波箔過渡圓角對箔片氣體軸承結構剛度的影響

禹峰哲， 馮 明， 劉國權， 李賢男， 任天明

(1. 北京科技大學 機械工程學院，北京 100083； 2.平壤出版印刷綜合大學 機械工程學院，平壤 999093)

空氣箔片軸承是一種采用柔性支撐，以空氣為潤滑劑的自作用式動壓氣體軸承. 一系列波拱不僅提供彈性支撐，還提供阻尼. 在波箔制造過程中，波拱與波拱的連接橋會形成一個過渡圓角. 由載荷產生的彎矩也作用在過渡圓角，該彎矩有利于波拱的變形. 因此，過渡圓角對空氣箔片軸承的剛度有影響. 關于箔片幾何結構對箔片軸承性能的影響，Walowit[1]和Heshmat[2-3]等進行了大量的實驗和理論研究，提出了波箔結構的彈性模型，并研究了箔片軸承的穩態特性，但沒有考慮頂層箔片與殼體以及波箔的摩擦力. 1999年，Iordanoff[4]考慮波箔與平箔間的接觸摩擦作用，建立了波拱一端固定，一端自由以及兩端都自由的剛度計算模型. 2003年，Carpino等[5]將結構阻尼設為黏性阻尼，開發了一種有限元模型，解釋了庫侖摩擦對箔片軸承性能的影響. 2007年，Lez 等[6]使用有限元軟件進行了更精確的數值分析，考慮了箔片與殼體之間以及波箔與頂層箔片之間的摩擦力，研究了箔片結構的靜態和動態特性，但沒有考慮波拱結構的影響. 2010年，Feng等[7]認為波箔的波拱可簡化為兩個剛性連接件和一個水平間隔開的彈簧. 但所提出的模型忽略了波拱的切向位移，高估了波拱柔性. Peng等[8]將波箔結構模擬為彈簧和阻尼器，研究了波拱之間的相互作用，但忽略了頂層箔片和波箔之間的摩擦. Ku等[9]考慮了波箔與殼體或頂層箔片之間的摩擦力和各波拱之間的相互作用，開發了柔性箔片軸承的綜合分析模型. 該模型還考慮了可變載荷分布，摩擦力和波拱幾何形狀等對軸承剛度的影響，但沒有考慮過渡圓角的作用. 2008年，Hryniewicz等[10]的數值模型考慮了在任意壓力載荷下波箔和頂層箔片之間的相互作用、波拱之間的相互作用以及波箔與殼體間的摩擦力. 在其模型中，通過定義3種不同的邊界約束條件來分析波拱的偏轉，并將結果與之前的有限元結果進行比較. 但該模型忽略了波拱和頂層箔片之間局部摩擦和過渡圓角的影響. 2014年，Abdelrasoul等[11]在箔片氣體推力軸承的靜態分析中，考慮到波拱之間的連接橋可能會發生橫向偏移并與軸承殼體表面分離的情況，構建了考慮每個波拱彎矩的模型，提出更符合現實情況的邊界條件. 2016年，Lehn等[12]首次進行具有過渡圓角的波拱的研究. 模擬了一個厚度的二維殼體，包括頂層箔片、波箔和過渡圓角，并為箔片氣體推力軸承提供完全耦合的彈性氣體動力學模型. 此外，還討論了摩擦力、接觸的影響以及不同波拱相互作用機制. 但沒有具體提到過渡圓角本身對整個箔片軸承剛度的影響.

本文研究有過渡圓角的波拱結構的剛度特性. 基于彈性變形理論，考慮了波箔與殼體或頂層箔片之間的摩擦力以及各波拱之間的相互作用，構建有過渡圓角的波拱的彎矩方程組，推導出箔片變形公式. 通過與既有的箔片模型進行比較，驗證本模型的有效性，結果表明，箔片軸承的剛度特性研究不應忽略過渡圓角的作用.

1 理論分析

1.1 波拱的幾何結構

由于箔片軸承的制造工藝，波箔片的兩個波拱間的連接橋會產生一個過渡圓角，但這個過渡圓角在很多理論模型中常常被忽略. 圖1為一個平行于xy平面的具有過渡圓角的波拱結構.

點O是波拱的圓心，Or是過渡圓圓心，點C是過渡圓角半徑Rr和波拱半徑RB之間的相切點.θB0和LB0分別是無過渡圓角的波拱弧角和波拱連接板長度，θB和LB分別是具有過渡圓角的波拱弧角和波拱連接板長度，hB是波拱高度，l是波拱半波長度，s是波拱單元長度.

