shè)備是否完全用盡了技術(shù)壽命；繼續(xù)投入資金以延長測發(fā)控設(shè)備的使用壽命是否合適；當(dāng)追加的經(jīng)費有限制時，剩余壽命是怎樣的？為此就需要研究測發(fā)控設(shè)備剩余壽命概率預(yù)測問題[8]。

1 問題的提出與主要假設(shè)

研究作為測發(fā)控設(shè)備組成部分的測量系統(tǒng)，它有一組確定性參數(shù) Uk， 其額定值分別為,k=1,2,···,m，m為參數(shù)的總數(shù)。對參數(shù)的狀態(tài)進(jìn)行觀測，可以討論系統(tǒng)中過程的發(fā)展。

假設(shè)在系統(tǒng)運行時其內(nèi)部發(fā)生緩慢的逐步惡化的過程，結(jié)果是能觀察到確定性參數(shù)相對其額定值的偏差，從而在固定的時刻 ti,i=1,2,···,n，確定性參數(shù)的值 Uk(t) 呈 下 降 的 趨 勢， 即 如 果t1Uk(t2)>···>Uk(tm)。

假定確定性參數(shù)的值 Uk(t)不超出給定的容許值范圍分別為該參數(shù)區(qū)間的下界和上界，這時測發(fā)控系統(tǒng)運行正常。若參數(shù)值 Uik偏離容許值就意味著參數(shù)故障。一般情況下，參數(shù)故障不會使測發(fā)控系統(tǒng)離開工作狀態(tài)，而只是降低其運行品質(zhì)。系統(tǒng)中突然出現(xiàn)故障的概率相對較小，但是會有在修理?恢復(fù)工作過程中可以克服的參數(shù)故障。于是，這樣的測發(fā)控系統(tǒng)就屬于具有有限個可以恢復(fù)的可能狀態(tài)的系統(tǒng)。

把系統(tǒng)在時刻 t的狀態(tài)記為 Vk(t),k=0,1,2,···,m，狀態(tài) V0(t) 意味著系統(tǒng)中總數(shù)為 m的確定性參數(shù)中沒有一個發(fā)生故障，符號 V1(t)表明一個確定性參數(shù)發(fā)生了故障， Vk表示第 k 個參數(shù)發(fā)生故障，而 Vm表示系統(tǒng)中全部 m 個參數(shù)發(fā)生故障。并且只允許系統(tǒng)從一個狀態(tài)過渡到相鄰的一個狀態(tài)，而不可能漏過中間的過渡狀態(tài)，即不可能從狀態(tài) V0(t) 繞 過 V1(t)而直接轉(zhuǎn)入到狀態(tài)V2(t)。

在到時刻 t之前用于保持系統(tǒng)在 Vk狀態(tài)的總消耗為Ck(t),k=0,1,2,···,m。假設(shè)對于每一個狀態(tài)，單位時間內(nèi)的使用消耗 ?Cs相同，而對于每一個出故障的參數(shù)，用于恢復(fù)的消耗 ?Ch是 一致的，并且在時刻 t出故障的參數(shù)應(yīng)該從該時刻起就進(jìn)行恢復(fù)。在確定性參數(shù)從故障狀態(tài)轉(zhuǎn)入到恢復(fù)狀態(tài)的過渡時間內(nèi)用于系統(tǒng)的消耗不會增加，因為用于恢復(fù)狀態(tài)的經(jīng)費是在確定性參數(shù)故障時刻劃分出來的（或者說是消耗的）。

把測發(fā)控系統(tǒng)中的每一個測量子系統(tǒng)從一個狀態(tài)轉(zhuǎn)入另一個狀態(tài)當(dāng)作隨機(jī)事件來研究。假設(shè)，在所有的確定性參數(shù)中，第 k 個確定性參數(shù) Uk的故障強(qiáng)度是λk、恢復(fù)強(qiáng)度是 μk，對于所有的確定性參數(shù)其故障強(qiáng)度都是相同的，恢復(fù)強(qiáng)度也相同。所以總的故障強(qiáng)度、總的恢復(fù)強(qiáng)度分別為為了計算方便，假設(shè)確定性參數(shù)的故障流是最簡單的，而故障流與恢復(fù)流的密度函數(shù)用參數(shù)為 λ,μ的指數(shù)規(guī)律描述。在所引入的假設(shè)下，需要確定在使用物資與經(jīng)費消耗有限制時測發(fā)控系統(tǒng)的剩余壽命。

