關注學習起點，領悟概念本質

吳才興

摘 要：通過前概念調查，找準學生的學習起點，探索貼近學生生活經驗、促進知識生長的概念教學策略。在教學時抓住新舊概念的內在聯系和內涵差異，揭示新概念的本質屬性，通過感知概念、辨析概念、同化概念、提升概念，讓學生獲得一個正確的“比”的概念。

關鍵詞：比;意義;概念本質

一、“比”的前概念調查分析與教學啟示

“比的意義”是在學生掌握了分數與除法的關系，理解分數、除法意義的基礎上學習的，它既是“比的基本性質”“比例的意義”等數學概念的基礎，又是解答比和比例問題的依據。比在數學中是一個重要的概念，理解比的意義、體會比的價值是教材內容的核心思想。在教學“比的意義”之前，學生已經比較系統地學習了分數和除法的知識和應用，對兩個數的相除關系有了比較深刻的理解，這些知識和方法都是學習本內容的基礎。

（一）“比”的前概念假設與調查

1.前概念假設

學生在日常生活中，對于比的接觸可能比較少，但是他們對比的粗淺認知和理解肯定是有的。部分學生會認為比賽中的比和數學中的比意義一樣，對于比的其他存在形式可能列舉的也有限。但是大部分學生會利用分數或者除法的知識解決一些和比有關的問題，說明學生對題目中量與量之間的關系是比較明確的，而這也正是比的意義的來源，即兩個數相除的關系。

2.調查題設計

為了證實以上想法，更好地了解“關于比，學生已經觸及了多少”這一認知經驗儲備狀態，為課堂教學服務，我設計了兩個問題請學生書面作答。

（1）你聽說過“幾比幾”嗎，請舉例子說明。

（2）請把下面的長方形按1∶2分成空白和陰影兩部分。

3.調查對象

蕭山區寧圍小學605班的45名學生，在本內容教學前兩周的周二中午時間進行集中調查，答題時間為8分鐘。

（二）對調查結果的統計與分析

1.調查結果統計

2.調查結果分析

對于第一題，以體育比賽為例子作答的學生最多，占了40%，說明比賽中的“比”，是學生在生活中接觸較多的一個“比”，但是對于這個比和其他寫出來的幾個比有什么不同，不是特別清楚。實際上體育比賽的比分只是采用了比的形式和讀法，對于學生寫比、讀比能起到一些正面的影響，但對于意義的理解可能沒有幫助。

以做菜做飯等為例作答的學生，很好地詮釋了比在生活中的存在狀態，這部分學生對比的感覺比較到位，占總人數的15.5%。還有35.6%的學生可能受到第二題或者其他因素的影響，可以寫出幾比幾的形式，比號的位置書寫得也很正確，這說明學生對比的這種表達形式接受很快。

對于第二題，有53.3%的學生做對了，在事后的訪談中，也能看出這些學生能夠讀懂1∶2的意義。畫成2∶1的學生顯然是忽略了空白和陰影的先后順序關系;畫成1∶1和1∶3的學生是對單位“1”該平均分成幾份不是很清楚。這些學生或多或少有一些理解上的偏差，但是偏離的幅度都不大，只要稍加點撥，定能真正理解。

