數(shù)學(xué)建模方法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用

席進(jìn)華

(北部灣大學(xué) 理學(xué)院，廣西 欽州 535011)

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程所包含的數(shù)學(xué)建模方法

1.1 引入隨機(jī)變量

針對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革的研究成果比較多[1-4]，可以將數(shù)學(xué)建模思想融入其中[5]。概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，隨機(jī)現(xiàn)象在自然界隨處可見(jiàn)。

在隨機(jī)試驗(yàn)中，可直接觀察到的、最基本的、不能再分解的結(jié)果被稱(chēng)為基本結(jié)果(基本事件)。基本結(jié)果也被稱(chēng)為樣本點(diǎn)，將所有樣本點(diǎn)放在一起構(gòu)成的集合被稱(chēng)為樣本空間，可以把隨機(jī)試驗(yàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合問(wèn)題和樣本空間子集問(wèn)題，將事件之間的關(guān)系和運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系和運(yùn)算問(wèn)題，這樣就第一次建立了隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。

概率論最先要研究的是隨機(jī)現(xiàn)象在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小問(wèn)題，即事件的概率，但直接定義不方便，于是就采用了公理化定義，將所有事件放在一起構(gòu)成事件域，將概率定義為從事件域到實(shí)數(shù)集的映射，并滿(mǎn)足相應(yīng)條件。

為了更好地利用數(shù)學(xué)工具研究隨機(jī)現(xiàn)象，便引入了隨機(jī)變量的概念。隨機(jī)變量就是從樣本空間到實(shí)數(shù)集的一個(gè)映射，并滿(mǎn)足一定條件，把隨機(jī)事件問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量的問(wèn)題，然后再定義分布函數(shù)，這樣就完全把隨機(jī)試驗(yàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而可以通過(guò)數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象。

1.2 引入其他小的數(shù)學(xué)模型

從局部來(lái)看，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中包含著很多小的數(shù)學(xué)模型，如古典概型、幾何概型、n重貝努利概型，還有好多習(xí)題也是小的數(shù)學(xué)模型。

例如[6]：根據(jù)記錄，某商店某商品的每月平均銷(xiāo)售量為5件，為了有95%以上的把握保證不脫銷(xiāo)，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該種商品多少件？

泊松分布刻畫(huà)的是一定時(shí)間段內(nèi)稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)，那么可以近似假設(shè)該商品銷(xiāo)售量服從泊松分布，其中λ=5，從而建立了該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，可以計(jì)算出結(jié)果。

在教學(xué)過(guò)程中，可以充分利用這些例子來(lái)幫助學(xué)生掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論知識(shí)，并用其來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

2 建模方法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 講清楚概念的來(lái)龍去脈

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念都有其實(shí)際意義，應(yīng)講清楚這些概念的來(lái)龍去脈。

在教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生會(huì)計(jì)算期望，更重要的是理解期望的統(tǒng)計(jì)意義，這就是對(duì)數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用。數(shù)學(xué)建模的基本方法就是將實(shí)際問(wèn)題通過(guò)合理假設(shè)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后將求解結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中。應(yīng)用這一思維方式，能夠使學(xué)生更好地理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)概念及方法，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使課程教學(xué)更具針對(duì)性和實(shí)用性。

2.2 使學(xué)生理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論和方法的背景意義及應(yīng)用價(jià)值

教學(xué)過(guò)程中，要注重講解理論、方法的背景意義和內(nèi)涵，不需要將主要精力都放在繁瑣的推導(dǎo)和計(jì)算上。例如，對(duì)全概率公式和貝葉斯公式而言，應(yīng)講清楚這兩個(gè)公式的背景意義。

在講常用分布時(shí)，要簡(jiǎn)單介紹幾種常用分布的背景來(lái)歷和分布所描述的試驗(yàn)背景。例如，二項(xiàng)分布是描述n重貝努利實(shí)驗(yàn)中事件A(0