利用Frenet活動標架構建渦旋壓縮機型線的新方法

劉 濤，侯才生，李銀萍

(蘭州理工大學 機電工程學院，蘭州 730050)

渦旋壓縮機與其他類型的壓縮機相比，具有結構緊湊、高效節能、可靠性高、微振低噪等諸多優點，已廣泛應用于制冷、空調、渦旋增壓器和渦旋膨脹機等領域[1-3]. 它是依靠一對嚙合的動靜渦旋齒之間所形成的密閉容積由大到小的周期性變化，來實現對工作介質的吸入、壓縮和排放的. 構成渦旋齒的型線決定了渦旋壓縮機的幾何特性、加工性能和磨損，進而最終影響渦旋壓縮機的容積效率和機械效率[4-5]，所以有關渦旋齒型線的研究成為一個熱點.

根據渦旋齒齒廓的形狀，可將型線劃分為三大類，分別為等壁厚渦旋齒型線、漸變壁厚渦旋齒型線和變壁厚渦旋齒型線. 等壁厚渦旋齒型線因數學描述簡單、加工比較方便而得到廣泛應用[6-7]，它可由基圓漸開線、線段漸開線、正多邊形漸開線等曲線構成；漸變壁厚渦旋齒型線可由變徑基圓漸開線、阿基米德螺旋線和代數螺線等曲線構成，它的優勢在于其齒厚的變化規律與其工作腔內介質壓力的變化規律相一致，所以其性能較高[8-11]. 當渦旋壓縮機需要較大壓縮比時，采用前兩種渦旋齒型線會導致型線圈數增加，泄漏線的長度增加，進而對渦旋壓縮機產生不利影響. 為克服上述缺陷，相關學者提出了用組合曲線來構造變壁厚渦旋齒型線的思路[12-13]，從而用較少的圈數實現了大壓縮比的要求. 由上述分析可知，在理論上，能構成三大類渦旋齒型線的曲線類型眾多，但每種曲線都有各自的特點和相應的表征方式. 在以往對型線的研究中，只是針對每一種具體曲線展開討論，給出其復雜的計算公式，這種研究方法將造成型線過分依賴于具體的型線表征方式，導致一種型線對應一種模型的局面，使建模不斷重復. 與此同時，因建立的模型針對性過強，致使得到的結論不具有普遍性和通用性. 為解決上述問題，近年來又提出了通用型線的理論[14-15]，這在一定程度上減少了重復建模的次數，提高了設計效率，但該理論并不完善，尚有待進一步研究.

渦旋齒型線傳統設計方法是根據已知型線的特點，先選定型線類型，然后進行性能分析. 這種方法存在的缺點是未充分考慮渦旋壓縮機在實際工程應用中幾何性能傾向性的問題，致使設計出的渦旋齒型線不能滿足設計要求. 為克服渦旋齒型線傳統設計中存在的弊端，本文基于微分幾何理論[16]，在構成渦旋齒型線的曲線上依附一個Frenet標架，讓其跟著曲線一起運動，通過Frenet標架的運動狀態來刻畫該曲線的形狀特征，進而建立以曲率和Frenet標架為參數的渦旋齒型線的通用幾何模型，實現對渦旋齒型線的準確描述，并以考慮渦旋壓縮機工程應用為設計目標，來構造出眾多符合設計要求的渦旋齒型線.

1 渦旋齒型線的通用幾何模型

圖1是任意渦旋型線的微分幾何關系示意圖. 圖中：ρ為曲率半徑；C為曲率中心；φ為型線切向角參數；K為型線切點，T為單位切向量；N為單位法向量；dx為橫坐標軸增量；dy為縱坐標軸增量；ds為弧長增量.

在平面E2的右手笛卡爾直角坐標系下，曲線r=r(s)可以表示為

r=r(s)=(x(s),y(s))，

(1)

其中s是弧長參數.

記任意渦旋型線的切線與x軸正向的夾角為φ=φ(s)，則在切點處的單位切向量和單位法向量分別為

T=T(s)=(cosφ(s),sinφ(s))，

(2)

N=N(s)=(-sinφ(s),cosφ(s))，

(3)

根據微分幾何關系，見圖1，易得

(4)

圖1 渦旋型線的微分幾何關系

且渦旋型線在切點處的曲率半徑為

(5)

由于T(s)為單位向量場，故有T(s)⊥T′(s)，所以T′(s)是N(s)的倍數，設為

T′(s)=κr(s)N(s),

(6)

因此

(7)

式中κr為平面曲線的曲率. 故有

(8)

綜合以上各式，得到平面曲線的Frenet標架{r(s);T(s),N(s)}沿渦旋齒型線運動的公式為

(9)

結合式(5)與式(9)，并代入初值(x0(φ0),y0(φ0))，便得到任意渦旋齒型線的母線方程為

(10)

(φ∈[0,φmax])

式中φmax為母線的最大切向角.