（三）教學啟示

通過此次“比”的前期調查和分析，我們不難發現以下幾點：

1.學生具有一些比的生活經驗，我們在教學中創設符合學生生活經驗的情境展開教學應當是最理想的。

2.學生對“比是要講順序的”意識不是很強，需要在教學中強調。

3.體育比賽的比分在學生心中有深刻的印象，但是它不是數學意義上的比，所以在教學中進行辨別、劃清界限。

4.比與分數和除法有密切的聯系，但“比”更加直觀、易于理解、便于應用。課堂教學中應當體現出這種優勢，消除學生“為什么要學習比”這一心理源點問題。

二、追求與學生認知發展匹配的概念教學策略

（一）創設生活情境，感知概念

我們在教學實踐中，首先要關注學生的知識基礎和最近發展區。從知識起點來看，比的學習基礎是“除法與分數”的系統性知識，在實戰中老師既要關注學生對比的生活經驗和認知的儲備，又要關注為什么學習比的心理困惑。因為在學習比之前，學生對兩個數量之間的比較已經會用除法、分數等多種方式來表示，就會產生“已經學習了那么多知識，為什么還要學一個差不多的新概念”這樣的疑問和困惑。只有通過對學習者知識起點、心理視點雙管齊下的尋求方式，才有可能探視到孩子們真實、全面的學習起點，讓我們的教學有的放矢。

「教學片段1」

交流信息，創設情境：

師：今天老師給大家帶來了一個生活中的問題。小明第一次煮米飯，他在電飯鍋里淘好米后，接下來不知道該放多少水了。你覺得水放多或放少對飯有什么影響，能給小明提提意見嗎？（出示情境圖）

學生交流。

師：這米和水的量肯定有一個關系，只有滿足了這個關系才能煮出香噴噴的白米飯。聰明的小明上網一查，發現了用電飯鍋做米飯的方法，1杯米配2杯水。能看懂它的意思嗎？你能用一個算式表示米和水之間的關系嗎？

師：你用到了除法，能說說這個除法算式表示什么意思嗎？

師：同學們還得到了哪些算式？

引導學生用除法表示水的量是米的2倍，米的量是水的二分之一。

設計意圖：教材例1中采用國旗的長和寬的關系引入比，缺少比較的主動性，好像是教師的要求才進行比較。所以在新知的引入中做了改動，變為電飯鍋要煮出白米飯時，米和水的量的關系引入比，從而顯得更為直觀或必要，與學生的日常生活也密切相關，更能激發學生主動探究的積極性。

「教學片段2」

認識兩個同類量的比。

師：剛才同學們用除法表示了米量和水量之間的關系，在數學中我們還有一種新的表示方法，你知道嗎？（板書：比）

師：水量是米量的2倍這個關系，我們還可以怎么說呢？（水量和米量的比是2：1）

介紹比的讀法、寫法。

師：米量是水量的二分之一這個關系，我們也可以怎么說？（米量和水量的比是1 ∶ 2）

師：同學們觀察一下，第一句是誰比誰，第二句是誰比誰。看來比較的順序不一樣，我們寫出來的比也不一樣。

師：因為a∶b和b∶a的意思是不同的，所以我們寫比時或說比時要分清誰和誰的比。

師：現在請你選擇一下，為了表示煮飯時米量和水量的關系，在除法、比和其他表達方式之間，你會選哪種？

生齊答：選比。

師：為什么？能說說你們的看法嗎。

生a：用比來表達簡單明了。

生b：用比正敘、反敘都可以直接看出倍數關系。

設計意圖：學生的經驗中，存在一些模糊的比的認識，借助煮飯時米和水的關系，使“比”逐漸清晰起來，并在第一時間初步領略比的優勢。

在課前的概念調查中，我們發現學生在生活經驗里有很多比的影子存在，但這些認知是初步的、粗淺的。要恰到好處地運用這些認知，讓它們成為新知識發生和構建的源泉。學生一接觸煮飯這個事情，立馬有了親切感和好奇心，產生了研究的興趣，在他們體驗了“比”在生活應用中的優勢后，正好回應了學習新概念的必要性。

（二）緊扣“相除關系”，辨析概念

歸納和辨析是學習概念的重要法寶，豐富的比較和質辨活動可以幫助學生領悟概念內涵。概念本質屬性與非本質屬性的區分需要靠比較、質疑和辨別來明晰，概念外延的擴展需要在活動中充實。老師在教學中有意識增加“反例”和“題組”，讓孩子們在概念內涵的不斷反芻與鑒別中，不斷完善認知，不斷明晰概念的本質。