波拱弧角θB有如下關系：

波拱半波長l和波拱連接板LB可表示為

l=(RB+Rr)sinθB,

LB=LB0-2·[(RB+Rr)sinθB-RBsinθB0].

因此，具有過渡圓角的波拱的幾何尺寸完全可由RB、θB0、LB0和Rr決定. 波拱高度hB被視為相關參數(它可以由RB、Rr和θB來確定). 當Rr→0時，模型變為無過渡圓角的波拱模型，因此，無過渡圓角的波拱模型是一種特殊形式.

1.2 波拱的結構模型

圖2是波箔在任意壓力負載下的變形情況. 波箔的左端固定，其右端可以在x方向(水平方向)和y方向(垂直方向)上自由移動，現假設頂層箔片緊貼在波箔的波拱頂部，設Wi為作用在第i個波拱頂部中心單位長度上的垂直載荷，y方向的局部撓度是δWi.δWi取決于波拱和殼體之間的滑動摩擦因數μ以及波拱和頂層箔片之間的滑動摩擦因數η，箔片將在載荷Wi的作用下向自由端滑動.

圖2 分布靜載荷下箔片的變形情況

本文作如下假設：

1)頂層箔片緊貼波箔片的運動，但不會影響波拱變形;2)兩個波拱間的連接橋不會偏離殼體表面;3)箔片的變形都是彈性的，且不會發生永久變形;4)過渡圓角半徑Rr與波拱半徑RB之間的相切點C位于兩個中心的直線上;5)過渡圓角變形時，忽略過渡圓角與殼體的接觸效應; 在圖3中，波箔模型分為4個部分：兩個波拱弧角(②、③)和兩個過渡圓角(①、④).

圖3 第i個波拱的受力分析

FLi和FRi分別是第i個波拱左、右兩端處所受的支座反力；HLi和HRi分別是第i個波拱左、右兩端受到的切向力. 第i個波拱的右端處的力平衡條件為

PRi=HRi-μFRi.

(1 )

PRi是從第i+1個波拱左端通過連接橋傳遞到第i個波拱右端的作用力. 同時，在第i個波拱的右端，還有從i+1個到N個波拱的阻礙第i個波拱滑動的作用力：

為確定第i個波拱的運動狀態，需要對比傳遞力PRi和抵抗力TRi，這與Hryniewicz、 Wodtke、Olszewski等[10]的方法類似.

第i個波拱的每個組成部分的任意θ單位寬度上所受的彎矩為

M1i(θ)=-FRiRrsinθ+HRiRr(1-cosθ)，

0<θ≤θB；

(2 )

M2i(θ)=-FRi[(RB+Rr)sinθB-RBsinθ]+

HRi[Rr(1-cosθB)+RB(cosθ-cosθB)]，

0<θ≤θB；

(3 )

M3i(θ)=-FRi[(RB+Rr)sinθB-RBsinθ]+

HRi[Rr+RBcosθ-(RB+Rr)cosθB]-

WiRBsinθ-ηWiRB(1-cosθ)，

-θB≤θ≤0；

(4 )

M4i(θ)=-FRi[2(RB+Rr)sinθB-Rrsinθ]-

ηWi[RB+RrcosθB-(RB+Rr)cosθB]+

Wi[(RB+Rr)sinθB-Rrsinθ]+

HRiRr(1-cosθ)，

0<θ≤θB.

(5 )

式中：θB是第i個波拱的頂部中心點和C點形成的弧角. 由于波箔片厚度t與波拱半徑RB相比非常小，波拱可以看作一個薄的彎曲梁. 當RB/t>10時，可以忽略法向力和剪切力，由此產生的誤差通常<1%，很少超過5%[13]. 本文的RB/t的比值為186.7. 因此，拉伸和剪切力的應變忽略不計，彈性應變能表示為[14-15]

第i個波拱的抗彎剛度D可定義如下：

D=Et3/(12(1-ν2)).

式中：E是箔片的彈性模量，t和ν分別是箔片的厚度和泊松比.