根據泰勒級數，任意函數曲線的數學表達式都可表示為切向角φ的函數形式，并且只要該函數是關于φ的遞增函數，就可以通過此函數來表示任意滿足嚙合條件的渦旋型線. 因此將式(10)中的曲率半徑函數表征為

(i=0,1,2,…,n)

式中：ai稱為型線的控制系數，i稱為曲線的階次. 當i=0時稱為零次曲線，型線方程表示的曲線是圓或者圓弧，可用來對渦旋齒型線的齒頭部分進行修正；當i=1時稱為一次曲線，型線方程表示的曲線是圓漸開線，可構成等壁厚渦旋齒型線；當i≥2時稱為高次曲線，型線方程表示的曲線是變徑基圓漸開線，可構成漸變壁厚渦旋齒型線.

若要構造變壁厚的渦旋齒型線，可將曲率半徑函數ρ(φ)表征為分段函數的形式，只要在各連接點處滿足曲線連續性和光滑性的條件即可. 由此可見，當曲率半徑函數ρ(φ)不分段時，能構成等壁厚和漸變壁厚的渦旋齒型線；當ρ(φ)分段時，又能構造出變壁厚的渦旋齒型線. 通過曲率半徑函數ρ(φ)的不同表征形式，不但將渦旋壓縮機中的三大類渦旋齒型線統一納入到一個函數方程中，而且通過調整曲率半徑函數式中的控制系數就能對渦旋齒型線的特性進行優化和控制.

母線方程確定后，根據法向等距曲線的特點[17]，確定動、靜渦旋的內外壁型線方程.

動渦旋外壁型線方程為

靜渦旋內壁型線方程為

動渦旋內壁型線方程為

靜渦旋外壁型線方程為

式中Ror為回轉半徑.

為計算方便，取初值x0(φ0)=a1，y0(φ0)=0，根據上述渦旋型線方程，得到的動靜渦旋嚙合如圖2所示.

圖2 動靜渦旋嚙合

2 工作腔容積的計算

動、靜渦旋相互嚙合時，能夠形成多對封閉的工作腔，如圖2所示，從內到外依次稱為第一壓縮腔(又稱排氣腔)、第二和第三壓縮腔，分別用編號①、②、③來表示，各個工作腔的容積隨著曲軸轉角θ的變化而變化. 如圖3(a)所示，以動渦旋的內壁面與靜渦旋的外壁面所圍成的第二壓縮腔為例，易得單一月牙形腔體的面積A2為動渦旋內壁型線Loi所組成的面積與靜渦旋外壁型線Lfo所組成的面積之差. 根據法向等距線法，對渦旋型線進行平動，如圖3(b)所示，則

其中

所以第二壓縮腔腔體面積為

由此可得，渦旋壓縮機除排氣腔以外的任一對壓縮腔容積的通用計算式為

式中：N為壓縮腔編號，h為渦旋齒高度.

(a) (b)

對于排氣腔，它的容積與開始排氣角及型線最初一段的修正情況有關，本文采用對稱雙圓弧修正的方法對齒頭進行修正[18]. 根據曲軸轉角θ的變化，可將排氣腔容積的計算劃分為兩個階段.

在第一階段，排氣腔是由圓漸開線和修正圓弧組成，如圖4所示. 工作腔的容積為

V11(θ)=

a12(π-4?)-2Am},

其中

式中：φ為修正展角，?為漸開線發生角，λ為修正圓弧中心角，Rd為修正大圓弧半徑，Rx為修正小圓弧半徑，γ為修正角.

圖4 由圓漸開線和圓弧組成的排氣腔

Fig.4 The discharge chamber consisting of circle involutes and circular arcs

在第二階段，排氣腔完全由修正圓弧組成，如圖5所示. 工作腔容積為

V12(θ)=h(Rd2-Rx2)[(θ-γ)-sin(θ-γ)].

圖5 僅有圓弧組成的排氣腔

3 渦旋齒型線的幾何性能指標

為了研究控制系數對渦旋齒型線幾何性能的影響，建立兩者之間的映射關系，特引入4個能表征渦旋齒型線幾何性能的指標，即壓縮比、渦盤圓周大徑、體積利用系數和渦旋齒齒厚.

3.1 壓縮比

式中：V3(0)為曲軸轉角θ=0時，第三壓縮腔的容積;θ*為開始排氣角，θ*=2π-γ;κ為氣體的等熵指數，取κ=1.21.

