對大二應(yīng)用物理專業(yè)“量子物理”課程的淺見

周康

[摘 要]應(yīng)用物理專業(yè)的本科生，例如光學(xué)、材料、微電子等專業(yè)的學(xué)生，需要在大二學(xué)習(xí)量子力學(xué)。然而，大二的學(xué)生并不具備傳統(tǒng)的本科量子力學(xué)課程所要求的數(shù)學(xué)與物理基礎(chǔ)。該文作者對如何解決這個困難給出了一些探討和建議，試圖尋求一種適合于大二應(yīng)用物理專業(yè)學(xué)生的量子物理課程。

[關(guān)鍵詞]量子力學(xué);大二;應(yīng)用物理

[中圖分類號] G642.0[文獻標(biāo)識碼] A[文章編號] 1674-9324（2020）48-0-03[收稿日期] 2020-08-27

一、引言

誕生于一百年前的量子力學(xué)對現(xiàn)代科學(xué)的許多分支都有著深遠的影響，而且它的影響力直至今日都還處于持續(xù)擴大中。可以公正地說，缺少了量子力學(xué)，將無法深入探討現(xiàn)代物理學(xué)的絕大多數(shù)分支。對于主修應(yīng)用物理方向—例如光學(xué)、材料、微電子—的本科學(xué)生，如果在大學(xué)期間未能打下足夠的量子力學(xué)基礎(chǔ)，未來的發(fā)展將受到極大的限制。因此，給這些專業(yè)的學(xué)生開設(shè)量子力學(xué)課程是非常必要的。然而，由于大三、大四期間有很多更加專門的課程需要學(xué)習(xí)，對于這些專業(yè)的學(xué)生，量子力學(xué)課程如果開設(shè)，常常會被安排到大二。這就帶來了一個問題：傳統(tǒng)本科生量子力學(xué)課程需要以理論力學(xué)與數(shù)學(xué)物理方法的相關(guān)知識為基礎(chǔ)，而大二的學(xué)生尚未學(xué)習(xí)這些課程。舉例來說，氫原子薛定諤方程的求解，對大二學(xué)生而言就是一道難以逾越的鴻溝。此外，對這些專業(yè)的學(xué)生而言，除了講清楚量子力學(xué)的基本物理概念和思想，還需要兼顧到量子力學(xué)在他們專業(yè)領(lǐng)域的特殊應(yīng)用。

筆者從2017年開始，在揚州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院給光學(xué)科學(xué)專業(yè)的大二本科生講授量子物理課程。通過總結(jié)三年來的經(jīng)驗、平時對這門課程的思考以及與同行的討論，作者試圖在本文中對大二本科生量子物理課程的內(nèi)容選取、講授方式、考核方式及學(xué)習(xí)方法給出一些探討和建議。

二、對量子物理課程教學(xué)的思考及建議

（一）課程內(nèi)容的選擇

考慮到大二學(xué)生沒有關(guān)于特殊函數(shù)和求解偏微分方程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，傳統(tǒng)量子力學(xué)課程中諧振子與氫原子薛定諤方程的解法都可以予以刪除。由于大二學(xué)生缺少格林函數(shù)的知識，而格林函數(shù)在處理散射問題時不可避免，因而散射問題也應(yīng)當(dāng)從課程中刪去。此外，由于應(yīng)用物理方向的學(xué)生，在未來幾乎不可能用到數(shù)學(xué)上較為復(fù)雜的微擾論，這部分內(nèi)容也可以跳過。盡管微擾論用到的數(shù)學(xué)工具并未超出他們的知識儲備，但是，大二學(xué)生的思維大多停留在普通物理的層面，多數(shù)學(xué)生并不適應(yīng)冗長的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。最后，由于缺少理論力學(xué)基礎(chǔ)，正則量子化中從泊松括號到對易括號的過渡，也可以舍去。我們可以直接將哈密頓算符作為能量算符來介紹，并闡釋哈密頓算符與演化算符的聯(lián)系，而避開哈密頓算符與經(jīng)典力學(xué)中哈密頓量的關(guān)系。

