區間Pythagorean模糊前景多階段多屬性應急決策方法

魏俐華，陳 剛

貴州大學 管理學院，貴陽550025

1 引言

近年來，各類突發事件頻繁發生（如2003 年的非典、2008年的汶川地震、2015年的天津港爆炸及2019年的新冠病毒等），造成大量人員傷亡和財產損失。通常，突發事件的信息是不完全的，階段狀態的演化更是無法準確預測，而且必須在短時間內做出應對決策。顯然，傳統的選優決策方法受到限制，因此，諸多學者對應急決策開展了的研究。

決策信息不準確、情景復雜、決策時間緊迫是應急決策的特點[1]，因此決策者難以給出確定的屬性信息，一般用模糊集描述。不少學者[2-4]運用直覺模糊數描述屬性評價值，并以直覺模糊熵、猶豫度、沖突熵等最小化確定屬性權重。為了更合理刻畫屬性評價值，一些學者[5-7]將直覺模糊數拓展為區間直覺模糊數，并有效應用于應急決策。Yager[8]對直覺模糊數進一步拓展，提出了畢達哥拉斯模糊集，其條件放寬至隸屬度與非隸屬度之和可大于1，其平方之和小于1。針對畢達哥拉斯模糊集的研究，目前主要側重于集成算子[9-11]及拓展TOPSIS評價方法[12-14]。為了更合理地描述模糊性信息，Du等[15]將畢達哥拉斯模糊集拓展成區間畢達哥拉斯模糊語言數（Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Linguistic Numbers，IVPFLNs），并定義了集成算子；孫倩倩等[16]定義了區間畢達哥拉斯模糊集的信息模糊熵，為其信息度量提供方法。IVPFLNs描述模糊性信息比模糊集、直覺模糊更有效，但目前多數學者側重研究畢達哥拉斯集成算子，并將之運用于多屬性決策及評價，僅有少部分學者將其運用于應急決策[17]。

在高壓下的應急決策環境中，決策者心理行為對決策結果有直接影響，故不少學者在決策中考慮有限理性心理行為，以期得到更合理的結果。以Kahneman 等[18]為代表的學者在考慮決策者心理行為時提出了前景理論，認為決策者并不是追求效用最大化，而是選擇綜合價值最滿意的方案。不少學者[19-20]將前景理論運用到應急決策中，并驗證了其有效性及合理性。隨著時間的推移，突發事件勢必會演化成不同的情境，決策者要綜合考慮多個階段不同的情境，即從全局出發，做出科學、系統的應急響應[21]。如疫情初期，應綜合考慮多個階段情境以及當前方案對后一階段情境的影響，進而實現全局最優。若考慮方案的后效性[22]，當前階段的決策勢必會影響后一階段狀態概率，后一階段狀態概率又會影響當前階段的方案選擇，故各階段應急效果之和最優才是應急決策的最終目的。因此，本文在考慮應急決策的特點、決策者的有限理性心理行為的前提下，側重研究了決策方案對多階段狀態概率的影響，提出了基于IVPFLNs和前景理論的多階段多屬性應急決策方法。

2 預備知識

2.1 Pythagorean模糊集

定義1[9]設X為有限論域，則稱A={＜x,[sθ(x),[μA(x),νA(x)]]＞|x∈X}為X上的畢達哥拉斯模糊語言集，其中μA(x)和νA(x)∈[0,1]分別表示元素x屬于和非隸屬畢達哥拉斯模糊語言值sθ(x)的程度，并且滿足：為x屬于A的猶豫度。

定義2[9]設A1={＜sθ1,μA1,νA1]＞} 為畢達哥拉斯模糊語言數，若將其規范化，對于效益屬性無需變動，對于成本屬性，語言部分采用負運算，模糊部分采用補運算，規則如下，其中g為語言值基數。

