在推理中深度理解數(shù)學(xué)模型

臧曉梅

教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第七單元“數(shù)學(xué)廣角——植樹問題”。

課前思考：教材通過對現(xiàn)實生活中植樹問題的研究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)棵數(shù)和間隔數(shù)的規(guī)律，進而抽象出這類植樹問題的數(shù)學(xué)模型。在平時的教學(xué)中，我們常常看到，在對三種植樹情況（兩端都栽、只栽一端、兩端不栽）進行分析，建立起棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系后教學(xué)就止步了。上課教師之所以這樣處理，有一定的原因：從知識難易上看，植樹問題的難度比較大，在編入教材之前屬于經(jīng)典的奧數(shù)知識，在一節(jié)課上能學(xué)完三種類型已經(jīng)是大容量教學(xué)了;從承載的思想方法上看，化歸、數(shù)形結(jié)合、一一對應(yīng)、模型、推理等都是要體現(xiàn)的思想，不易做好有機整合。基于上述考慮，筆者重新進行了設(shè)計，力求體現(xiàn)對數(shù)學(xué)模型的有效建構(gòu)，在具體的教學(xué)實踐中也取得了很好的教學(xué)效果。

教學(xué)過程：

一、情境導(dǎo)入，初步感知三種類型

1.聯(lián)系實際，理解間隔

師：（讓前后兩位學(xué)生起立）大家看，這兩位同學(xué)之間產(chǎn)生了一個……

生：間隔、空。

師：我們一般說成一個間隔。

（師依次讓學(xué)生說出這樣站立的4人、100人分別有幾個間隔。）

師：如果產(chǎn)生了這樣的101個間隔，你知道有多少名學(xué)生嗎？

生：有102名學(xué)生。

2.引出課題，感知三種植樹方式的存在

師：這節(jié)課，我們要研究和間隔有關(guān)的問題，數(shù)學(xué)上稱為植樹問題。（師板書，出示下圖。）

師：植樹節(jié)到了，少先隊員在公園內(nèi)通往涼亭的小路一側(cè)義務(wù)植樹，小路全長45米，每隔5米栽一棵，由五年級三個班完成，按班級順序每班各栽15米，請你算一算每班各栽了多少棵？

【意圖】借助“三個班級各栽了多少棵”這個大問題引出了在直線上植樹的三種類型，讓學(xué)生初步感知到解決植樹問題的現(xiàn)實意義。和單一地呈現(xiàn)一種植樹類型相比，這樣更便于學(xué)生在后續(xù)的探究中進行分析、比較，讓學(xué)生能從整體上理解把握。

二、主動探究，感悟模型

1.學(xué)生嘗試解決

師：三個班各栽了多少棵呢？大家可以想一想、畫一畫。

（學(xué)生在線段圖上用畫點或畫小樹的方式表示出要栽的棵數(shù)，師選擇有代表性的作品投影。）

師：你能看懂這些方法嗎？

（學(xué)生對15米處、30米處栽的樹歸哪個班產(chǎn)生了爭執(zhí)，對45米處栽不栽有疑問，師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意和圖去理解，統(tǒng)一認識。）

2.命名三種植樹類型

師：為了便于我們進一步研究，老師把三個班級的植樹情況單獨列了出來，請看屏幕。

師：請你觀察，這三幅圖有什么不同？

生：栽的棵樹不同。

生：栽的方法不同。

師：那你能給它們起個名字嗎？

（根據(jù)學(xué)生發(fā)言，師總結(jié)出兩端都栽、只栽一端、兩端不栽，并在圖上顯示出來。）

3.猜測棵數(shù)和間隔數(shù)關(guān)系

師：觀察這三種植樹方式，相同點在哪里？

生：間隔數(shù)都是3，每班都栽了15米。

師：（指著圖）3個間隔4棵樹，3個間隔3棵樹，3個間隔2棵樹，看來，棵數(shù)和什么有關(guān)？

生：和間隔數(shù)有關(guān)。

師：在不同的植樹類型下，棵數(shù)和間隔數(shù)又會有怎樣的關(guān)系呢？我們進一步來研究。

【意圖】學(xué)生對15米、30米、45米處的“爭執(zhí)”，是學(xué)生在初步感知后對三種植樹類型的進一步理解。在學(xué)生統(tǒng)一認識后，教師又把三種類型分開呈現(xiàn)，讓學(xué)生結(jié)合自己的理解給予命名，并引發(fā)學(xué)生進一步思考：為什么同樣的15米，三個班栽的棵數(shù)卻不一樣呢？不同植樹方式下棵數(shù)和間隔數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？核心問題就此啟動了起來，學(xué)生的探究由表面轉(zhuǎn)向深入。