在刪除了以上內(nèi)容后，空出的課時允許我們添加傳統(tǒng)講授方式里所沒有的內(nèi)容，尤其是一些物理味比較濃重的有趣例子。最后的課程編排如下：

（1）舊量子論。包括普朗克黑體輻射理論，愛因斯坦對光電效應(yīng)的解釋，波爾氫原子模型。

（2）量子態(tài)與波函數(shù)。這一部分主要講授量子力學(xué)如何描述某一時刻的物理系統(tǒng)，以及與實驗測量的關(guān)系。主要內(nèi)容包括波函數(shù)、量子態(tài)的概念、態(tài)疊加原理、狄拉克符號、本征態(tài)的概念、幾率幅的概念、不確定原理。這部分內(nèi)容在整個量子力學(xué)中起到綱領(lǐng)的地位，其重要性不言而喻。對這部分內(nèi)容的講述，作者建議參考國外優(yōu)秀教材及參考文獻[1][2]。文獻[1]的作者狄拉克，是量子力學(xué)發(fā)展史中最偉大的科學(xué)家之一，狄拉克親自編寫的教材，也為后世所稱道。文獻[2]是由著名粒子物理學(xué)家櫻井純所著，受到諾貝爾物理學(xué)獎得主史溫格的高度評價。

（3）薛定諤方程及一維定態(tài)問題。宏觀地看，任何物理理論都包含兩個部分：一是如何描述某一時刻的物理體系;二是如何預(yù)言這個物理體系隨時間的演化。量子態(tài)與波函數(shù)，以及相關(guān)的種種概念，回答的都是量子力學(xué)如何描述某一時刻的物理體系。下一個問題是，量子態(tài)隨時間的演化。于是，首先要講授的是連續(xù)表象下的薛定諤方程。求解薛定諤方程僅限于一維勢阱和一維勢壘。如前所述，一維諧振子薛定諤方程的求解將不做講授。

（4）抽象形式與矩陣。這一部分以狄拉克符號為基礎(chǔ)，系統(tǒng)地給出量子力學(xué)的抽象形式，以及力學(xué)量算符的矩陣表示。離散表象下物理系統(tǒng)隨時間的演化也將在這一部分講授。對此，《費曼物理學(xué)講義》第三卷中提供了很好的例子，即雙態(tài)系統(tǒng)。費曼找到了許多雙態(tài)系統(tǒng)的有趣例子，如氨分子的翻轉(zhuǎn)，苯分子的能量，染料分子對光的吸收，等等。雙態(tài)系統(tǒng)的希爾伯特空間只有二維，此時薛定諤方程的求解甚至比一維勢阱更加簡單，然而卻可以向?qū)W生展現(xiàn)明晰的物理圖像。

（5）算符本征值的代數(shù)解法。主要包括構(gòu)造產(chǎn)生、湮滅算符來求解諧振子能量本征值與本征態(tài)，以及構(gòu)造升降算符來求解角動量算符的本征值與本征態(tài)。同時，為了解釋角動量算符是轉(zhuǎn)動生成元，這部分內(nèi)容將包含另一主題：僅憑分析空間轉(zhuǎn)動的一般特征，來寫下繞x、y、z軸轉(zhuǎn)動的矩陣形式。這一推導(dǎo)方法對培養(yǎng)學(xué)生的物理直覺是非常有益的。

（6）對稱性與守恒律。這一部分主要講授物理體系的對稱性與守恒量的關(guān)系，主要包括：空間平移對稱性導(dǎo)致動量守恒，轉(zhuǎn)動對稱性導(dǎo)致角動量守恒，時間平移對稱性導(dǎo)致能量守恒，鏡像反射對稱性導(dǎo)致宇稱守恒。

