三類參數(shù)方程在解析幾何中的應(yīng)用

吳萍萍

(福建省莆田市擢英中學(xué) 福建 莆田 351100)

隨著全國(guó)各省市加入高考利用全國(guó)卷的浪潮，近幾年對(duì)全國(guó)卷研究的不斷深入后發(fā)現(xiàn)：參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)文理科中均出現(xiàn)在選修4-4的位置，作為高考的選做題。查閱了高考的考綱，對(duì)參數(shù)方程的要求為：(1)了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義。(2)能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線，圓和圓錐曲線的參數(shù)方程。可以發(fā)現(xiàn)考綱對(duì)參數(shù)方程的要求只是作為選做題出現(xiàn)，因此，在教學(xué)過程中，我們只是單純的為了選做而教學(xué)，并沒有以此進(jìn)一步探索參數(shù)方程的靈活應(yīng)用。然而，在教學(xué)的不斷深入后發(fā)現(xiàn)，雖然高考的要求只是作為選做題，但是參數(shù)方程的出現(xiàn)，大大減少了相關(guān)題目的變量，促進(jìn)教學(xué)層次的深化。完全可以作為一種有效的學(xué)習(xí)方法進(jìn)行歸納、總結(jié)，讓學(xué)生可以好好利用參數(shù)方程這個(gè)工具解決數(shù)學(xué)中的一些比較復(fù)雜、繁瑣的問題。因此，將參數(shù)方程在除了選做之外的數(shù)學(xué)解題中進(jìn)行了一些拓展。

1.創(chuàng)新性思維：直線的參數(shù)方程的靈活應(yīng)用

傳統(tǒng)的教學(xué)只是通過不斷的做題，頻繁的進(jìn)行數(shù)學(xué)題型的訓(xùn)練來獲得數(shù)學(xué)成績(jī)的提高。但是，這種方法往往事倍功半，學(xué)生不得其法。因此，要針對(duì)各個(gè)學(xué)校的學(xué)生特點(diǎn)，設(shè)計(jì)不同的典型例題，進(jìn)行歸納總結(jié)，發(fā)散思維，從而舉一反三，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的感知力。

在選修4-4的課本中明確指出：直線的參數(shù)方程參數(shù)t的幾何意義為：t的絕對(duì)值為直線上的點(diǎn)到定點(diǎn)(x0,y0)的距離，有正負(fù)之分。對(duì)直線參數(shù)方程的研究可以發(fā)現(xiàn)：參數(shù)t可以用來求解與直線的定點(diǎn)有關(guān)的距離問題，從而避免了去求兩個(gè)點(diǎn)再用距離公式來求解的繁瑣的計(jì)算過程，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算量。

例題1：直線l：y=-x+1，曲線C的方程為y2=4x，直線l交曲線C于A、B

(1)求x-y-1=0|AB|；(2)若P(0,1)，求|PA|+|PB|的值.

解題思路：直線l的參數(shù)方程與曲線C的方程聯(lián)立，得到關(guān)于t的二次方程。結(jié)合參數(shù)方程t的幾何意義，將一、二問的距離轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的等量關(guān)系式，利用韋達(dá)定理求解。

例題2：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l的方程為，曲線C2的方程為y2=4x，若曲線l，C2相交于A,B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，過點(diǎn)P做曲線C2的垂線交于E,F兩點(diǎn)，求|PE|·|PF|.

解題思路：通過幾何關(guān)系求得AB的中垂線參數(shù)方程，并與C2聯(lián)立。將題目所求的距離乘積問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的等量關(guān)系式，利用韋達(dá)定理求解。

此類問題主要借助直線的參數(shù)t的幾何意義，對(duì)涉及過直線定點(diǎn)的距離問題進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，大大簡(jiǎn)化了圓錐曲線的繁瑣計(jì)算，迅速的得到所需要的答案。

2.探索性思維：圓的參數(shù)方程的巧妙應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)的特點(diǎn)就是解題方法靈活，并且有一定的計(jì)算要求。如果能夠探索出代數(shù)問題的幾何法，便能大大的簡(jiǎn)化計(jì)算，快速解決難題，大大節(jié)省學(xué)生的解題時(shí)間。不失為一種非常巧妙的數(shù)學(xué)方法。

例題3：與向量結(jié)合求取值范圍

解題思路：將C上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)用參數(shù)方程設(shè)，并結(jié)合向量的公式將題目所求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解。

引入圓的參數(shù)方程，將兩個(gè)變量變成只有一個(gè)變量角度(注意參數(shù)的取值范圍)，化簡(jiǎn)成三角函數(shù)求最值的常規(guī)類型就很好處理了。可以明顯發(fā)現(xiàn)參數(shù)方程解決此類問題的優(yōu)點(diǎn)。

3.發(fā)散性思維：橢圓參數(shù)方程的直觀應(yīng)用

例題4：橢圓中求最值

解題思路：將C上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)用參數(shù)方程設(shè)，再利用點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合三角函數(shù)的最值求解。

上述解答可以發(fā)現(xiàn)：原先橢圓上的點(diǎn)P的坐標(biāo)由兩個(gè)變量x，y來表示，所求的表達(dá)式整理后，沒辦法解決有關(guān)最值的問題。這時(shí)引入橢圓的參數(shù)方程，就可以將兩個(gè)變表示成只有一個(gè)變量，將最值問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)求最值的問題。因此，參數(shù)方程在很大程度上可以減少變量，大大簡(jiǎn)化計(jì)算，非常的實(shí)用。

4.總結(jié)

在全國(guó)卷的新形勢(shì)下，在應(yīng)用參數(shù)方程解決高中數(shù)學(xué)的相關(guān)問題，主要思路：利用參數(shù)方程，可以減少題目中的變量個(gè)數(shù)，達(dá)到降元的目的。通過合理運(yùn)算思維與結(jié)構(gòu)，綜合參數(shù)方程的綜合知識(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)問題的求解。但是，通過對(duì)以上類型的歸納整理可以發(fā)現(xiàn)，在應(yīng)用參數(shù)方程時(shí)尤其要注意參數(shù)的幾何意義及參數(shù)的取值范圍。注意多練、多提問、多體會(huì)、多領(lǐng)悟，踏實(shí)學(xué)好參數(shù)方程，靈活應(yīng)用參數(shù)方程，從而能夠在今后的解題中，參悟數(shù)學(xué)題目的內(nèi)在隱含條件，迅速解答數(shù)學(xué)問題。