定義3[9]設A1={＜sθ1,μA1,νA1]＞} 為畢達哥拉斯模糊語言數，其得分函數如下：

定義6[15]設是IVPFLNs，若將其規范化，對于效益屬性無需變動，對于成本屬性，語言部分采用負運算，模糊部分采用補運算，規則如下：

2.2 前景理論

基于有限理性下的前景理論反應了決策者的風險偏好，前景值由價值函數和概率權重函數共同決定，價值函數是決策者對收益或損失的主觀感受，其定義如下：

定義8[18]Kahneman 和Tversky 以冪律形式給出的價值函數v(Δxi)。

其中，Δxi=xi-x0，Δxi表示方案xi偏離參考點x0的大小。Δxi≥0 表示獲得收益，Δxi＜0 表示遭受損失；α和β分別表示決策者對收益、損失的敏感程度。λ表示與收益相比，決策者對損失更加敏感；α、β和λ的取值范圍分別為α ＞0、β ＜1 和λ ＞1。

決策者面對客觀發生的概率事件時，通常會高估小概率事件，低估大概率事件，這是一個主觀的概率權重，因此Kahneman 和Tversky 認為決策者面對損失或收益時的概率權重函數如下：

其中，ε、δ分別表示風險收益時、風險損失的態度系數。

3 原理與方法

考慮一個決策信息為IVPFLNs 的多階段多屬性應急決策問題。其中T={t1,t2,…,th}(i=1,2,…,h)為階段集，為階段i的方案集，為前i個階段的方案鏈，1,2,…,ni)為階段i的決策屬性集，屬性權重∈[0,1]為階段i的狀態集，表示前i個階段的狀態鏈；表示前i-1 階段的狀態鏈為時，第i階段的狀態概率矩陣，表示前i-1 階段的狀態鏈為并采用方案鏈時，第i階段狀態為ui時的概率，其中第一階段狀態概率為p1u1；S={s1,s2,…,sg}為語言集；Ai=為階段i方案集Xi的評價矩表示第i階段狀態為ui時，對第ji個方案屬性ki的評價。

基于前景理論的IVPFLNs 多階段多屬性應急決策方法步驟如下：

步驟1 屬性權重范圍的確定

由于應急決策的信息不夠全面且不確定性高，故屬性賦權時應考慮這一特點，即屬性賦權過程在保證足夠信息量的同時，應盡可能降低不確定性。而信息熵描述信息的不確定程度，模糊熵描述模糊集合的模糊性程度，熵權法是一種重要的客觀賦權方法。因此，本文運用方案信息熵及區間Pythagorean模糊熵的組合賦權方法確定屬性權重。

通過取區間最大值和區間最小值，將IVPFLNs矩陣Ai轉化為畢達哥拉斯模糊語言矩陣AL(i)和AU(i)，運用定義2 將矩陣和轉化為規范化矩陣=和；運用定義3 將和轉化為得分矩陣RL(i)和RU(i)=。

屬性的權重可依據信息量確定，屬性的信息量越大，則權重越大；反之，越小。熵值法可衡量不確定信息的信息量，熵值的大小與信息量成負相關[23]。因此，熵權法描述如下：

其次，根據公式（9），計算第i階段狀態為ui時，屬性ki的熵值,為了便于表達，公式中的統一用表示。

最后，根據公式（10），確定第i階段狀態為ui時，屬性權重范圍。

步驟2 屬性權重的確定

依據定義5，在i階段狀態為ui時，方案關于屬性集合Ci的加權模糊語言熵水平定義為：

表示方案關于屬性的模糊語言熵。

在i階段狀態為ui時，以各方案所有屬性的加權模糊熵之和最小構建優化模型，模型（M-1）如下所示：

該模型一定存在最優解，可得屬性權重。

步驟3 區間數的轉化

運用定義6，將矩陣Ai轉化為規范化矩陣；運用定義7，將IVPFLNs 轉化為區間數，得矩陣。

步驟4 各階段各狀態下方案前景值的計算

記Riui+=()為區間正理想點分別表示基于歐氏距離測度的各階段狀態下的方案ji的屬性ki與正負理想點的距離。顯然，以區間正理想點為參考點時，所有方案將面臨損失；以區間負理想點為參考點時，所有方案將面臨收益。為了便于表達，統一將表示成piui，根據定義8 在第i階段狀態為ui時，第ji個方案的第ki個屬性的前景值計算如下：

