五軸聯(lián)動混聯(lián)機床插補算法的研究

葛帥帥，李開明

(南京理工大學機械工程學院，江蘇 南京 210094)

一般六自由度并聯(lián)機構有實現(xiàn)姿態(tài)能力差、運動學正解求解困難以及難以通過閉環(huán)控制獲得較高的精度和較好的動態(tài)性能等缺點，而少自由度并聯(lián)機床具有驅動元件少、結構緊湊、成本低等突出優(yōu)點。三自由度并聯(lián)機床已能滿足大多數(shù)應用需求。雖然并聯(lián)機構具備串聯(lián)機構不能比擬的優(yōu)勢，但也有一些串聯(lián)機構所沒有的缺點，若將兩者結合起來恰好可以在優(yōu)缺點上形成互補[1]。五軸聯(lián)動數(shù)控加工技術是實現(xiàn)復雜自由曲面產(chǎn)品加工制造的關鍵技術[2]。在原有的三平動非對稱并聯(lián)機床的基礎上增加一個C-A型雙擺頭構成五軸聯(lián)動混聯(lián)機床，但并聯(lián)機床存在運動耦合，必須通過逆解運算將動平臺在操作空間中的運動轉換為關節(jié)空間中的伺服運動才能使動平臺走出期望的軌跡[3]。由于采用一般的插補方法C-A型雙擺頭可能會產(chǎn)生非線性誤差，因此本文提出了一種操作空間粗插補與關節(jié)空間精插補相結合的插補算法來解決上述問題。

1 機構描述

3-2SPS并聯(lián)機構主要由動平臺、機架和3組伸縮桿組成，如圖1所示，上下兩組伸縮桿兩端分別與動平臺和機架連接,中間一組伸縮桿兩端分別與動平臺和線性模組連接，線性模組是一種可水平滑動的冗余滑塊，用以規(guī)避奇異位形和增大工作空間。每組伸縮桿均由一個伺服電機驅動,以保證同一組伸縮桿始終平行且桿長相等，從而使動平臺只能在機床的X,Y,Z軸方向上平動。在上述并聯(lián)機床動平臺上裝上C-A型雙擺頭構成五軸聯(lián)動混聯(lián)機床。

圖1 混聯(lián)機床三維模型

2 運動學求解

2.1 坐標系的建立

圖2 定平臺鉸鏈點和定坐標系示意圖

圖3 動平臺鉸鏈點和動坐標系示意圖

2.2 并聯(lián)機床的位置及速度正反解

(1)

(2)

式中:Bi為動平臺上鉸鏈安裝點在機床動坐標系中的位置坐標；Ai為定平臺上鉸鏈安裝點在機床定坐標系中的位置坐標。

由式(2)可得本文并聯(lián)機床位置反解方程：

(3)

由式(3)可得本文并聯(lián)機床位置正解方程：

(4)

由于L1=L2,L3=L4,L5=L6，則有：

(5)

(6)

2.3 雙擺頭的位置正反解

如圖4所示，雙擺頭定軸坐標系為Om-XmYmZm，其中Om是擺動A軸和旋轉軸C軸的交點，各坐標軸方向與機床定坐標系相同；Ot-XtYtZt為刀具坐標系，其中Ot與刀尖點重合，各坐標軸方向與機床定坐標系相同，Om到Ot的距離為L；工件坐標系為Ow-XwYwZw。在刀具坐標系中，刀位點為(0,0,0)，刀軸矢量為Ps0(0,0,L)；在工件坐標系中，記機床平移軸相對于初始狀態(tài)的位置為Ps(sx,sy,sz)。刀位點矢量和刀軸矢量在工件坐標系中分別為u(ux,uy,uz)和p(px,py,pz)，可由Ot-XtYtZt相對于Om-XmYmZm的旋轉坐標變換和Om-XmYmZm相對于Ow-XwYwZw的平移坐標變換得到[6]：[uxuyuz0]T=M(PM0+PM)·MRZ(θC)·MRX(θA)·M(-PM0)·[0 0 1 0]T，[pxpypz1]T=M(PM0+PM)·MRZ(θC)·MRX(θA)·M(-PM0)·[0 0 0 1]T，其中M(PM0+PM)和M(-PM0)為平移變換矩陣，MRZ(θC)和MRX(θA)為旋轉變換矩陣。

圖4 工雙擺頭機床坐標系統(tǒng)圖

綜上可得[7]：

(7)