1.1 問題的求解

確定用于保持測發(fā)控系統(tǒng)在狀態(tài)Vk(t),k=0,1,2,···,m時的物資消耗，把這種消耗表示成約定的單位。研究狀態(tài) V0(t) ， 當(dāng)?shù)?t +?t時刻之前系統(tǒng)內(nèi)不會有故障，該狀態(tài)可以作為2 個不相容事件 A0,B1的和來研究。事件 A0是 指系統(tǒng)在時刻t 處于 V0(t)狀態(tài)，并且在?t 時間內(nèi)一個參數(shù)也不出故障，這一隨機(jī)事件用表達(dá)式P(A0)=e?λ?t≈1?λ?t 表示。可以用關(guān)系式C(A0)=[C0(t)+?Cs?t](1?λ?t) 表 示以概率 P(A0) 維持事件 A0所用的消耗。事件 B1是 指這樣的事件，系統(tǒng)在時刻 t處于V1(t) 狀 態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)一個參數(shù)恢復(fù)了，可以用關(guān)系式 C(B1)=C1(t)μ?t 來表示以概率 P(B1)保持事件B1所 用的消耗。在區(qū)間 t +?t內(nèi)用于保持這一事件的物質(zhì)消耗用隨機(jī)函數(shù)C0(t)表示，它滿足下面的方程：

把式（1）改寫為：

把式（2）的兩端除以 ?t 并取 ? t →0時的極限，就得到微分方程：

對于系統(tǒng)狀態(tài) Vk(t),k=1,2,···,m?1，組成類似的方程。狀態(tài) Vk(t) 意 味著，到時刻 t +?t之前，系統(tǒng)內(nèi)出故障的確定性參數(shù)的數(shù)量等于k ，可以把 Vk(t)當(dāng)作3 個不相容事件 Ak,Bk+1,Ck?1的 和來研究，事件 Ak表示在時刻 t 系統(tǒng)處于 Vk(t) 狀 態(tài)，而在 ?t 時間內(nèi)沒有一個參數(shù)出故障并恢復(fù)。該隨機(jī)事件的概率用表達(dá)式P(Ak)=e?λ?te?μ?t≈1?(λ+μ)?t 確定。以概率 P(Ak)保持事件Ak所 用 的消 耗 可 以 用關(guān) 系 式C(Ak)=[Ck(t)+?Cs?t]來表示。

事件 Bk+1是 指這樣的事件，系統(tǒng)在時刻t處 于Vk+1(t)狀態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)1 個參數(shù)恢復(fù)了。在這種情況下，概率是 P(Bk+1)=1?e?μ?t≈μ?t 。以概率 P(Bk+1)保持事件 Bk+1的消耗可以用關(guān)系式C(Bk+1)=Ck+1(t)μ?t來表示。

事件 Ck?1是指這樣的事件，系統(tǒng)在時刻t處于Vk?1(t) 狀 態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)還有一個參數(shù)發(fā)生了故障，該事件的概率是 P(Ck+1)=1?e?μ?t≈μ?t 。以概率P(Ck?1) 保 持 事 件Ck?1的 消 耗 可 以 用 關(guān) 系 式C(Ck?1)=Ck?1(t)λ?t 來表示。這時狀態(tài) Vk(t)可以作為3 個不相容事件 Ak,Bk+1,Ck?1的 和來研究。在區(qū)間 t +?t內(nèi)，為了保持這一事件的物質(zhì)消耗是隨機(jī)函數(shù) Ck(t)，它滿足下面的方程：

把式（3）進(jìn)行與式（1）類似的變換，就得到

組成對于狀態(tài) Vm(t) 的方程，到時刻 t +?t之前，系統(tǒng)內(nèi)所有 m個確定性參數(shù)都出了故障，這一狀態(tài)可以作為2 個不相容事件 Am,Cm?1的和來研究。第1 個事件Am（系統(tǒng)在時刻t 處于 Vm(t) 狀態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)沒有一個參數(shù)出故障）。這一隨機(jī)事件的概率是P(Am)=e?μ?t≈1?μ?t ，以概率 P(Am) 保 持事件 Am所用的消耗可 以 用 關(guān) 系 式 C(Am)=[Cm(t)+?Cs?t](1?μ?t)來 表示。第2 個事件 Cm?1是 指系統(tǒng)在時刻 t 處于 Vm?1(t)狀態(tài)，并且在 ?t時間內(nèi)又有一個參數(shù)出故障。這一隨機(jī)事件的概率是P (Cm?1)=1?e?λ?t≈λ?t， 以概率P(Cm?1)保持事件 Cm?1所用的消耗可以用關(guān)系式C(Cm?1)=Cm?1(t)λ?t來表示。

當(dāng)把狀態(tài) Vm(t) 作為2 個不相容事件 Am,Cm?1的和進(jìn)行研究時，在區(qū)間 t +?t內(nèi)保持這一事件所需物質(zhì)消耗用隨機(jī)函數(shù)Cm(t)描述，它滿足下面的方程：

把式（4）進(jìn)行與式（1）類似的變換，得出下面的微分方程：

這樣以來，就可以用關(guān)于未知的物質(zhì)消耗隨機(jī)函數(shù)Ck(t),k=0,1,2,···,m的微分方程組描述把測發(fā)控設(shè)備保持在狀態(tài) Vk(t),k=0,1,2,···,m所需要的物質(zhì)消耗，表示成約定單位的形式：