「教學片段3」

探究不同類量的比。

師：根據所提供的條件，你能寫出比嗎？

1.我們班男生有18人，女生有21人。

2.行100千米花了2小時。

3.船長今年50歲，客人有25人。

4.小軍買了5本科技書，每本4元。

在交流中，第1小題可以寫出多個比，仍舊屬于相同量的比;第2小題寫的比表示路程和時間之間的關系，屬于不同量的比，是討論的重點;第3小題兩個數量之間沒有關系，沒有比較的意義;第4小題兩個數量之間是相乘關系，沒有相除關系，不能用比進行描述。

師：結合我們剛才舉的幾個例子，說一說怎樣的兩個數量才能組成比。

師：這個關系，其實就是比的意義。在數學上我們把兩個數相除又叫作兩個數的比。（出示概念）

師：第1小題，是兩個同類的數量相除，表示的是倍數關系;第2小題是兩個不同類的數量相除，會產生了一個新的量，它們都可以用比來表示。

設計意圖：以練習題的形式繼續探究，一方面鞏固前一片段的教學成果，另一方面引出新的研究內涵，過渡自然。通過這四個小題的練習，一步步逼近比的本質，兩個量要有關系的，并且是相除關系，從比的實際意義來關注可比性。在此基礎上歸納比的概念，可謂水到渠成。

因為心理年齡的特點，學生對概念的理解往往會表面化、片面化。當他們看到幾比幾這種形式時，容易著眼于“數”而忽略“量”的屬性，產生“只要有兩個數就可以組成一個比”這樣的認識偏差和思維定式，忽視了比的概念內涵“兩個量的相除關系”和比的概念外延“兩個量的可比性（兩個量的相關聯性）”。上面的教學片段通過一組習題從正反例子兩個角度進行比較區別，促進學生從比的本質屬性來辨別，引導學生從“數”至“量”進行思考，分辨兩個量的可比性和實際意義。通過對概念內涵和概念外延循序漸進、層層深入的質辨，比的意義在觀察比較中慢慢完善起來。

（三）溝通新舊聯系，同化概念

同化是小學數學概念學習的基本方式，讓學生接收的新信息與原有認識結構中的有關概念發生聯系，實現新舊意義的同化，從而使原有的認知結構發生某些變化而獲得一個正確的新概念。教學中需要抓住新舊概念的內在聯系和差異予以遷移，在關注知識遷移的同時加強對學生認知形態的透視分析，幫助他們經歷數學概念本質的真正抽象，構建概念。在教學中如何有效調動學生已有的認知，激活思維，直接影響學生的認知水平推進和概念同化的效果。

「教學片段4」

比、分數和除法三者之間的聯系和區別

（1）在點明“比”與“除法”“分數”“倍數”有聯系之后，讓孩子們想一想，“米量和水量的比是1∶2”與原來那種說法是相同的？

生a：這種說法和“米量是水量的1/2”意思是相同的。

生b：都是米量和水量進行比較，其實就是指煮飯時米量是水量的一半。

師：你們的說法很有道理。我們以前學的表示方法“米量是水量的1/2”就可以說成“米量和水量的比是1∶2”。

師：我們從二年級起就會講的“水量是米量的2倍”用比該怎么表示呢？

生齊答：水量和米量的比是2∶1。

師：比和除法、分數之間有著緊密的聯系，我們借助這張表格來研究一番吧！請小組討論完成。

（2）思考課本中“小精靈”的問題。

比的前項、后項和比值分別相當于除法算式和分數中的什么？比的后項可以是0嗎？同桌相互討論。

（3）匯報、填表。

設計意圖：讓新知識主動尋找相關的舊知識，溝通新舊知識間的聯系。通過比較填表，培養學生觀察、類比、分析和概括的能力，表格可以幫助學生對知識進行有序的概括。

很多情況下，為了簡潔高效，新舊知識點的聯結都是老師直接點破的，沒有發揮出學生主觀能動性的作用。在本教學片段中通過讓孩子們想一想，“米量和水量的比是1∶2”與原來那種說法是相同的？就為孩子們提供了一個思維的入口，為新概念和舊概念的聯結提供了一個觸點。把舊概念“分數、除法”與新概念“比”的聯系建立起來，有效地實現了知識結構與認知結構的同化。