設δi是由作用力HRi和FRi引起的彈性撓度，根據卡斯蒂利亞諾的第二定理，可得

如果假設第i個波拱的右端被固定，則由邊界條件(δHi=0，δVi=0)得到下列矩陣方程：

(6)

式中：系數D1～D6僅是θB的函數. 式(6)中的HRi、FRi解出后，代入式(1)獲得PRi. 為了判定第i個波拱的運動狀態，需比較抵抗力TRi和傳遞力PRi的大小，判定如下：

如果PRi≥TRi，則第i個波拱的右端向右移動，則傳遞力為

PRi=TRi;

如果PRi

PRi=HRi-μFRi.

通過上述兩個條件，第i個波拱所受的彎矩方程(2)～(5)可由PRi和FRi表示

M1i(θ)=-FRiRrsinθ+PRiRr(1-cosθ)+

μFRiRr(1-cosθ),

0<θ≤θB;

( 7 )

M2i(θ)=-FRi[(RB+Rr)sinθB-RBsinθ]+

PRi[Rr+RBcosθ-(RB+Rr)cosθB]+

μFRi[Rr+RBcosθ-(RB+Rr)cosθB],

0<θ≤θB;

( 8 )

M3i(θ)=-FRi[(RB+Rr)sinθB-RBsinθ]+

PRi[Rr+RBcosθ-(RB+Rr)cosθB]+

μFRi[Rr+RBcosθ-(RB+Rr)cosθB]-

WiRBsinθ-ηWiRB(1-cosθ),

-θB≤θ≤0;

( 9 )

M4i(θ)=-FRi[2(RB+Rr)sinθB-Rrsinθ]+

PRiRr(1-cosθ)+μFRiRr(1-cosθ)+

Wi[(RB+Rr)sinθB-Rrsinθ]-

ηWi[RB+RrcosθB-(RB+Rr)cosθB],

0<θ≤θB.

(10 )

FRi可以通過邊界條件(δVi=0)和方程(7)～(10)求解:

FRi=-(D8PRi+D9Wi)/D7.

式中D7～D9為系數.

一旦確定了第i個波拱右端的PRi和FRi，根據卡斯蒂利亞諾第二定理得到波拱的頂點撓度：

(11)

將彎矩方程組代入式(11)得

δWi=(D10FRi+D11PRi+D12Wi)/DL.

( 12 )

式中，D10～D12為系數. 第i個波拱的剛度可以定義為

(13 )

根據式(12)和(13)可以得到每個波拱的變形和剛度. 數值求解流程如圖4所示.

圖4 波拱模型的流程

2 仿真結果及分析

2.1 模型驗證

為了驗證本文理論模型的有效性，軸承的幾何參數選擇與文獻(Lez等[6]，Feng和Kaneko[7]，Hryniewicz等[10]和Abdelrasoul[11])中的模型參數相同，如表1所示. 其中波拱數為10. 不同載荷下波拱變形情況見圖5.

表1 軸承結構參數

(a)均布載荷

(b)遞增載荷

(c)遞減載荷

(d)遞增-遞減載荷

2.2 過渡圓角的影響

為詳細分析每個波拱的剛度特性，采用具有26個波拱的波箔模型，由于遞增遞減載荷分布最接近箔片實際受力，圖6給出了此載荷下波拱的剛度分布情況. 剛度相同的波拱所在的區域為固定區，剛度變化的波拱所在的區域為滑移區. 從圖6中可看出，固定區波拱剛度明顯高于滑移區波拱剛度. 固定區的波拱數量越多，則波箔的剛度越大. 在滑移區，波拱剛度先快速下降后逐漸趨于平緩. 在4種載荷作用下，自由端的波拱剛度幾乎相同.

圖6 在不同載荷下帶有過渡圓角波拱的剛度

過渡圓角的引入，改變了波箔與軸承殼的接觸面積，同時影響波拱的受力和各個波拱之間的傳遞力. 固定區的波拱數量從大到小依次是遞增載荷、均布載荷、遞增-遞減載荷和遞減載荷，如圖7所示. 隨著過渡圓角半徑的增大，4種載荷下固定區波拱的數量呈不同等級的階梯狀減少，其中遞增載荷、均布載荷、遞增-遞減載荷和遞減載荷下波拱數量分別呈二級、二級、一級、四級階梯狀減少. 這說明過渡圓角半徑的增大會使波拱更容易滑動. 這是因為過渡圓角半徑的增大，導致波拱與波拱之間的連接板越來越短，波拱與軸承壁的摩擦接觸面積越來越少.

