概念教學中“數形結合”之功效

江蘇省太倉市經貿小學 葉 慧

《數學課程標準（2011 版）》中指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題，借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果?？梢?，幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。下面結合兩個教學片段說說數形結合在概念教學中的重要作用。

【片段一】

在三年級“認識小數”一課中，教師給每個學生提供了一張正方形紙，課上請每個學生動手折一折、畫一畫，用這張正方形紙來表示1 元，在正方形紙中折一折、分一分，然后涂色表示1 角。課上學生主要呈現了兩種比較常見的分法：①豎著平均分成10 份；②豎著平均分成5 份，再橫著平均分成2 份。有一個學生呈現了第三種不同的分法（如圖1），他認為自己的作品也表示1 角。教師引導學生來比較這三種分法，讓學生充分討論。因為直觀，所以學生討論起來非常熱烈。

通過交流評價，學生馬上發現了圖1 的問題：雖然涂色是表示1 份，但是整張紙沒有平均分成10 份，所以每一份就不是1 角。完成圖1 作品的學生及時改正了自己的想法。在大家交流的過程中，學生對0.1 元的認識更加深刻，認識到1 元的十分之一是1 角，所以1 角是0.1 元。

利用正方形繼續了幾個小數的認識后，教師課件演示慢慢將正方形抽象成直條，用長度單位之間的關系進一步加深對一位小數意義的認識，最后進一步將直條抽象成數軸上對應的點，很好地抽象出一位小數的屬性。

【片段二】

在五年級“分數意義”一課中，任課教師對教材后面的練習題進行了重新設計和開發利用，在新授環節設計了“分數墻”（如圖2）這一情境，幫助學生理解感受單位“1”及分數單位在認識分數中的重要意義。

教師通過課件演示，要找大小相等的分數。在探究的過程中，學生借助直觀自主發現了分數中的很多知識，如：分數單位不同，但是只要表示的涂色部分長度相等，分數大小就相等，例如二分之一和四分之二；分數的分母是幾，分數單位就是幾分之一，單位“1”里面就有幾個這樣的分數單位，例如五分之二，分數單位是五分之一，單位“1”里面有2 個這樣的分數單位……接著，教師用課件動畫演示將“分數墻”中表示單位“1”的直條抽象成數軸上的0 ～1，借助“分數墻”上的涂色部分找到數軸上分數的對應位置，很好地實現了圖形直觀與數抽象之間的過渡。

數形結合，具體地說，就是將抽象數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合起來，通過“數”與“形”之間的對應和轉換來解決數學問題。這兩個片段中，教師都借助了形的直觀，使得課堂靈動了起來，學生對抽象的數學得有趣、生動、有效?？梢姡柚庇^逐步抽象，數形結合在小學階段的概念教學中有著重要的作用。

一、以“數”化“形”，直觀化

“數”和“形”是一種對應，有的數量比較抽象，我們難以把握，特別是小學生思維發展的基本特點是以具體形象思維為主要形式，逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式，但是這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經驗相聯系的，仍然具有很大成分的具體形象性?！靶巍本哂行蜗?、直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此，我們可以把“數”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題。在概念認識過程中，借助直觀能夠更好地幫助學生建立對概念的認識。

片段一是認識小數的第一課時。小數對于學生來說，認識形但不認識本質。教師聯系學生的生活實際，讓學生把一個正方形看成1 元，通過分一分、畫一畫來表示1 角。教師呈現了正確表示后，又展現了學生思考中的錯誤資源，此時，教師并不急著去下結論，而是組織學生看著三種結果展開觀察交流。完成圖1 的學生通過同伴的交流和直觀的比較，最后有條理地表述：“因為1 元=10 角，所以應該把這個正方形平均分成10 份，1 角就是其中的一份。一定要注意平均分成十份?！痹谶@個過程中，學生學會了思考，初步認到了一位小數與十進制的聯系。

這個環節的設計，教師通過直觀演示，將一個比較抽象的概念學習內容具體化，實現了對一位小數的初步感受。

片段二中，教師借助“分數墻”的直觀，讓學生充分感受了分數的分數單位，有幾個這樣的分數單位就是幾分之幾。在進一步的直觀比較后，學生還推理出分數墻還可以繼續延伸，使學生既學得了數學知識，又潛移默化地感受到了數學的極限思想，像這樣不斷地平均分下去，就可以得到無數個分數。整個學習過程實現了對分數意義和分數單位的正確理解。

在我們之前的學習中，借助一些實物教具，比如花片、小棒、小正方體、計數器等，也是為了幫助學生初步建立對概念特別是數的屬性的認知。因此，概念教學中重視形的直觀，對于思維處于直觀形象階段的小學生來說是認數的第一步，也是數學學習中一種重要的學習方式。

二、以“形”變“數”， 抽象化

雖然形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對于較復雜 的“形”，不但要正確地把圖形數字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析計算。

片段一和片段二中，教師都在學生建立了豐富的直觀認知后，及時地將直條抽象成數軸，再讓學生根據借助直觀了解到的一位小數和分數在數軸上找到相應的點，借助形象感知數，抽象出數在數軸上的位置，發展數感在此時就能顯得水到渠成。學生在教師的引導下，通過直觀觀察、比較、歸納積累了對一位小數意義和分數意義的認識的經驗，進一步把具有實際意義的數在數軸上呈現出來，體現了數學的抽象特征。

數的抽象不僅反映了數本身的特點，也是數學的學科特點，不僅是對數的深入感知，也是對數學的更深入了解。

三、“形”“數”互變， 深入化

數形結合，把抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，利于學生高效學習數學，利于數學興趣的培養、數學思維的發展、知識運用能力的增強，使數學教學變得更有效，事半功倍。

片段一和片段二中，教師有機地將數與形相結合，為學生學習認數積累數學活動的經驗。在學習一位小數意義時，學生通過分一分、涂一涂、比一比、說一說的活動，思維得到了提升，在這些數學活動中獲得的學習經驗，使學生在以后學習數概念時能事半功倍。通過動手操作的學習，學生是帶著思考、帶著方法去學習的，其學習能力定能得到提升。“分數墻”中凸顯了分數單位在分數中的作用，為學生進一步學習分數的相關知識、相關實際問題打下基礎，分數單位不同，但是能夠找到大小相等的分數，在數軸上的同一個點能夠用不同的分數來表示等，這其中還有許多值得繼續探索的相關知識，如果給學生更多的時間和空間，學生一定會有更多發現，也能讓學生學得更細微、深刻。

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，它可以使代數問題幾何化、幾何問題代數化。數形結合思想是一種可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法。數形結合思想方法是小學階段的一個重要內容，這種思想方法也是學生在初高中學習空間思維的關鍵點，為小學教學開辟一個新天地，為學生終身學習、持續發展打下堅實基礎。