雙加權Schatten-p范數最小化彩色圖像去噪

姜 偉， 楊天旭， 張長勝

(1.遼寧師范大學 數學學院,遼寧 大連 116029; 2.溫州大學 計算機與人工智能學院,浙江 溫州 325035)

隨著現代數字技術的高速發展，數字圖像獲取更加容易并得到了廣泛的應用，但由于光照、傳播等各類因素的影響，圖像通常會含有噪聲.例如，在人臉識別系統中，往往假設是在理想的光照情況下，然而，在諸如門禁安全系統、嫌疑人識別和安全監控系統等實際應用中，理想假設條件是不滿足的.Moses等[1]在實驗中表明，不同光照條件下拍攝的同一個人的人臉圖像，在灰度上表現出來的差異遠比在相同光照條件下拍攝的不同人的人臉圖像在灰度上表現出來的差異要來得大，這就造成了實際情況與數學模型之間的偏差.數字圖像的本質是信號，因此，在信息獲取過程中信號的噪聲也會同樣發生在圖像獲取中，這種噪聲可能來自采樣信道的高斯噪聲[2-6].對大規模的帶有噪聲的數字圖像進行有效的處理，并充分挖掘數字圖像的本質，已經成為學術界致力探索的一個新方向.

數字圖像主要包括灰度圖像與彩色圖像兩大類，灰度圖像去噪算法主要有加權核范數方法(Weight nuclear norm minimization，WNNM)[7]、加權Schatten-p范數方法(Weight Schatten-pnorm minimization，WSNM)[8]等.對于彩色圖像去噪算法，彩色三維塊匹配算法(Color block-matching and 3D filtering，CBM3D)[9]是一種代表性的算法，它首先將RGB圖像轉換到一個低維空間，然后在每個通道分別用基準三維塊匹配算法 (Block-matching and 3D filtering，BM3D)[2]進行去噪.Liu等[10]提出了“噪聲級函數”，用來評估并去除每個通道內的噪聲.然而，單獨處理每個通道要比將彩色通道聯合起來進行處理效果差很多，原因是忽略了各個通道的自相似性.文獻[11]提出了基于卷積神經網絡(Convolutional neural network，CNN)的快速去噪算法，將輸入的圖像重塑為4個子圖像，并與噪聲等級一起輸入CNN，但沒有考慮到各個噪聲通道的噪聲等級不同，導致效果不盡如人意.隨后，Xu等[12]考慮了圖像的自相似性以及不同通道內的噪聲統計量提出了多通道加權核范數最小化(Multi-channel weight nuclear norm minimization，MC-WNNM)算法，該算法利用圖像非局部自相似塊的低秩先驗，并引入了加權矩陣，根據不同的噪聲等級對各個通道進行均衡.然而，在某些情況下，核范數并不是低秩的最優凸逼近.文獻[13]提出了三邊加權稀疏編碼方法，但在求解時會需要高的計算代價.

為了解決彩色數字圖像算法存在的問題，提出了一個新的真彩色圖像去噪模型，即基于雙加權Schatten-p范數RGB彩色圖像去噪模型.由于Schatten-p范數[14]相比較于核范數在處理低秩問題來說更具靈活，當p=1時，Schatten-p范數即退化為核范數.

1 模型建立與求解

1.1 灰度圖像的加權Schatten-p范數模型

灰度圖像的加權Schatten-p范數模型被表示為

(1)

(2)

目標函數(1)有封閉解[14]：

(3)

其中，Y=UΣVT是Y的奇異值分解，且Sw(·)是帶有權重w的軟閾值算子.

加權Schatten-p范數在灰度圖像上展現出了極強的去噪性能，然而，如果直接將加權Schatten-p范數應用于彩色圖像上，即分別在R，G，B 3個信號通道上分別去噪，就會忽略每個通道中噪聲等級不等情況，導致最后的結果不理想.所以提出一個雙加權Schatten-p范數最小化去噪模型用于彩色圖像去噪.

1.2 彩色圖像的加權Schatten-p范數模型

標準R，G，B空間的噪聲可以被近似地模擬為加性高斯白噪聲，但是在一般情況下，不同的通道內的噪聲的方差是不同的.考慮在不同通道內有不同的噪聲強度，引入一個加權矩陣去平衡R，G，B通道里的噪聲.由此提出如下雙加權Schatten-p范數最小化去噪模型：

(4)

其中，Ω是權矩陣.

1.3 設置權重矩陣

(5)

對數似然項ln P(Y|X)是噪聲統計量，假設R，G，B通道內的噪聲是獨立且同分布[15]，滿足高斯分布和標準差{σr,σg,σb}，有

(6)

對于加權Schatten-p范數，采用概率分布表達為

(7)

由式(5)～式(7)得到：

(8)

其中，

(9)

其中，I是單位矩陣.權重矩陣Ω是對角矩陣，由每個通道內的噪聲標準差定義，每個通道內的噪聲強度越強，在估計X時給予一個小的權重，使得在噪聲強度越小的通道可以給出X的較大的貢獻.如果各個通道內噪聲強度相同的話，只需要簡單地對各個通道分別去噪再聚合即可，此時權重矩陣退化為單位矩陣.

1.4 模型求解

在加權Schatten-p范數模型中，當權重分配給奇異值時是非升序的，加權Schatten-p近端算子有一個最優且是閉式解.由于權重矩陣Ω被分配給了X的行，這使得目標函數是不可分，使所提出的去噪模型比加權Schatten-p范數模型難解.

用變量分裂方法[16]去解決上述問題，通過輔助變量Z，可以轉化為含可分的2個變量的等式約束最優化問題，即

(10)

目標函數(10)在交替乘子方向法(Alternating direction method of multipliers，ADMM)框架下進行求解，其增廣拉格朗日函數為

.