圖7 不同過渡圓角半徑的固定區波拱數量

Fig.7 Number of pinned-down bumps with various rounding radius

遞增-遞減載荷下不同過渡圓角半徑的波拱剛度分布情況見圖8. 隨著過渡圓角半徑的增大，固定區波拱剛度先增大后減小，存在一個使波拱剛度達到最大的過渡圓角半徑；滑移區首端波拱剛度逐漸減小，末端波拱剛度基本不變，這是因為末端波拱接近波箔的自由端，其剛度受過渡圓角半徑影響小.

圖8 不同過渡圓角半徑的波拱剛度

圖9分析了不同過渡圓角半徑的波箔平均剛度分布情況. 隨著過渡圓角半徑的增大，波箔平均剛度先增大后減小. 對比圖9和圖8可看出，固定區波拱剛度達到最大所對應的過渡圓角半徑與波箔平均剛度達到最大所對應的過渡圓角半徑非常接近.

圖9 不同過渡圓角半徑的波箔平均剛度

2.3 摩擦因數的影響

摩擦因數μ=0.300，η=0.300時的波拱剛度分布情況如圖10所示，對比圖6可看出，因為固定區波拱受力時，波拱兩端受到的是靜摩擦力，隨著摩擦因數的增大，固定區的同一過渡圓角的波拱剛度值基本不變，但波拱數量增加；滑移區主要受滑動摩擦力影響，隨摩擦因數增大，其波拱數量減少，且滑移區波拱剛度有不同程度的增加，越靠近自由端，剛度受摩擦影響越小.

圖10 摩擦因數μ=η=0.3時波拱的剛度

綜上所述，波箔平均剛度隨著摩擦因數的增大呈現非線性增大，如圖11所示. 摩擦因數和過渡圓角半徑通過改變固定區波拱的剛度和數量以及滑移區波拱剛度來影響波箔的剛度. 這說明過渡圓角半徑和摩擦因數這兩個參數的不同組合，可以建立具有不同阻尼和剛度的箔片軸承.

圖11 不同摩擦因數的波箔平均剛度

Fig.11 Mean stiffness of bump foil with various friction coefficients

2.4 波箔結構剛度的各向異性

由于波箔氣體軸承在實際應用中所受外載荷方向具有很大的隨機性，造成氣膜力在波箔結構上的分布形式也并不相同，故本文通過改變載荷峰值距固定端的距離模擬不同角度下的受載情況，以研究波箔結構剛度的各向異性. 摩擦因數μ=η=0.075時,不同承載力峰值角度下各個箔拱的剛度變化情況如圖12(a)所示，可以看出,波箔結構剛度存在較強的各向異性，載荷峰值越靠近固定端，會導致越多的波拱向自由端產生滑移，即使固定區箔拱數量減少，從而降低整體剛度；反之，最大氣膜力越靠近自由端，整體剛度越大. 圖12(b)為摩擦因數μ=η=0.150時的波箔結構剛度特性，可以看出，最大氣膜力加載角度在200°之前的剛度曲線重合，說明增大摩擦因數可有效改善波箔氣體軸承結構剛度的各向異性. 圖13(a)和(b)分別為過渡圓角半徑Rr為0和2 mm時的波箔結構剛度特性曲線，二者分別在最大載荷加載角度160°和80°處開始出現箔拱滑移，說明隨過渡圓角半徑增大，滑移區箔拱數增多使得各向異性增強，但影響程度不如摩擦因數劇烈. 可看出，增大摩擦因數和減小過渡圓角半徑可為改善波箔氣體軸承各向異性提供一定的思路.

(a)μ=η=0.075，Rr=0

(b)μ=η=0.150，Rr=0

Fig.12 Effect of loading angle on the bump stiffness under various friction coefficients

(a)μ=η=0.100，Rr=0

(b)μ=η=0.100，Rr=2 mm

Fig.13 Effect of loading angle on the bump stiffness under various rounding radius

3 結 論

1)在4種載荷條件下，隨著過渡圓角半徑的增大，固定區波拱的數量呈階梯狀減少.

2)隨著過渡圓角半徑的增大，固定區波拱的剛度先增大后減小，滑移區波拱的剛度逐漸減小，同時存在一個使波箔平均剛度達到最大的過渡圓角半徑.

3)圓角半徑一定條件下，固定區波拱數量隨摩擦系數的增大而增多，波箔結構平均剛度呈非線性增大，有效降低了各向異性；摩擦因數一定條件下，過渡圓角半徑的增大使各向異性增強，但影響程度不如摩擦因數大.