（7）全同粒子。這一部分講授玻色統(tǒng)計與費米統(tǒng)計。考慮到光學(xué)科學(xué)專業(yè)的學(xué)生有一部分會在未來接觸到激光原理，因而玻色統(tǒng)計會著重講授，除了傳統(tǒng)內(nèi)容外還包括玻色統(tǒng)計與諧振子產(chǎn)生、湮滅算符的關(guān)系，自發(fā)吸收、自發(fā)輻射、受激輻射間的平衡，如何從玻色統(tǒng)計推導(dǎo)普朗克黑體輻射公式。

最后一章的內(nèi)容是為光學(xué)專業(yè)的學(xué)生量身定制的。對于材料或微電子專業(yè)的學(xué)生，則可適當(dāng)選擇另一些更為切合他們專業(yè)的內(nèi)容，例如能帶結(jié)構(gòu)、半導(dǎo)體簡介、約瑟夫森結(jié)，超導(dǎo)的唯象理論、朗道能級。

（二）教學(xué)方法

與大多數(shù)理論物理課程類似，量子物理的教學(xué)方式適宜在課堂上將板書與PPT相結(jié)合，并布置作業(yè)和思考題幫助學(xué)生課后鞏固。這里主要談一下，對于初學(xué)者，如何使他們覺得有悖常識的量子物理并非那么枯燥或可怕。

首先，可以盡可能多地使用理想實驗。這些實驗雖然在歷史上并未做過，然而，當(dāng)我們有了量子力學(xué)之后，可以回過頭告訴學(xué)生，如果有人去做這些實驗，會得到什么結(jié)果。這些理想實驗可以幫助學(xué)生跳過抽象的數(shù)學(xué)形式，直接感受到量子力學(xué)在物理上到底告訴我們什么，從而傳遞給他們較為清晰的物理圖像與物理思想。這里簡單舉幾個例子。

第一個例子，從光學(xué)中的楊氏雙縫干涉實驗出發(fā)，可以引出波函數(shù)的概念以及波函數(shù)的絕大部分特征。比如，讓“光源”發(fā)出光子、電子、經(jīng)典子彈這三種粒子，可以知道微觀粒子有干涉效應(yīng)而經(jīng)典粒子沒有。比如，讓光源足夠弱，每過幾秒發(fā)出一個光子，發(fā)現(xiàn)干涉圖樣仍然存在，則可以推論出并非通過a縫的粒子與通過b縫的粒子相互干涉，而是，某種意義上粒子自己與自己干涉。比如，通過關(guān)閉雙縫中的一條，或者用別的辦法來探測粒子到底通過哪條縫，會發(fā)現(xiàn)，一旦知道了粒子所走的路徑，干涉就會消失。通過設(shè)想加上更多的縫和更多的擋板，還可以進一步引出費曼路徑積分的思想。

第二個例子，借助史特恩—格拉赫實驗，就可以講清楚量子態(tài)與測量的關(guān)系，包括本征態(tài)、幾率幅。比方說，將兩個史特恩—格拉赫實驗裝置串聯(lián)，并使兩個裝置的磁場都指向z方向。假如當(dāng)粒子穿過第一個裝置后，將z方向自旋向下的一束擋住。當(dāng)粒子穿過第二個裝置后，不會進一步分裂，而且自旋向上。如果仍然將兩個史特恩—格拉赫實驗裝置串聯(lián)，但第二個裝置的磁場沿著x方向。當(dāng)粒子穿過第一個裝置后，如果仍然將z方向自旋向下的一束擋住，當(dāng)粒子通過第二個裝置后，會分裂成兩束，沿x方向自旋向上與向下的概率各一半。最后，將三個史特恩—格拉赫實驗裝置串聯(lián)，第一個裝置磁場沿z方向，第二個裝置磁場沿x方向，第三個裝置磁場沿z方向。當(dāng)粒子穿過第一個裝置后，將z方向自旋向下的一束擋住。當(dāng)粒子穿過第二個裝置后，將x方向自旋向下的一束擋住。那么，當(dāng)粒子穿過第三個裝置后，將分裂為兩束，沿z方向自旋向上與向下的概率各一半。通過這些事實，可以歸納出幾率幅、本征態(tài)以及測量的一般特性。假如將自旋為1/2的粒子換成自旋為1的粒子，設(shè)想串聯(lián)一個個史特恩—格拉赫實驗的系統(tǒng)，以及遮擋掉儀器內(nèi)的某些路徑，則可以討論更多內(nèi)容，可參見參考文獻[3]中的相應(yīng)部分。