三、對比分析，建立模型

1.任選一種小組內(nèi)研究

師：小組內(nèi)任選一種類型解決，看看棵數(shù)和間隔數(shù)到底有怎樣的關(guān)系。（出示合作要求：（1）任選一種類型，解決后也可以想想其他類型如何解決。（2）畫出線段圖并列出算式。）

2.匯報交流，深化理解

師：老師先調(diào)查一下，你選擇了哪種植樹情況來解決的？（研究兩端都栽的有2個小組，只栽一端的有9個小組，兩端不栽的有1個小組。）

師：那就先請研究只栽一端的這個小組前來匯報。

生1：大家好，我們小組研究的是只栽一端的情況。先用15米除以5米得到3個間隔，要栽3棵，發(fā)現(xiàn)了間隔數(shù)等于棵數(shù)的關(guān)系，同學(xué)們有什么疑問嗎？

生2：15米除以5米得到的是3個間隔，怎么是3棵樹呢？

師：（匯報學(xué)生剛要解釋，師示意先等等）這個問題問得好啊，明明是3個間隔嗎？怎么成了3棵樹呢？（全班學(xué)生思考后指名學(xué)生發(fā)言。）

師：（對著生1）他們的回答說出了你的意思了嗎？還是你來說說吧！

生1：這里雖然是3個間隔，從圖上看也是3棵數(shù)。（還有部分學(xué)生不明就理。）

師：給你個建議，如果你能在圖上畫一畫、指一指大家就更明白了。

（生1畫出箭頭，并說明了間隔數(shù)和棵數(shù)存在著一一對應(yīng)的關(guān)系。）

師：大家明白了嗎？根據(jù)一一對應(yīng)，這里的單位“個”可以改成什么了？

（生1把“個”改成“棵”。）

【意圖】為什么絕大多數(shù)小組都選擇了只栽一端的方式？這并非意外，而是教師意料之中的事情。因為上課的班級是5年級2班，學(xué)生對自己班級的認同度比較高，才會做出這種選擇。更重要的是，通過對這種植樹方式的深度探究，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為學(xué)生用這個發(fā)現(xiàn)由此及彼、推理出其他方式做了鋪墊。

把3個間隔改成3棵樹的過程是學(xué)生由表面理解深入到知識本質(zhì)的過程。在部分學(xué)生對生1的發(fā)言提出質(zhì)疑后，教師制止了生1的回答，這樣就把問題拋給了全體學(xué)生，給了全體學(xué)生思考的機會。再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合“一一對應(yīng)”的思想，生動地建立起3個間隔和3棵樹的關(guān)系，有效地生成了數(shù)學(xué)知識。

四、溝通推理，深化模型

1.用只栽一端推理出其他類型

師：同學(xué)們大多數(shù)都研究了只栽一端的情況，結(jié)合你的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你能不能推理出另外兩種情況？

生：只栽一端時，棵數(shù)等于間隔數(shù)，兩端都栽就是在只栽一端的基礎(chǔ)上再加一棵，所以棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

生：兩端不栽就是在只栽一端的基礎(chǔ)上再減一棵，所以兩端不栽時，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

師：大家同意嗎？（同意）這兩位同學(xué)發(fā)言好在哪？

生：根據(jù)一種情況就推出了另兩種情況。

生：沒用線段圖也解決了問題。

生：只要知道間隔數(shù)是幾，就能推理出所有情況。

師：推理確實是好方法，它不僅能讓我們脫離具體的直觀圖來解決問題，還讓我們了解了這三種植樹類型的聯(lián)系，掌聲送給這些同學(xué)。

2.分析三種類型，概括數(shù)學(xué)本質(zhì)

師：大家再觀察這三種類型，它們有什么相同點嗎？

生：都是先算出間隔數(shù)。

生：都用到了除法算出間隔數(shù)。

師：（圈出三種類型中的除法算式）是的，都是先計算15÷5=3（個），那你覺得植樹問題就是哪一類計算？

生：用除法解決的一類問題。

師：都是先算出間隔數(shù)，再用一一對應(yīng)的方法確定棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系。植樹問題并不神秘，它就是用除法解決的一類問題。