為了求解方程組（5），把它寫成算子形式

式中： A(s) 為 維數(shù)為 ( m+1)×(m+1)的方程組系數(shù)的三對角線矩陣； s 為函數(shù)Ck(t),k=0,1,2,···,m的映像半平面上的復(fù)變量。

把該矩陣的元素寫成下面的形式：

矢 量 X(s) 的 分 量 xk(s) 是 相 應(yīng) 的 函 數(shù)Ck(t),k=0,1,2,···,m 的 映 像；矢 量 B(c)(s) 的 分量 是：

使用有任意有限數(shù)量回歸的回歸分析估計多維模型矩陣系數(shù)的方法，構(gòu)建未知矢量 X(s) 的估值 X?(s)。為此把方程組（6）表示成下面的形式：

式 中： Ak為 矩 陣 的 分 塊 分 量A=∥|A1|·|A2|···|Ak|···|Am+1|∥ ； Xk為 矢 量 的 分 塊 分 量X=∥|X1|·|X2|···|Xk|···|Xm+1|∥T。

寫出表達(dá)式（7）中對于分量 Ak,Xk的表達(dá)式：

式中 Oα表 示維數(shù)是 α的零矢量。

使用上面引入的標(biāo)記，可以由下面的遞推關(guān)系式求出方程組（6）的未知矢量 X(s) 的估值 X?(s)：

對表達(dá)式（8）進(jìn)行拉普拉斯反變換，就得到把測發(fā)控設(shè)備保持在 Vk(t)狀態(tài)所要的物質(zhì)消耗隨機(jī)函數(shù)的原函數(shù) Ck(t)。 平均物質(zhì)消耗C ˉ(t)數(shù)值上等于隨機(jī)函數(shù)Ck(t)的所有可能值的數(shù)學(xué)期望：

式中： Pk(t)為 事件 Vk(t)來臨的概率。

為了求出概率 Pk(t)，可以使用拉氏變換轉(zhuǎn)換到像函數(shù)，然后再用所描述的方法求解從式（7）中得到的方程，把其中矢量 Xk的分塊分量換成相應(yīng)的概率函數(shù)： Xk=Pk?1,k=1,2,···,m ，而右端換成矢量 B(c)，其元素是為了從像函數(shù)Pk(s)=Fk(s)/Gk(s)變換回原函數(shù)，可以使用關(guān)系式：

式中： si(i=1,2,···,n) 為 分母Gk(s)的根。

這樣以來，使用式（8）～式（10）就能夠計算把測發(fā)控設(shè)備保持在其可能狀態(tài)中的一種狀態(tài)時所需要的平均物資消耗。如果在這種情況下假設(shè)，到時刻t=t?之前平均物質(zhì)消耗近似等于補(bǔ)充劃分出來用于使用的物資消耗 C0(t) ，那么時間 t?就可以作為所使用的測發(fā)控設(shè)備的剩余壽命，并且由關(guān)系式t?=從形式上求出所研究的關(guān)于預(yù)測剩余壽命問題的解。式中，為所選擇的 C0到的接近程度， T 為變量t的所有可能正值的集合。

1.2 算例

以實際例子解釋所研究問題的求解方法的使用。設(shè)某型測發(fā)控設(shè)備用下面的參數(shù)描述λ=0.05，μ=0.14 ，確定性變量數(shù)量 m =1，1 年內(nèi)使用消耗是1 000貨幣單位，而用于恢復(fù)發(fā)生故障參數(shù)的平均消耗是?Ch=10 000貨幣單位。

對于所引入的初始數(shù)據(jù)，需要在假設(shè)又撥出C0=50 000貨幣單位用于使用的條件下，計算測發(fā)控設(shè)備的剩余壽命。在這種情況下式（6）的形式如下：

使用式（8）求出映像 X?：

使用概率 Pk(t)的表達(dá)式，并從式（9）中得到用于計算平均物資消耗的公式：

在式（11）中使用近似等式e?(λ+μ)t≈1?(λ+μ)t 并求解對于C0=50 000方 程 6 76.44t2?17 582.92t+50 000=0，可以確定剩余壽命 t?=3.25。這樣以來，根據(jù)求解該問題的結(jié)果確定，又撥出 C0=50 000貨幣單位用于使用的假設(shè)條件下，設(shè)備的剩余壽命可以延長39 個月。

2 結(jié) 語

本文在假設(shè)測發(fā)控系統(tǒng)所有確定性參數(shù)的故障強(qiáng)度相同、恢復(fù)強(qiáng)度也相同的條件下，得出了根據(jù)參數(shù)監(jiān)測結(jié)果預(yù)測測發(fā)控設(shè)備剩余壽命的方法。該方法也可用于有冗余元件的測試設(shè)備，其中的每一個冗余元件可以當(dāng)作單獨參數(shù)來考慮。