第三個例子，通過介紹兩個粒子發(fā)生碰撞，最后在兩個特定方向被探測到的概率，就可以解釋全同粒子與非全同粒子的區(qū)別，玻色子與費米子的區(qū)別。我們可以考慮a粒子被散射到A方向，b粒子被散射到B方向，以及a粒子被散射到B方向，b粒子被散射到A方向這兩種過程。如果兩個粒子是可區(qū)分的，比如一個是氦原子核一個是氧原子，或者是兩個自旋相反的電子，則這兩個過程不會相互干涉。當(dāng)兩個粒子是全同粒子，干涉效應(yīng)就會出現(xiàn)。對于全同玻色子，在干涉中兩個過程的振幅相加;對于全同費米子，在干涉中兩個過程的振幅相減。

這些例子，都有充實的物理內(nèi)容和物理圖像，而不是抽象的概念與公式，因此更加容易被初學(xué)者所接受。選擇理想實驗為切入點的另一個好處是，理想實驗方便制作動畫。相比于枯燥的公式，動畫能令學(xué)生更加印象深刻。

另一方面，我們可以以定性或半定量的方式，在適當(dāng)?shù)臅r候給學(xué)生展示更前沿或更廣泛的知識，來激發(fā)學(xué)生的興趣。這里舉兩個例子。第一個例子，在講授產(chǎn)生、湮滅算符時，可以告訴學(xué)生，這種代數(shù)方法不僅可以構(gòu)造諧振子的能量本征態(tài)，在不同的物理背景下還有不同的解釋和應(yīng)用，例如在量子場論里可以刻畫粒子數(shù)的增加和減少，在超對稱理論中可以刻畫玻色態(tài)和費米態(tài)間的映射，在超弦理論里可以刻畫弦的不同激發(fā)態(tài)。這有助于學(xué)生弄清楚哪部分內(nèi)容是物理的，哪部分是數(shù)學(xué)的，并獲得一個印象：同樣的數(shù)學(xué)模型在不同的物理背景下可以有完全不同的解釋和應(yīng)用。第二個例子，在講授鏡像對稱性與宇稱守恒時，可以展開討論在經(jīng)典物理中左和右是無法區(qū)分的，并介紹楊振寧、李政道二位先生發(fā)現(xiàn)宇稱不守恒定律，并由吳健雄通過實驗加以驗證的故事。

（三）考核方式

考核方式與其他課程一樣，適宜采用期末卷面成績與平時成績結(jié)合的方式。平時成績原則上包括課堂表現(xiàn)和作業(yè)情況。然而，我建議，對于卷面分能到達85分以上的學(xué)生，平時成績可以無條件給予滿分。我深信自學(xué)能力是應(yīng)該受到足夠重視的。諾貝爾物理學(xué)獎得主史溫格，大學(xué)期間幾乎沒去上過課，完全靠自學(xué)完成了深厚的知識積累。如果學(xué)生能通過自學(xué)達到卷面分85分以上，這樣的學(xué)生正是我們需要發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)的人才，應(yīng)當(dāng)予以鼓勵。

當(dāng)然，這就涉及卷面分85分的含金量，亦即期末考如何命題的問題。我的建議是，試題應(yīng)有明顯的梯度。假如一個學(xué)生只學(xué)到波爾提出了氫原子模型，雖然未達到這門課程的要求，但是與沒學(xué)到任何東西還是有區(qū)別的。因此，試題中最簡單的題，應(yīng)該能使這樣的學(xué)生也可以得分。所以，我為這部分學(xué)生設(shè)計了一種最簡單的題型—連線題，將各個物理學(xué)家的人名與他們的貢獻連線。而最難的題，應(yīng)該是不僅要深刻理解物理概念和思想，而且能靈活運用，并掌握一定的數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力。換句話說，最難的題應(yīng)該使最優(yōu)秀的學(xué)生也感到不那么容易。這種題，我建議可以對某個真實的實驗過程加以簡化，要求學(xué)生對之進行分析和計算，使用量子力學(xué)知識來定量地預(yù)言實驗結(jié)果。