其中，π+(piui),π-(piui)分別表示在第i階段狀態為ui時，面臨收益、損失的概率權重。

因此，在第i階段狀態為ui時，第ji個方案的前景值為：

步驟5 方案鏈的前景值計算

那么給定方案鏈時，第i(i ＞1)階段的方案到h階段的方案的方案鏈前景值為：

步驟6 各階段方案的確定

在考慮后效性的應急決策中，現階段決策勢必會影響事件的發展趨勢。若是僅考慮當前階段的問題，決策結果并不會使整體決策效果最優；故決策過程需要綜合考慮多個階段的決策問題。此外，成本的預算是制定應急方案的必要環節，即該屬性是一個確定的數值，若用模糊語言去評價，又會損失這一信息的價值，因此方案的綜合評價值應由成本和前景值共同決定，而系統性的考慮各階段的成本、前景值是多階段決策的難點。本文以成本和前景值為優化目標構建模型，確定各階段方案，進而實現整體應急效果之和最優。模型（M-2）如下所示：

其中，目標函數z1表示最大化方案鏈的前景值，目標函數z2表示最小化方案鏈的總成本，Q=qi代表方案鏈總數，VlXh(τ)表示第τ個方案鏈的前景值，(τ)表示第τ個方案鏈的費用。ylhX(τ)是0-1變量，若ylhX(τ)等于1時，表示決策者選擇第τ個方案鏈；反之，不選擇該方案鏈。

該模型屬于多目標規劃，為了便于求解，本文將其轉化為單目標優化問題，目標函數如下：

其中，φ表示前景值權重的占比，1-φ表示費用權重的占比。

4 算例分析

4.1 問題背景

本文以傳染病疫情防控應急決策問題為例。假設某地區出現了若干名類似某傳染病的疑似病例，為防止疫情進一步擴散，確保居民的身體健康，應急部門迅速針對已掌握的信息采取了行動。由于對病毒認知不足及所獲得信息有限，應急部門同時考慮了當前階段和后兩階段的決策問題，即系統地分析了疫情在當前和后階段可能演化的狀態。以當前階段采用的方案為基礎，根據先驗概率得出后一階段的各狀態概率。假定當前階段的兩種狀態分別為季節性流感傳染病、新型病毒傳染病，依據已獲知的病毒信息評估出兩種狀態概率分別為0.3、0.7，制定了兩個方案。方案為確認病原體及傳播機理，對發源地消毒，封閉該場所；方案為確認病原體及傳播機理，對發源地消毒，封閉該場所，對商戶進行隔離，并對去過這些場所的人進行追蹤。專家從以下三個方面對應急方案進行決策：為可控制傳染的效果，為方案所需的動員力度，為預期挽救的經濟損失。第二階段有兩種狀態分別為個別社區感染、多個社區感染，以第一階段各狀態下采用某一方案為前提，預估出第二階段的各狀態概率為其中的兩種狀態鏈分別用表示，的兩種方案鏈分別用表示，并制定了兩個方案。方案為取消一切聚集性活動，集中救治病人，社區封閉管理，全面排查感染人員；為取消一切聚集性活動，集中救治，社區封閉管理，全面排查感染人員，進出小區管控，追蹤密切接觸者。專家從以下兩個方面對應急方案進行決策：為可控制傳染的效果，為方案所需的動員力度。專家分析得出第三階段有三種狀態分別為疫情得到控制、疫情在多個地方傳播及疫情在全國爆發，在前兩階段組成的狀態鏈下采用某一方案鏈為前提，預估出第三階段的各狀態概率為，其中的四種狀態鏈分別用表示，的四種方案鏈分別用表示，并制定了三個方案。方案隔離觀察密切接觸者，停工停課，建立定點救治醫院；隔離觀察密切接觸者，停工停課，建立定點救治醫院，停運部分運輸工具，交通管制；隔離觀察密切接觸者，停工停課，建立定點救治醫院，停運部分運輸工具，交通管制，封村封路。專家從以下兩個方面對應急方案進行決策：為可控制傳染的效果，為方案所需的動員力度。各方案屬性值有六種狀態集，即S={較弱，弱，一般，強，較強，很強}。專家給出了各階段方案的決策信息如表1～3 所示。假定每一階段各方案的成本預算分別為：300，500；1 200，2 000；5 000，2 000，3 000（單位：百萬元）。