（四）拓寬知識領域，提升概念

從前概念調查分析看，學生對“比”的涉及領域并不多，但我們知道比在生活中非常普遍，通過理解不同場合下的比，能夠讓學生對概念有更深層次的認識和感受。

「教學片段5」

師：知道了兩個數的比表示兩個數相除，在日常生活中，你還見到過比嗎？

（1）辨析比賽中的“比”

出示紅隊、藍隊比賽場景圖片和比分3∶0。從這個比中你知道了什么？它是想表示兩隊比分相除嗎？

生：不是。比的后項相當于除法中的除數、分數中的分母，不可以是0，而這個比分的后項是0。

師：對。實際上體育比賽中的比分，只是借用數學上比的形式和讀法，表示得分的多少，不是相除關系，不是數學中的比。

（2）解釋廣告中的“比”

播放活力28廣告，截取廣告中出現的比：“用量少1∶4”“去污強1∶4”“時間短1∶4”“省力氣1∶4”“省水電1∶4”。

任選其中的一個比，說一說具體含義。

（3）了解人體中的“比”

出示“新生兒頭長與身高的比是1∶4”的圖片，感受大頭娃娃的可愛。

出示踮起腳跳舞的芭蕾舞蹈演員圖片，感受美，其中的道理就跟比有關。寫出腿長和身高的比，求出比值。

未踮腳：90∶160=90÷160≈0.563

踮腳后：105∶175=105÷175=0.6

師：給你們補充一些課外知識，我們都會追求美，在現實生活中最美的事物都會具備一個比：就是黃金比，比值為0.618。因為芭蕾舞演員踮起腳后腿長與身高的比非常接近黃金比，所以看起來非常美。現在你們知道為什么年輕女性愛穿高跟鞋了吧，她們是在創造黃金比呢。

（4）研討泡泡水中的比

師：同學們玩過用泡泡水吹泡泡嗎？

生齊答：玩過。

師：那你們知道泡泡水是怎么配置而成的嗎？（出示信息：泡泡水要用甘油、水、洗潔液、洗手液混合而成）討論一下怎樣調配才能配出好的泡泡水呢？

簡短討論后，對應著“甘油、水、洗潔液、洗手液”出示1∶4∶2∶2。

師：能解釋一下1∶4∶2∶2的意思嗎？在這里我們可以發現除法和分數是不能一下子將四種物品之間的倍數關系表示出來的，而比就可以，不僅兩兩之間的倍數關系很明確，幾個數量之間的關系都一目了然，非常厲害。我們可以把多個數量之間的比叫作連比，比如學校六年級有八個班，可以把每個班的人數組成一個八連比。

在鞏固練習時再一次將學習融入生活，體會比在生活中的廣泛應用。體育比賽的比分3：0這個反例，進一步理解比的意義本質。黃金比的介紹，使課堂趣味盎然，也體現了人們創造美的智慧。比對于除法、分數的優勢在哪里呢？這是對比的意義和價值的深層次追問。老師通過泡泡水配制中的“連比”——讓學生切實感受到比的獨特功能，為后續學習比的更多知識拓展空間、埋下伏筆。

每一個正確概念的習得，都是一個復雜的思維過程。我們通過對學生前概念的調查分析，找準學生的思維起點，在教學時抓住新舊概念的內在聯系和內涵差異，在豐富的探究活動中揭示新概念的本質屬性，讓學生學得深刻、學得快樂。

編輯 魯翠紅