基于元動作單元的數控機床運動精度映射

周 偉，肖 兵，冉 琰，胡曉波，張根保

(機械傳動國家重點實驗室(重慶大學), 重慶 400044)

在機械產品的生命周期中，精度設計與控制是決定產品最終質量的關鍵因素之一[1]. 精度是機械產品的一個關鍵質量特性. 其中，對于精密或者超精密數控機床而言，其運動精度又是影響機床精度的關鍵因素. 長期以來，我國機床企業傳統的精度設計主要依賴于經驗，沒有定量的理論值可以參考. 為使數控機床精度設計有定量的理論數值供參考，提高數控機床的精度，對機床精度映射的研究就顯得至關重要.

對于運動精度的研究，Pezeshki等[2]、Ibaraki等[3]、Fan等[4]根據運動學理論建立了數控機床運動學模型，對數控機床運動誤差進行了識別. 郭世杰等[5]、余永維等[6]對機床運動誤差進行了快速識別與測量. 張學波等[7]提出一種基于冗余陣元回波數據的運動誤差補償方法，對聲吶系統的運動誤差進行補償. 雷楠南[8]對磨齒機數控系統進行了螺距誤差補償，提高了機床精度. 對于精度等質量特性映射的研究，王美清等[9]、安相華等[10]對客戶需求進行映射，得到基于客戶需求的精度等質量特性.

分析上述文獻可知，首先現有對于運動精度的研究[2-8]主要是在機床制造生產出來后對其運動精度的識別、測量及運動誤差補償，無法得到可以供機床精度設計階段參考的運動精度理論數值. 其次，現有對于精度映射的研究[9-10]主要集中在設計過程中用戶需求與精度等質量特性之間的映射關系. 研究的內容主要是用戶需求向整機或者部件映射，其映射的最小單元是整機或部件，不能為更小單元(零件)的設計提供設計依據.

針對上述問題，本文從運動角度對數控機床的運動精度進行分析，提出了基于元動作單元的運動精度映射模型. 首先，采用“功能-運動-動作”的結構化分解方法得到元動作單元；其次，利用多體系統理論并結合元動作分解樹，描述了數控機床拓撲結構，進而運用旋量理論建立了數控機床運動誤差模型；再次，為使數控機床空間運動誤差表達更具有幾何意義，運用螺旋理論建立了空間運動誤差螺旋模型，形式化表達了空間運動誤差；然后，以制造成本、空間運動誤差螺旋螺距為設計準則，構建了運動精度映射模型；最后，利用NSGA-Ⅱ遺傳算法進行映射求解，得到映射結果.

1 基于多體系統理論的數控機床拓撲結構

分析數控機床運動精度首先需要對數控機床結構進行準確描述，準確、完整的數控機床結構數學模型是進行數控機床相關工作的基礎，因此建立準確的數控機床結構數學模型是進行運動精度分析的前提. 本文利用多體系統理論并結合元動作單元分解樹，從運動的角度出發對數控機床拓撲結構進行描述，為建立數控機床精度模型提供基礎.

1.1 基于多體系統理論的數控機床元動作分解

多體系統理論是建立在傳統坐標變換理論基礎上的，它對復雜的機械系統有很強的概括能力和獨特的系統描述方法. 多體系統是指多個物體通過一定方式相互連接構成的系統，系統中的物體可以是剛體也可以是柔性體，是分析和研究復雜機械系統的最優模式[11].

對數控機床的運動精度進行分析，需要從運動的角度對機床進行結構化分解，傳統的以零部件為最小單元且只考慮零部件之間連接關系的結構化分解方法對于分析運動精度是不適用的. 因此，從運動角度出發，結合多體系統的思想，考慮機床通過最小的動作來實現其功能的過程，可以通過“功能(Function)-運(Motion)-動作(Action)”的分解方法對其進行結構化分解[12]. 結構化分解模型如圖1所示.

圖1 FMA結構化分解模型

由圖1可知，機電產品要實現整機的運動功能需要相應的部件子功能去實現，部件子功能的實現依靠相應的運動，運動的實現又依靠相應的動作，即“功能-運動-動作，FMA”. 在此，把機械產品中傳遞運動和動力的最基本的運動形式，稱為元動作(Meta-action, MA)；把實現某一個元動作的所有零件按照結構關系構成的整體，稱為元動作單元(Meta-action Unit, MU). 將元動作單元看作多體系統中的一個體，即可從運動的角度對數控機床的結構進行描述.