(11)

其中，A是增廣拉格朗日乘子并且ρ>0，目標函數(11)是一個具有3個未知變量的優化問題，采用固定其中2個，求解另一個的方法進行求解，具體如下：

(1)固定Z和A，更新X

(12)

這是一個最小二乘問題，有一個封閉解，

(13)

(2)固定X和A，更新Z

.

(14)

.

(15)

(3)固定X和Z，更新A

Ak+1=Ak+ρk(Xk+1-Zk+1)

.

(16)

(4)更新ρk

ρk+1=μ×ρk.

(17)

交替更新步驟直到滿足收斂條件或者達到預設迭代次數停止.收斂條件為：‖Xk+1-Zk+1‖F≤Tol，‖Xk+1-Xk‖F≤Tol并且‖Zk+1-Zk‖F≤Tol，Tol是一個非常小的值.具體描述如算法1.

算法1:MCWSNM基于ADMM法迭代更新過程 輸入:矩陣Y和W,μ>1,Tol>0,K1;初始化:X0=Z0=A0=0,ρ0>0,T=False,k=0;While(T=False),do a)迭代更新Xk+1:Xk+1=ΩTΩ+ρk2I-1 ΩTΩY+ρk2Zk-12Ak ; b)通過求解如下問題迭代更新Zk+1: argminZρk2‖Z-Xk+1+ρ-1kAk ‖2F+‖Z‖pw,Sp; c)迭代更新Ak+1: Ak+1=Ak+ρkXk+1-Zk+1 ; d)迭代更新ρk+1: ρk+1=μ×ρk; e)k=k+1; if(收斂條件滿足或者k≥K1) f)T=True; end ifend while輸出:矩陣X和Z.

算法2:基于MCWSNM的彩色圖像去噪算法輸入:噪聲圖像yc,噪聲級σr,σg,σb ,K2;初始化:x(0)c=yc,y(0)c=yc;for k=1:K2 do a)設置yk c=xc; b)提取局部塊yjj=1,…,N ; for eachyj do c)搜索非局部相似塊Yj; d)對Yj調用算法1得到Xj; end for e)聚合Xj為xc;end for輸出:去噪圖像xK2 c.

2 實驗結果與分析

2.1 實驗參數設置

為了評價所提出的算法在處理不同的圖片去噪性能，選取了圖1中的4幅大小為512×512×3彩色圖片用來做對比實驗.在3種不同的通道上添加不同級{σr,σg,σb}={40，20，30}與{σr,σg,σb}={65，55，50}的高斯噪聲，對每張圖片的各個通道加入了不同的噪聲.實驗對比的算法包括：本文算法，MC-WNNM[11]，CBM3D[9].

圖1 圖像去噪的4個測試圖像Fig.1 The 4 test images for image denoising

2.2 實驗結果及分析

為了評估本文提出的算法的定量特性，通過比較峰值信噪比[17](PSNR)，以及結構相似度[17](SSIM)兩種被廣泛應用于評估去噪性能來評估算法的定量特性.圖2表示在{σr,σg,σb}={40，20，30}噪聲級下的實驗結果對比，圖3表示{σr,σg,σb}={65，55，50}噪聲級下的實驗結果對比.表1顯示了在{σr,σg,σb}={40，20，30}噪聲級下平均定量指標對比結果，表2顯示了在{σr,σg,σb}={65，55，50}噪聲級下平均定量指標對比結果.

圖2 不同方法在4個圖像上去噪聲結果Fig.2 Denoising results on the 4 images by different methods

由圖2中可以看出，在低等級噪聲下各類去噪算法的主觀去噪效果差別不大，但是在表1中可以明顯看到，在峰值信噪比方面，本文算法相較于其他兩種算法均有明顯提高，每張圖片的峰值信噪比都達到30 dB.相對于其他兩種算法，平均提升最高可達到2 dB，SSIM也明顯高于其他兩種算法.

圖3 不同方法在4個圖像上去噪聲結果Fig.3 Denoising results on the 4 images by different methods

在圖3中，由于噪聲級的增加，實驗對比的效果更加明顯.在主觀視覺效果，MC-WNNM有很多未被完全去除的噪聲斑點，在CBM3D中，去噪圖像稍顯模糊.本文所提出的雙加權Schatten-p范數最小化在未被去除的噪聲斑點的數量與圖像的清晰度，都有更好的效果.

表1 不同方法去噪結果(PSNR，SSIM)實驗結果對比

表2顯示在{σr,σg,σb}={65，55，50}等級噪聲下PSNR和SSIM值，本文所提出的算法PSNR明顯高于另外兩種對比算法.平均峰值信噪比達到27 dB，相較于另兩種算法最高增益可達10 dB.在SSIM方面，本文所提出的算法總體上也高于MC-WNNM、CBM3D算法，并且最低提升0.01，在每張圖片的不同算法平均增益可達0.1.

表2 不同方法去噪結果(PSNR，SSIM)實驗結果對比

從上述實驗結果可以看到，相比于目前對于彩色圖像去噪效果較好的MC-WNNM、CBM3D算法，本文所提出的算法在圖像恢復問題上，可以達到更高的PSNR和SSIM值和更好的視覺效果.

3 結束語

針對彩色圖像去噪，提出了以Schatten-p范數作為低秩懲罰項的多通道雙加權Schatten-p范數最小化算法，考慮聯合處理不同通道噪聲以及不同通道的噪聲統計量，保證了去噪效果的優越性.在后續工作中，將對提升算法時間效率、引入新形式的對角加權矩陣以及擴展到高光譜圖像分析領域進行研究.