【意圖】重點理解只栽一端的作用就是讓學(xué)生用它來推理，通過推理溝通三種植樹類型的聯(lián)系，實現(xiàn)對植樹問題的整體感悟，并最終抽象出植樹問題的本質(zhì)——研究棵數(shù)與間隔數(shù)之間數(shù)量關(guān)系的除法計算。當(dāng)然，用任何一種植樹類型都可推理出另外類型，選用只栽一端做為基本模型，是因為在這種類型下棵數(shù)恰好等于間隔數(shù)，而且和另外兩種類型存在著間隔數(shù)加一、間隔數(shù)減一的簡單關(guān)系，便于學(xué)生理解掌握。

五、回歸生活，運用模型

1.解決生活中的實際問題（略）

2.引發(fā)思考，將探究拓展到課外

師：這節(jié)課我們研究的是在直直小路上的植樹問題，還會有什么樣的植樹問題？（曲線）假如在60米長的圓形花壇四周植樹，也是每隔5米栽一樣，能栽幾棵呢？留給大家課后解決。

【意圖】解決曲線上的植樹問題需要將曲線問題轉(zhuǎn)化成直線問題，這道題不僅要求學(xué)生靈活地運用本課所學(xué)知識，還將學(xué)生的探究由課內(nèi)引向了課外。

反思：

模型思想是數(shù)學(xué)三大基本思想之一，又位列十大核心概念之中，其在教學(xué)中的重要性不言而喻。植樹問題不僅蘊含著典型的模型思想，更有一一對應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等思想，有效地整合這些思想方法，更好地凸顯模型思想才是教學(xué)的出發(fā)點和歸宿。模型思想的建立不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷模型的建立過程，更要實現(xiàn)對模型的深度理解和本質(zhì)把握。

1.數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)是一個生動深刻的過程

學(xué)生對模型思想的感悟需要學(xué)生經(jīng)歷建模的過程，這就要先從現(xiàn)實世界中找到原型，逐漸剝離現(xiàn)實問題中的非數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終抽象出數(shù)學(xué)模型。本課由“三個班各栽了多少棵”這一現(xiàn)實情境引發(fā)思考，讓學(xué)生初步感知到植樹類型的存在和不同，學(xué)生用畫線段圖的方式把現(xiàn)實中的“樹”和“間隔”抽象成了“點”和“段”。再用一一對應(yīng)等思想方法得出了簡潔的數(shù)學(xué)關(guān)系式，初步建立了數(shù)學(xué)模型。但教學(xué)并未就此止步，而是進一步讓學(xué)生對比、分析三種關(guān)系式，由此及彼，實現(xiàn)了三種關(guān)系的有效溝通，深化了學(xué)生的理解，并最終抽象出植樹問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，實現(xiàn)了對數(shù)學(xué)模型的深度理解。

2.數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是簡潔的、便于理解運用的

植樹問題的數(shù)學(xué)模型不是留在黑板上的學(xué)生總是混淆的三個關(guān)系式，更不是把這三個關(guān)系式又變式成更多的公式，這不僅不利于學(xué)生理解，更會增加學(xué)習(xí)的難度，無助于模型思想的建立。對學(xué)生來說，這個模型應(yīng)該是理解起來簡單，運用起來方便的。在本課中，絕大多數(shù)小組選擇“只栽一端”并非偶然，而是教師的“有意為之”，學(xué)生用“只栽一端”這個基本模型就能推理出另外兩種情況，這不僅不會弱化模型思想的感悟，反而能更加凸顯出這個基本模型的優(yōu)勢一一用除法算出間隔數(shù)，棵數(shù)就等于間隔數(shù)，再用間隔數(shù)加1、減1就算出了另外兩種植樹情況。學(xué)生只需要用除法算出間隔數(shù)，再根據(jù)實際情況就可推理解決所有類型的植樹問題。

可見，給學(xué)生一個清晰的數(shù)學(xué)模型不僅是能否建立起模型思想的關(guān)鍵，更應(yīng)是教學(xué)的不懈追求。

■ 編輯/魏繼軍