元動作單元通常包括移動單元和轉動單元兩種，例如油缸中活塞移動單元，齒輪轉動單元. 對一個元動作單元而言通常包含動力輸入件、支撐件、中間件、動力輸出件和緊固件五大基本要素. 其中動力輸出件定義如下[13]：元動作單元中向下游元動作單元輸出運動和動力的零件. 例如蝸桿轉動元動作單元中的蝸桿.

1.2 數控機床拓撲結構

拓撲結構是對多體系統本質的高度提煉和概括，是研究多體系統的依據和基礎，對多系統拓撲結構描述，是多體系統理論的基本問題[14]. 根據多體系統理論，將一個元動作單元看作一個體，各元動作單元之間只有單自由度的相對運動，約束類型為移動或轉動，因此數控機床拓撲結構如圖2所示.

圖2 基于多體系統和元動作單元的數控機床拓撲結構

Fig.2 CNC machine tool topology based on multi-body system and meta-action units

如圖2所示，在多體系統中，在慣性體B0(一般數控機床慣性體為床身)和所有元動作單元上均建立與其固定聯接的右手直角笛卡爾三維坐標系，這些坐標系稱為廣義坐標系. 其中，廣義坐標系中慣性體上的坐標系稱為慣性參考坐標系，各個元動作單元坐標系稱為子坐標系或動坐標系，每個坐標系中的三個正交基按右手定則分別設為X、Y、Z軸. 由于元動作單元的動力輸出件(簡稱輸出件)的作用是向下游元動作單元輸出動力和運動，所以元動作單元的運動精度很大程度取決于輸出件的運動精度. 因此元動作單元動坐標系一般建立在動力輸出件上. 建立多體系統坐標系后，對于各元動作單元之間的相對運動分析就可以轉換為對各動坐標系之間的相對運動分析.

2 基于旋量理論的數控機床運動誤差建模

2.1 旋量理論

在三維歐式空間R3中設S為參考坐標系，T為固定在剛體上的物體坐標系，剛體相對于參考坐標系的位置和姿態(位姿)可由下式描述[15]：

SE(3)={(R,t)R∈SO(3),t∈R3}.

(1)

式中：SE(3)為特殊歐式群；R為3×3姿態旋轉矩陣；t為位置向量；SE(3)為特殊正交群.

根據歐拉旋轉定理，對于剛體的每一個旋轉運動，都有一個旋轉矩陣R(R∈SO(3))與之對應，設ω表示旋轉軸方向的單位矢量，θ為轉角，則R可寫成ω和θ的函數：

(2)

根據指數映射關系，可得

(3)

根據Chasles定理[16]，任意剛體運動都可以通過螺旋運動即通過繞某軸的轉動與沿該軸移動的復合運動實現. 也就是說剛體運動與螺旋運動是等價的. 因此剛體運動變換可以用旋量指數積形式表示為

(4)

式中：ω表示螺旋軸方向的單位矢量；υ表示沿螺旋軸移動的位移矢量；θ表示轉角. 將式中的υ和θ分別用移動誤差矢量和轉動誤差代替即可得到運動誤差變換矩陣.

2.2 相鄰元動作單元運動誤差矩陣

當某一元動作單元相對于其相鄰元動作單元的某一軸運動時，會在六個自由度方向上產生六項運動誤差，其幾何意義如圖3所示.

圖3 相鄰元動作單元相對運動示意圖

Fig.3 Schematic diagram of relative motion of meta-action units

(5)

同理可得到Y、Z方向螺旋運動的運動誤差矩陣：

相鄰元動作單元運動誤差矩陣為三個方向螺旋運動誤差矩陣相乘，當Δαjk、Δβjk、Δγjk較小時，忽略高階無窮小，相鄰元動作單元誤差矩陣為

gjk=gXgYgZ=

(6)

2.3 元動作單元鏈及整機空間運動誤差矩陣

圖4 元動作單元鏈空間運動誤差形成過程

Fig.4 Meta-motion unit chain space motion error formation process

利用式(6)的運動誤差矩陣描述元動作單元鏈中相鄰元動作單元之間的相對運動關系，定義元動作單元鏈空間運動誤差矩陣為元動作單元鏈中各相鄰元動作單元的運動誤差矩陣相乘. 則Ei為

Ei=g01g12…gq-2,q-1gq-1,q.

