微課程重構：從三角到相似

徐章韜

摘要：算法化是數學的重要特點之一。從三角函數走向相似，用三角函數作為工具來解析幾何，從特殊研究出一般，既有理論上的可行性，也可以為平面幾何問題的解決帶來很多便利。同時，這種做法體現出計算思維的巨大威力，習得了這種思維，每走一步都是可預見的，學生會平添很多自信，對于發展學生的核心素養是有意義的。

關鍵詞：教育數學 相似 三角函數

相似是平面幾何的難點，攻克了相似，其意義不言而喻。秉持計算思維，化推理為計算，寓理于算，可以達到上述目的。教材在處理三角函數和相似的關系時，不甚明朗：有的教材把三角函數安排在相似之后，把三角函數的學習建立在相似比之上;有的教材把三角函數安排在相似之前，作為函數的內容來學習。初中三角函數其實不能稱之為三角函數，它只是一種三角比，主要是為了對三角形進行解析。由此來看，把三角函數安排在相似之后，相對合理。但從特殊性與一般性的關系來看，三角函數是直角三角形中的線段之比，相似研究的是一般三角形中的線段之比，一般性寓于特殊性之中，從特殊走向一般，是人的正常思路。因此，從三角函數走向相似，用三角函數作為工具來解析幾何，就應當把三角函數編排在相似之前。這樣做，既有理論上的可行性，也可以為平面幾何問題的解決帶來很多便利。

一、三角函數和相似的立論之基

三角函數的意義在于化斜為直。有了正弦、余弦、正切的定義之后，傾斜、水平、垂直這三個方向就可以相互轉化了。一般而言，是用垂直來說明前兩者，這樣，作垂線、構造直角三角形就非常重要了。解決問題時，表面上是相似，其實是在進行代數運算。相似是幾何語言，三角函數是代數語言。

三角函數的立論之基是作垂線，構造直角三角形;相似的基礎是平行，平行線分線段成比例定理。而平行和垂直是可以相互轉化的。比如，垂直于同一直線的兩條直線互相平行，即“若b⊥a，c⊥a，則b∥c”;如果兩條平行線中有一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也垂直于第三條直線，即“若a∥b，a⊥c，則b⊥c”。

回到前面例1的做法，即可以考慮在角A兩邊作比，就有第一種平行線的做法;如果考慮在平角兩邊作比，就有第二種平行線的作法。

抓住角展開變換，是三角函數的精髓。這種精神可化作上述平面幾何的做法。

四、讓學生學得容易一些

根據數學史的研究，利用“勾中容橫、勾中容方”原理，相似之基是平行線分線段成比例定理，也可以建立在面積之上。而“重構三角，全局皆活”的做法正是建立在面積之上的。從這個意義上說，相似和三角函數是相通的。

讓學生學得容易一些，是教育數學的追求。學生在學習相似和三角函數之時，要能融會貫通。上述做法，無須改變現行教材的編排體系，不和常規教學沖突，也不改變平面幾何的幾何味道，具有可推廣性。這體現了教育數學的一貫做法，重構數學，重構教學，一線串通。這種做法還體現了計算思維的巨大威力，習得了這種思維，每走一步都是可預見的，學生會平添很多自信，對于發展學生的核心素養是很有意義的。

教育數學的研究，使我們的教與學更清晰了。

參考文獻：

[1] 盧成嫻，姜浩哲，汪曉勤.數學史對批判性思維培養的作用——以《三角形一邊平行線性質定理及推論》一課為例[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（4）.

[2] 張景中.三角下放，全局皆活——初中數學結構性改革的一個方案[J].數學通報，2007（1）.