剩余的題目，除了保證難度的梯度外，還應(yīng)尋求兩類學(xué)生間的平衡。一類是，很好地理解了物理概念，但數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力不足;另一類是，對物理概念的理解不夠清晰，但計算能力很強。我認為這兩類學(xué)生的綜合水平難分伯仲，因此，命題時不能厚此薄彼。有鑒于此，我建議在傳統(tǒng)的計算題之外，設(shè)計一些專門考察概念理解的選擇題，例如在各個選項中區(qū)分經(jīng)典概率與量子概率，區(qū)分可觀測量與不可觀測量，區(qū)分不同算符能否有共同本征態(tài)。此外，還可以加入不需要通過計算，僅憑對概念的理解即可定性地預(yù)言實驗結(jié)果的實驗分析題，例如史特恩—格拉赫實驗、雙縫干涉實驗，兩個全同粒子碰撞試驗，等等，以此來考察對概念的理解。

三、結(jié)語

在本文中，作者從課程內(nèi)容的選取、教學(xué)方法的把握、考核的方式這三個方面，對如何給應(yīng)用物理專業(yè)的大二本科生開設(shè)量子物理這門課程，給出了幾點淺見。這些意見來自幾年來教學(xué)經(jīng)驗的總結(jié)、作者平時的思考以及與同行的探討。基于大二學(xué)生不具備全面接受傳統(tǒng)量子力學(xué)教學(xué)的數(shù)學(xué)與物理基礎(chǔ)，這些意見中含有許多對傳統(tǒng)量子力學(xué)教學(xué)方式的改動。改動傳統(tǒng)教學(xué)方式的另一個原因是，對于應(yīng)用物理方向的學(xué)生而言，量子力學(xué)在他們未來的生涯中會有許多特殊的應(yīng)用，需要予以專門的引導(dǎo)。

筆者相信，認真學(xué)習(xí)了本課程并取得合格成績的學(xué)生，對量子力學(xué)的基本原理和方法將會有清晰的理解。隨著后續(xù)對數(shù)學(xué)物理方法與理論力學(xué)的學(xué)習(xí)，他們將很容易通過自學(xué)補上課程中刪減的內(nèi)容。同時我也相信，勤奮認真的學(xué)生，能通過本課程獲得足夠的基礎(chǔ)，在未來進一步學(xué)習(xí)量子力學(xué)，以適應(yīng)各自工作的需要。我也希望，本課程除了在應(yīng)用方面的價值外，還能帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)略量子力學(xué)的深刻而條理清晰的思想，感受自然界的美與和諧，并產(chǎn)生理解自然界的愿望。西方文化中從古希臘以來對純粹理性本身的追求，是當(dāng)下國內(nèi)教育中相對欠缺的，雖然這個問題無法短時間解決，但筆者認為，教師有責(zé)任做這方面的嘗試。

由于經(jīng)驗和水平的限制，筆者所提的建議或許并不成熟，也并不全面。希望在以后的教學(xué)生涯中，能逐步完善對這門課程的把握，更好地為學(xué)生服務(wù)。

參考文獻

[1]P.A.M.Dirac著.量子力學(xué)原理 注釋版[M].北京：科學(xué)出版社， 2008.

[2]J·J·Sakurai著.現(xiàn)代量子力學(xué) 修訂版[M].北京：世界圖書出版公司，2006.

[3] [美]費曼（Feynman，R.P.）等著.費曼物理學(xué)講義 第3卷[M].《費曼物理學(xué)講義》翻譯組，譯.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1989.