(7)

數控機床整機誤差是由各條元動作單元鏈的運動誤差綜合累積而成，定義整機空間運動誤差矩陣為各條元動作單元鏈元的運動誤差矩陣相乘，當Δαjk、Δβjk、Δγjk較小時，忽略高階無窮小，整機誤差特征矩陣簡化形式如下：

(8)

式中：n為元動作單元鏈數目；Δx、Δy、Δz表示整機誤差沿參考坐標系的X、Y、Z軸的移動誤差分量；Δα、Δβ、Δγ表示整機誤差沿參考坐標系的X、Y、Z軸的轉動誤差分量. 由式(8)可以看出，空間運動誤差由六個分量組成，但是在實際中對于精度的衡量指標并沒有分為六個分量，往往是六個分量的綜合. 例如機床加工精度為0.002 mm，0.002 mm這個數值并不表示加工精度的某個分量的值，而是表示由六個分量誤差綜合作用后形成的最終誤差. 因此為了使空間運動誤差更具有幾何意義，利用螺旋理論來綜合空間運動誤差的六個分量.

根據文獻[17]中關于螺旋理論的定義可知，螺旋是指繞特定軸線的轉動和沿改軸線的移動的合成運動，空間中任意運動都可以合成為一個螺旋運動. 該軸線稱為螺旋軸線，且利用Plücker坐標表示單位螺旋如下：

(9)

(10)

(11)

根據式(8)～(11)，空間運動誤差螺旋定義為

(12)

(13)

其中，mE表示空間運動誤差螺旋大小，SE表示空間運動誤差單位螺旋矢量，hE表示空間運動誤差螺旋螺距. 一般情況下可以用hE作為空間運動誤差的綜合值.

3 數控機床運動精度映射模型

精度與零部件的制造成本之間存在一定的關系：零部件精度越高，越能滿足設計要求，但是制造成本較高；零部件精度越低，制造成本越低，但生產出的產品質量越差[18]. 因此，在對精度質量特性進行映射時，必須考慮成本問題.

3.1 運動精度映射模型

3.1.1 運動精度-成本函數

在設計階段，通常還不能定出成本數值，因此一般不可能建立制造成本的精確數值，但是可以定性或相似的估計. 根據文獻[19]提出的成本估計模型，精度成本函數近似計算模型如下：

(14)

其中，a，b為待定常數，一般根據各個企業的經驗取值；xi為第i個元動作單元的運動精度值，由公式(12)計算；n為元動作單元的個數.

3.1.2 運動精度映射模型

設數控機床預定的精度值為ΔE，為不使機床精度超過預定的值，一般情況下要讓機床空間運動誤差螺旋大小mE小于預定的精度值，即約束條件為

mE≤ΔE.

(15)

精度映射問題可以看作是滿足產品性能要求且制造成本最低的多目標優化問題. 根據式(12)～(15)，以空間運動誤差螺旋大小為約束，以空間運動誤差螺距最小和制造成本最低為目標，構建運動精度多目標優化映射模型如下：

(16)

式中:f1、f2為優化目標；mE為約束條件；xi為設計變量，即各個元動作單元的運動精度值；n為設計變量數.

3.2 基于NSGA-Ⅱ算法的精度映射方法

為解決上述多目標優化問題，采用NSGA-Ⅱ算法進行運動精度映射求解. NSGA-Ⅱ是由K.Ded和S.Agrawala[20]提出，是非支配排序遺傳算法NSGA的改良版. 映射方法步驟如下：

1) 建立數控機床運動精度映射模型. 以根據公式(16)以空間運動誤差螺旋大小為約束，以空間運動誤差螺距最小和制造成本最低為目標，構建運動精度多目標優化映射模型.

2) 初始化種群. 隨機初始化個體數為N的種群Pt，并將所有各體按非支配關系排序且計算適應度值.

3) 利用遺傳操作選擇、交叉和變異產生新種群Qt.

4) 對種群Pt和種群Qt進行合并得到種群Rt.

5) 非支配排序. 采用快速非劣排序算法將種群Rt中的各體劃分成不同的非劣級別.

6)產生新種群Pt+1.

7) 判斷是否滿足遺傳算法約束條件，若滿足則退出算法，并得到Pareto最優解；否則繼續執行步驟3). 計算流程如圖5所示.