3.2 渦盤圓周大徑

考慮到渦旋壓縮機在實際應用中，有尺寸空間限制這一因素，特引入渦盤圓周大徑D這一性能指標，如圖2所示.

D=2{[xoo(φmax+π)+Ror]2+(yoo(φmax+π))2}1/2.

3.3 體積利用系數

為了定量表征渦旋壓縮機尺寸結構的大小以及緊湊程度，引入體積利用系數這一性能指標，定義為

3.4 渦旋齒齒厚

齒厚t是渦旋壓縮機設計、動力學、熱力學研究和強度計算中的一個重要幾何量，所以其大小的選擇對于渦旋壓縮機的正常運轉至關重要. 渦旋齒齒厚t的計算公式定義為

t=[ρ(φ+2π)-ρ(φ)-2Ror]/2.

4 控制系數與性能指標的映射關系

為了建立控制系數與性能指標的映射關系，并探究每項控制系數變化所代表的具體意義，分別討論了每個控制系數單獨變化時其對性能指標的影響. 本文以前兩項控制系數為研究對象，并且對控制系數的討論都是在回轉半徑Ror和渦旋齒高h確定的條件下進行的，因為回轉半徑Ror和渦旋齒高h是兩個重要的幾何參數，取值過大或過小均會對渦旋壓縮機的性能產生不利的影響. 回轉半徑Ror的大小會影響動靜渦旋的嚙合，Ror取值不恰當，會使動靜渦旋相互干涉而無法正常嚙合. 而渦旋齒高h的大小與軸向泄漏線長度、渦旋體加工時的難易程度相關，若h過大，會使渦旋體的加工難度增加，不利于保證渦旋體的形位精度；若h過小，又會增加壓縮腔軸向間隙的泄漏線長度，不利于提高渦旋壓縮機的容積效率. 基于以上分析，本文參照文獻[19]，取回轉半徑Ror=1.84 mm，渦旋齒高h=25 mm.

當控制系數a1保持不變，a0逐漸增大時，得到的計算結果如表1中的第1至第3組數據所示. 結果表明：在a1不變的條件下，隨著a0的逐漸變大，渦盤圓周大徑D在變大，壓縮比ν和體積利用系數γ在變小，而渦旋齒齒厚t卻保持不變；當控制系數a0的值不變，a1取值逐漸變大時，其計算結果如表1中的第3至第5組數據所示. 由結果可知：隨著a1的逐漸增大，壓縮比ν、渦盤圓周大徑D及渦旋齒齒厚t均在變大，只有體積利用系數γ在減小. 從表1中還可以得出，任何控制系數ai的單獨變大都會使渦盤圓周大徑D增大，也都會使體積利用系數減小.

表1 控制系數ai變化時的性能指標值

Tab. 1 Performance index values with the change of control coefficientai

組數控制系數a0a1渦旋齒型線的性能指標值νD/mmγt/mm11.101.545.77700.1523.0020.601.546.27690.1533.0030.101.546.87680.1553.0040.102.046.91900.1174.5750.102.546.931120.0946.14

通過探討前兩項控制系數變化對渦旋齒型線性能指標的影響，建立了控制系數與性能指標的映射關系，如表2所示. 利用表2中的映射關系，得到了控制系數與各項性能指標的變化趨勢圖，如圖6所示. 運用該變化趨勢圖可優選出一系列滿足設計要求的控制系數，進而構造出渦旋齒型線.

表2 控制系數與渦旋齒型線性能指標的映射關系

Tab.2 Mapping relation between control coefficients and performance indexes of scroll wrap profiles

控制系數a0a1渦旋齒型線的性能指標νD/mmγt/mm↑―↓↑↓――↑↑↑↑↓↓↑

注：―表示不變；↑表示增大；↓表示減小；雙箭頭表示增大或減小的程度較大.

圖6 控制系數與性能指標的變化趨勢圖

5 控制系數的優選

對于渦旋壓縮機而言，壓縮比和體積利用系數無疑是兩個非常重要的性能指標，它們對于提高壓縮性能，改善整個空壓系統工作性能的影響關系較大. 所以在以往的研究中，對這兩個性能指標特別重視，在一味地追求壓縮比或體積利用系數的最大值. 但同時也忽略了另外兩個形象直觀、便于測量的指標，即渦盤圓周大徑D和渦旋齒齒厚t.

對于渦盤圓周大徑D而言，它的大小受空間尺寸的限制. 在達到同樣大小的壓縮比或體積利用系數的條件下，D的尺寸可以有多種. 如當渦旋壓縮機被用于轎車等空間有限的地方時，雖然壓縮比或體積利用系數達到了設計要求，但若D的尺寸過大或過小都將導致渦旋壓縮機無法正確安裝.