3 笛卡爾空間粗插補

記某段程序首位置刀位點坐標和刀軸矢量為rs[ps(psx,psy,psz),us(usx,usy,usz)]，末位置為re[pe(pex,pey,pez),ue(uex,uey,uez)]，與其對應的機床定坐標系中的坐標和A、C角為Ms(Xs,Ys,Zs,As,Cs)、Me(Xe,Ye,Ze,Ae,Ce)。程序段首位置和末位置距離為Les=|pe-ps|，設當前是第n個插補周期，當前刀位點為rn[pn(pnx,pny,pnz),un(unx,uny,unz)]，與首位置的距離為Lns=|pn-ps|，設第(n+1)個插補周期內(nèi)的進給速度為Fn+1，則刀位點沿進給方向移動ΔLn+1=Fn+1·T，此時(n+1)插補周期后的刀位點為rn+1[pn+1(p(n+1)x,p(n+1)y,p(n+1)z),un+1(u(n+1)x,u(n+1)y,u(n+1)z)]，與首位置之間的距離為[8]：

(8)

則：

rn+1=rs+(re-rs)·Ln+1/Les

(9)

即：

(10)

聯(lián)立式(7)和(10)可求得各個插補點θA,θC,sx,sy,sz的值。

4 關節(jié)空間精插補

已知伸縮桿起點和終點(即伸縮桿的長度)、伸縮桿伸出速度和兩點間的時間(插補周期)T,則符合這3個限制條件的三次運動軌跡是唯一確定的，在一個插補段內(nèi)任意時刻的加速度a(t)、速度v(t)和伸縮桿長度l(t)可表示為[10]：

j(t)=j00≤t≤T

(11)

a(t)=j0t+a00≤t≤T

(12)

(13)

(14)

給定伸縮桿各插補周期內(nèi)的起始桿長l0和終止桿長l1以及起始速度v0和終末速度v1，可得：

(15)

(16)

將j0和a0代入式(14)，可得l(t)的矩陣表達式為：

(17)

由式(17)可以看出，通過這種插補方法得到插補軌跡段的離散點，且在插補周期內(nèi)伸縮桿伸出速度和加速度也連續(xù)。

5 仿真實例

5.1 仿真計算結果

為進一步驗證上述插補方法的有效性，在MATLAB軟件中仿真了一段直線加工軌跡。設軌跡段的起點刀尖點坐標及刀軸矢量為(-191.395 8,2.638 4,7.225 2),(0.028 586,0.104 879,0.994 070)，終點刀尖點坐標及刀軸矢量為(-191.397 8,4.816 3,7.208 0),(0.028 817,0.071 236,0.995 840)；仿真插補周期為3 ms，進給速度為4 000 mm/min，L=20 mm。插補算法計算結果如圖5～圖10所示。

5.2 仿真結果分析

圖5～圖7中的粗插補點序為經(jīng)操作空間粗插補后再通過位置反解得到的關節(jié)空間中的桿長分布點序，圖中的精插補曲線是在關節(jié)空間中采用PVT插補得到的各伸縮桿的桿長變化曲線，從圖中可看出，精插補曲線通過所有的粗插補點序，說明采用此種插補方法獲得的軌跡精度較高、位置誤差較小。圖8、圖9分別為伸縮桿5在一個插補周期內(nèi)的桿長變化曲線和速度變化曲線，從圖中可看出,桿長變化曲線光滑，在插補周期內(nèi)伸縮桿速度和加速度曲線光滑連續(xù)。圖10為在操作空間內(nèi)刀尖點所走的軌跡與原直線加工軌跡之間的誤差變化圖，從圖中可看出，最大加工誤差為0.765 μm，滿足加工精度要求。

圖5 伸縮桿1的桿長插補曲線

圖6 伸縮桿3的桿長插補曲線

圖7 伸縮桿5的桿長插補曲線

圖8 伸縮桿5一個插補周期內(nèi)桿長插補曲線

圖9 伸縮桿5一個插補周期內(nèi)速度插補曲線

圖10 操作空間內(nèi)誤差變化曲線

6 結束語

原有的并聯(lián)機床(3-2SPS)是三平動非對稱機床，在其上添加一個C-A型雙擺頭構成混聯(lián)機床，可實現(xiàn)五軸聯(lián)動。并聯(lián)機床必須通過逆解運算將動平臺在操作空間中的運動轉換為關節(jié)空間中的伺服運動才能使動平臺走出期望軌跡，而在操作空間中的普通插補，由于C-A型雙擺頭旋轉軸運動的影響，刀具實際的運動軌跡不是期望的直線，原來的插補算法不適用。本文將提出的操作空間粗插補與關節(jié)空間精插補相結合的插補算法用于該五軸聯(lián)動機床刀具軌跡的修正，能較好地控制刀具的運動軌跡， MATLAB仿真結果也驗證了該算法能有效減小混聯(lián)機床的加工誤差。