4.2 計算過程

4.2.1 屬性權重的確定

運用式（8）～（10）求得屬性權重范圍，如表4 所示；再利用式（11）求出階段1各狀態的語言熵，并運用模型（M-1）確定屬性權重，即[0.305,0.385,0.31]，[0.354,0.405,0.241]。限于篇幅，階段2、階段3各狀態的屬性權重范圍不具體展開，同理可得階段2、階段3各狀態下的屬性權重，即[0.517,0.483]，[0.52,0.48]；=[0.345,0.655],=[0.401,0.599],=[0.505,0.495]。

表1 階段1各方案的決策信息

表2 階段2各方案的決策信息

表3 階段3各方案的決策信息

表4 階段1屬性權重范圍

4.2.2 各狀態下的前景值

根據文獻[18]的研究，價值函數及概率權重參數取值為α=β=0.88,λ=2.25；ε=0.61、δ=0.72。利用式（14）～（16）求出第一階段兩狀態下各方案的第k個屬性的前景值，再運用式（17）可得關于兩方案在各狀態下的前景值，如表5所示。同理可得階段2、階段3各狀態的方案前景值，如表6、表7所示。

表7 階段3各狀態的方案前景值

表8 方案鏈的前景值及成本

表5 階段1的方案前景值

表6 階段2各狀態的方案前景值

4.2.3 方案鏈的確定

運用式（18）～（20）計算出方案鏈的前景值，累加各方案鏈的方案成本可得方案鏈的成本，如表8所示。易得0.212，4.454；15 500，6 500。假定φ=0.75，本文運用lingo 軟件求解模型（M-2），可求得(10)=1，即選擇)。故第一階段選擇方案，第二階段選擇方案，第三階段選擇方案。

4.3 結果分析

若決策僅考慮一個階段，第一階段兩個方案的前景值分別是-0.269、-0.260，成本是300、500。運用lingo軟件求解得y(1)=1，即第一階段選擇方案為。若決策只考慮第一、第二階段，同理可得(2)=1，即選擇方案鏈)，故第一階段選擇方案，第二階段選擇方案。顯然，在第一階段的方案選擇上，考慮多階段決策與之不同。階段一的兩方案的前景值僅相差0.009，在成本上卻有較大區別，因此，僅考慮單一階段的決策選擇方案更合理。但是兩方案對于后幾階段狀態演化的概率有質的區別，特別是情況惡化時，方案更有效。選擇方案也體現流行病初期管理應遵循疑似從是的原則。流行病的應急決策問題上，具有很強的后效性和風險厭惡性，單一階段的決策可實現局部效果最優，而考慮多階段給出的方案更具全局性。此外解決當前階段問題的同時準備后續階段對策更符合實際，進而實現整體效果最優。

5 結束語

本文針對決策信息不充分且屬性權重未知的多屬性應急決策問題，綜合考慮決策者的心理行為、方案對狀態演化概率的影響及方案的成本，運用區間畢達哥拉斯模糊語言描述模糊性強的決策信息，提出了一種基于組合賦權和前景理論的多階段多屬性應急決策方法。構建并求解以方案鏈的前景值最大化和成本最小化為目標的模型確定方案鏈。通過對流行病算例進行分析，并與僅考慮一個階段的決策問題進行對比，表明在考慮全局效果最優時，本文提出的方法具有合理性與可行性。然而在考慮方案成本因素時未將相鄰方案相容性納入研究，對于群決策問題也未進行探索，后續的研究可對這些因素進行拓展。