為什么點那么難“描”

阮萍揚

(福建省泉州師范學院附屬中學 福建 泉州 362000)

建系法是解決高中理科立體幾何問題的一種有效方法，模式化也比較明顯，在完成建系和描點后，套入公式一般都可以解決問題，這類問題有較為明顯的“套路解法”，照理學生的得分率要很高，但實踐過程中筆者卻發現情況截然相反。究其原因，其中一個主要的問題是學生不會描點，為什么點那么難描？可能是一些描點的“技巧”沒有掌握好。

1.選擇合適的空間直角坐標系

例題1:如圖1，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BAD=45°,PD=2,若平面PDC⊥底面ABCD，且PD⊥DC，求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值。

2.從空間向量角度進行描點

例題2:(2014課標1)如圖5，三棱柱ABC-A1B1C1中，側面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C。(1)證明：AC=AB1；(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值。

3.題目中核心信息遺漏

例題4:(2018課標1)如圖9，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF為折痕把△DFC折起，使點C到達點P的位置，且PF⊥BF。(1)證明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值。

解析:過點P做EF的垂線，交EF于點O,即PO⊥面ABCD。如圖10建立空間直角坐標系，設AB=2，瞬間發現，所有的坐標都很難求。這是因為有一個核心信息遺漏了！遺漏了什么信息呢？遺漏了PF⊥面PED，就有PF⊥PE！這里△EPF是直角三角形！有了這個信息，那么描點就非常容易了！這樣的命題手法非常高明，對學生來說是一個挑戰，如果沒有對信息進行再挖掘，僅僅通過表象信息去解決問題，往往無功而返耗時耗力。這給了我們一個提示，描點遇到障礙時，認真細讀題目給出的信息，對信息進行二次挖掘，把隱藏的結論揭示出來，問題便迎刃而解。

總結

建系、描點、套公式，這是立體幾何建系法的三步驟。描點成為最關鍵的一步。除了傳統的將點投影到坐標平面或投影到坐標軸外，其實，我們還有一些“小技巧”、“補充結論”和“解題經驗”來幫助建系和描點。