圖5 遺傳算法中精度映射計算流程圖

Fig.5 Flow chart of precision mapping calculation in genetic algorithm

4 實 例

以國產某機床廠設計生產的某型號精密臥式加工中心為例，說明運動精度映射過程. 由于臥式加工中心分解后得到的元動作單元數目較多，限于篇幅原因，這里只以托盤交換架為例，說明映射過程. 托盤交換架的功能是交換已加工工件和待加工工件的位置，其運動精度的大小直接影響工件的加工位置，進而影響整機加工精度，其回轉部分結構如圖6所示.

根據圖6托盤交換架回轉部分結構，按照元動作單元獲取步驟對托盤交換架進行分解,得到液壓電磁閥閥門開合、回轉油缸活塞移動、齒條移動、齒輪轉動、托架轉動5個元動作單元. 由于液壓電磁閥閥門開合運動對托盤交換架的運動精度影響較小，因此這里不作討論. 交換架回轉運動單元結構化分解如圖7所示，其元動作單元鏈如圖8所示.

圖6 托盤交換架回轉部分結構圖

圖7 交換架回轉運動單元結構化分解

Fig.7 Structured decomposition of exchange frame rotary motion unit

圖8 元動作單元鏈

根據式(8)空間運動誤差模型，以元動作單元的運動精度(如活塞移動元動作單元的移動精度、齒輪轉動元動作單元的轉動精度)為設計變量，最小化制造成本和最小化空間運動誤差螺距為目標函數，空間運動誤差螺旋大小為約束構建精度質量特性映射模型.

1)運動精度設計變量. 由圖6托盤交換架回轉部分結構圖可知，相鄰元動作單元之間只有單自由度的相對運動，因此設計變量為

x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13,x14,x15,x16,

x17,x18,x19,x20,x21,x22,x23,x24).

根據公式(6)、(7)，求得空間運動誤差矩陣為：

E=g01g12g23g34=

為減小篇幅，定義：

tx=x1x4+x7x10+x13x16+x19x22，

ty=x2x5+x8x11+x14x17+x20x23，

ty=x3x6+x9x12+x15x18+x21x24，

tα=x4+x10+x16+x22，

tβ=x5+x11+x17+x23，

tγ=x6+x12+x18+x24.

忽略高階無窮小，求得的最終的空間運動誤差矩陣為

2)根據公式(12)、(14)，運動精度映射目標函數為

根據該機床廠的經驗，咨詢該廠相關設計人員，式(14)中的a、b分別取值為1.2和1.6，則精度成本函數為

3)加工中心精度預定值為ΔE=0.005 mm. 由公式(15)、(16)精度映射數學模型為

建立好精度映射模型后，運用Isight軟件并結合MATLAB的NSGA-Ⅱ算法進行精度映射求解，NSGA-Ⅱ算法參數設置如下：種群數pop=16，進化代數gen=30，交叉率Pc=0.9，變異率Pm=0.1，交叉操作分配率mu=20，變異操作分配率mum=20. 映射求解結果如圖8所示.

經過NSGA-Ⅱ算法得到481組結果，其中綠色區表示最優解，其他顏色區域表示非最優解. 根據綠色區的最優解，利用公式(12)對每個元動作單元的精度進行螺旋綜合，得到元動作單元的映射精度值，如表1所示. 由表1可知，精度質量特性映射結果為：回轉油缸活塞移動元動作單元A1的移動精度為0.003 38 mm，齒條移動元動作單元A2的移動精度為0.002 07 mm，齒輪轉動元動作單元A3的回轉精度為0.002 75 mm，托架轉動元動作單元A4的回轉精度為0.003 96 mm. 根據映射結果，設計人員可以把上述映射結果作為元動作單元的設計輸入，合理安排設計要求對元動作單元進行設計.

圖9 映射求解結果

mm

5 結 論

1)從運動角度出發對數控機床進行結構化分解得到元動作單元分解樹，結合多體系統理論并利用旋量理論建立了數控機床誤差模型，并運用螺旋理論對空間運動誤差進行了綜合.

2)建立了運動精度映射模型，使用Isight和MATLAB軟件結合NSGA-Ⅱ遺傳算法進行運動精度映射求解.

3)以某國產加工中心為例求解得到元動作單元的運動精度值，驗證了映射模型的有效性和可行性，并為設計人員提供了設計參考.