巧婦能為無(wú)米之炊

摘要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，本文研究一類(lèi)不太常見(jiàn)的問(wèn)題，即三角函數(shù)方程或方程組，并且未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于所給方程的個(gè)數(shù)，如何挖掘題目中的隱藏條件是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵，文中同時(shí)對(duì)某些問(wèn)題進(jìn)行了推廣。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);方程;不等式

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)方程一個(gè)未知數(shù)，兩個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)才能夠解出唯一解。但是我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中往往會(huì)發(fā)現(xiàn)一些反常的情況，比如一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)能夠解出唯一解，又如兩個(gè)方程五個(gè)未知數(shù)能夠解出一個(gè)定比例關(guān)系。對(duì)于這種未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的情況，下面我們就以三角方程為例進(jìn)行分析。

一、一元二次三角方程

例1

解：將原式整理為

將其視為關(guān)于的一元二次方程，方程有解，則，故

評(píng)注：對(duì)于一元二次三角方程，一般情況下解是不確定的，只有特殊情況下才有定解。特殊情況主要有非負(fù)數(shù)之和為0，基本不等式取等號(hào)，一元二次方程判別式為O等。

二、二元一次三角方程組

例2 已知

解：兩式平方相加得推出

評(píng)注：這是人教版教材必修四P147的一道習(xí)題，它本質(zhì)上是四個(gè)方程四個(gè)未知數(shù)（考慮到，但用解方程的方法解出這四個(gè)未知數(shù)再計(jì)算cOs（α-β）將會(huì)非常煩瑣。

希爾伯特說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)問(wèn)題的寶藏是無(wú)窮無(wú)盡的，一個(gè)問(wèn)題一旦解決，無(wú)數(shù)新的問(wèn)題就會(huì)取而代之?！比绻覀兯伎几话愕膯?wèn)題呢？

問(wèn)題1：設(shè)當(dāng)m，n∈R滿(mǎn)足什么條件時(shí)有解？

解：兩式平方相加得①

所以

解得②

兩式分別和差化積得

由萬(wàn)能公式得

所以易知此不等式恒成立，所以原方程組有解的充要條件是0≤m2=n2≤4。

問(wèn)題2：α，β的具體值能求出嗎？（有些同學(xué)對(duì)例1的方法始終難以接受，因?yàn)槲覀兪冀K未把α，β求出來(lái)，下面我們就利用反三角函數(shù)把α，β表示出來(lái)）

解：由問(wèn)題1中的①③兩式知

評(píng)注：兩式相加減即可解出α，β。當(dāng)然，一般情況下α，β有無(wú)窮多組解。即使取k1=k2=0，考慮到方程組兩式各有正負(fù)性?xún)煞N選擇，此時(shí)α，β也有四組解。

三、多元一次三角方程組

例3 已知1，且求證：

解法一：兩式相減得和差化積得即所以則a=

代入原式得所以

解法二：已知兩點(diǎn)A（cosθ，sinθ），B（cosψ，sinψ）都在直線ax+by=c上，但點(diǎn)A，B又決定一條直線（cosθ-cosψ）（y-sinψ）-（sinθsinψ）（x-cosψ）.化簡(jiǎn)得xCOS又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定唯一一條直線，所以?xún)芍本€重合，故有對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例，即

評(píng)析：本題只有兩個(gè)方程，而卻有a，b，c，θ，ψ五個(gè)未知數(shù)，解題時(shí)很容易陷入不知所措的境況。解法一觀察到兩式相減可以消去變量c，通過(guò)解出a，b的比例關(guān)系，代入原式尋找c的比例關(guān)系，逐層推進(jìn)，是一個(gè)可行的方法。而解法二則更勝一籌，通過(guò)觀察方程的幾何意義，推導(dǎo)出本題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，免去了煩瑣的計(jì)算。

例4 已知O<α<β<γ<2π，且sinα+sinβ+sinγ=O，cosα+cosβ+cosγ=0。求β-α的值。

解法一：代數(shù)法。由條件得sinα+sinβ=-sinγ，cosα+cosβ=-cosγ，兩式平方相加得2+2cos（β-α）=1，則cos（β-α）=-1/2。因?yàn)镺<α<β<γ<2π，所以同理可征則矛盾。故

解法二：向量法。后同解法一。

總結(jié)：解法二實(shí)際上證明了一個(gè)在單位圓上的三個(gè)點(diǎn)組成的△ABC滿(mǎn)足重心和外心重合于坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABC、為正三角形，從而

綜合例3、例4我們可以看出，多元的三角方程問(wèn)題如果就題論題，常常會(huì)一葉障目，不見(jiàn)泰山，導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程相當(dāng)煩瑣，很可能走彎路。如果從更高的觀點(diǎn)來(lái)看，找出題目的幾何意義或物理背景，往往能夠思路更清晰，計(jì)算更簡(jiǎn)潔，取得事半功倍之效。

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒，數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版總社.2016：10-1-105.

作者單位：華南師范大學(xué)附屬中學(xué)