對于渦旋齒齒厚t而言，它的大小主要根據渦旋齒工作時受力狀況而定，以保證強度和剛度為前提. 若t過小，則渦旋齒的強度和剛度會降低，加工中容易變形；若t過大，則渦旋盤的整體尺寸會增大，渦旋齒的質量也會過大，導致傳熱性能變差. 當渦旋齒頂部要求設置密封槽時，t在取值時還要將密封槽與密封條的加工工藝考慮在內. 由此可見，渦旋齒齒厚大小的選擇對渦旋壓縮機性能的改善是極其關鍵的.

因此，本文分別討論了在渦盤圓周大徑D與渦旋齒齒厚t恒定的前提下，利用控制系數與性能指標的映射關系，來優選滿足要求的控制系數，進而構造出性能優良的渦旋齒型線.

利用映射關系，尋找滿足渦盤圓周大徑D的控制系數. 例如，在a0=0.10，a1=1.54時，得到的D=68 mm，若此時需要D=80 mm的外形尺寸，由映射關系可知，可分別增大a0或a1的值，把a0值增大至a0=6.10來達到要求，也可把a1值增大到a1=1.81來滿足要求，即在渦盤圓周大徑D確定的前提下，控制系數a0或a1的取值是在參照表1的基礎上，依據映射關系，會計算得到一系列滿足要求的控制系數. 如表3所示，僅僅是滿足要求的其中的五組控制系數. 由表3可知，在保證渦盤圓周大徑D一定的條件下，第3組的壓縮比最大，但其體積利用系數又較小；第1組的體積利用系數最大，但其壓縮比和齒厚卻是最小的. 所以在選擇控制系數時，應根據渦旋壓縮機的實際需求合理選擇，若需要較大的壓縮比，則選擇第3組的控制系數來構造渦旋齒型線；若需要較大的體積利用系數，就選擇第1組的控制系數來構造渦旋齒型線.

表3D=80 mm，改變控制系數ai時的性能指標值

Tab.3 Performance index values with the change of control coefficientaiwhenD=80 mm

組數控制系數a0a1渦旋齒型線的性能指標值D/mmνγt/mm16.101.54803.430.1393.0020.101.81806.890.1323.85301.82807.010.1313.8840.381.80806.590.1323.8250.501.79806.460.1333.78

同樣利用映射關系來尋找滿足渦旋齒齒厚t的控制系數. 例如，在a0=0.10，a1=1.54時，得到的t=3.00 mm，若需要t=4.00 mm的齒厚，可增大控制系數a1的值，即把a1值增大至a1=1.86來達到要求. 即在渦旋齒齒厚t確定的條件下，根據表1并結合表2中的映射關系，可計算得到控制系數若干. 由表2可知，雖然齒厚t不受控制系數a0的影響，但a0取較小值時，可以增大壓縮比和體積利用系數. 如表4所示，是滿足渦旋齒齒厚t=4.00 mm要求的其中的五組控制系數.

表4t=4.00 mm，改變控制系數ai時的性能指標值

Tab. 4 Performance index values whith the change of control coefficientaiwhent=4.00 mm

組數控制系數a0a1渦旋齒型線的性能指標值t/mmνγD/mm101.864.007.010.1288220.601.864.006.380.1278331.101.864.005.950.1268441.601.864.005.580.1258552.101.864.005.260.12486

由表4可知，在保證渦旋齒齒厚t一定的前提下，第1組的壓縮比和體積利用系數最大，而渦盤圓周大徑D卻最小；第5組的壓縮比和體積利用系數又是最小的，但渦盤圓周大徑D又是最大的. 因此在優選控制系數時，要綜合考慮各個性能指標，若需要較大的壓縮比或體積利用系數，則選擇第1組的控制系數來構造渦旋齒型線；若需要較大的渦盤圓周大徑，則選擇第5組的控制系數來構造渦旋齒型線.

6 結 論

1)利用微分幾何中的Frenet標架，建立了渦旋齒型線的通用幾何模型，將等壁厚渦旋齒型線、漸變壁厚渦旋齒型線和變壁厚渦旋齒型線集成在一個函數方程中，并且將對型線幾何性能的研究轉化為對控制系數的研究，設計人員可更加專注于控制系數選取對渦旋壓縮機性能影響的研究.

2)建立了控制系數與渦旋齒型線性能指標的映射關系，通過該映射關系，不但可以有效避免控制系數取值的盲目性，而且還可以構造出眾多符合設計要求的渦旋齒型線.

3)突破了渦旋齒型線設計中只注重壓縮比或體積利用系數等條件的限制，以考慮實際需求為抓手，依據設計需求的傾向性，利用映射關系來構造出綜合性能優良的渦旋齒型線.