積累經驗悟思想 豐富內涵提素養
——《圓》教材解讀與教學建議

○劉愛東

圓是小學“圖形與幾何”領域最后認識的平面圖形，也是為數不多的曲線圖形之一。“圓”被安排在人教版小學數學六年級上冊第五單元，是在學生初步掌握長方形、正方形、三角形和梯形的基本特征及其周長、面積公式，并且已經直觀認識圓的基礎上進行教學的。從認識直線圖形到認識圓這樣的曲線圖形，對學生而言是一種跨越與挑戰。

從教材的內容結構來看，這部分內容分為四個板塊：第一板塊，認識圓的基本特征以及圓心、半徑、直徑，學會用圓規畫圓，并利用圓設計圖案；第二板塊，探索并掌握圓的周長公式，了解圓周率的含義，應用圓的周長公式解決一些實際問題；第三板塊，探索并掌握圓的面積公式，應用圓的面積公式解決一些實際問題；第四板塊，初步認識扇形，初步理解扇形與所在圓的關系。通過本單元的學習，不僅要讓學生積累認識圖形的學習經驗，還要讓學生感受與體悟轉化思想、極限思想等數學思想方法，增強空間觀念，發展數學思考，提升核心素養。

一、教材解讀

1.緊密聯系生活實際，認識圓的特征。

在平面幾何中，圓的定義是“平面內與一個定點的距離等于定長的點的集合”，如何化抽象的定義描述為適切學生知識水平和接受能力的直觀感知，新教材從三個方面引導學生進行數學化的加工。

（1）基于生活經驗，抽象數學圖形。

教材通過引導學生觀察日常生活中的圓形物體，激活學生已有的關于圓的認知經驗，再用“你能想辦法在紙上畫一個圓嗎”這一問題，鼓勵學生利用圓形茶杯蓋、圓柱形物體、三角板上的圓孔等工具自主畫圓，初步感知圓的基本特征。考慮到學生在生活中已經具備初步的用圓規畫圓的知識，教材同時給出了圓規畫圓的提示，引導學生探索并掌握用圓規畫圓的基本方法，同時在學生交流體會中引出圓心、半徑和直徑的概念。接著，讓學生在紙上用圓規畫幾個大小不同的圓，進行折一折、畫一畫、量一量等操作，在探討直徑、半徑等特點的同時，進一步熟練掌握用圓規畫圓的方法。

（2）通過針對性操作，探索并發現圓的特征。

“圓，一中同長也。”這是《墨子》中對圓的定義。即只要確定了中心和半徑，圓的位置和大小也就確定下來了。圓心決定圓的位置、半徑決定圓的大小，這一事實在以前的教材中沒有明確指出，但實際上學生在用圓規畫圓操作的過程中，已經在自覺應用了。因此，新教材在引導學生“用圓規畫幾個不同大小的圓，剪下來，沿著直徑折一折、畫一畫、量一量，會有什么發現”的操作探索中，用“圓的中心位置由什么決定？半徑決定圓的什么”的問題引發學生主動探索并發現圓的特征。任意畫圓意味著學生手中的圓大小各不相同，這就為得出一般性的結論奠定了基礎，而折、畫、量等既是發現特征的方法，也是驗證特征的手段。

（3）開展圖案設計，加深本質理解。

由于在“軸對稱圖形”相關內容中已經對圓的對稱性有過比較充分的討論，新教材不再單獨編排圓的對稱性的例題，只在相關練習中加以鞏固，但增加了利用圓設計圖案的內容。學生在模仿教材步驟設計圖案的過程中，需要觀察、思考這些圖案由哪些圖形組成、是如何組成的，需要綜合應用圓心位置的確定、半徑大小的確定、圓的對稱性等知識。設計圖案的教學，既可以幫助學生進一步熟練用圓規畫圓的技能，促進對圓的特征的認識，又能讓學生在用尺規畫出圖案的過程中，欣賞到數學的對稱美、和諧美。教學中，還可以讓學生自由創作更多的作品，加深對圓的特征的理解。

2.充實數學操作內容，探究圓的周長和面積。

（1）在實驗操作中理解并掌握圓的周長計算方法。

教材從“要在圓桌和菜板的邊緣箍上一圈鐵皮，分別需要多長的鐵皮”這一學生熟悉的實際情境引入，幫助學生理解圓的周長的概念。引導學生通過繞、滾、圍等策略，開展對圓的周長的操作測量。一方面，能使學生感受到方法的多樣性和“化曲為直”的轉化思想；另一方面，圓周長概念的內涵就在這樣的過程中得以清晰化、直觀化。在此基礎上，教材通過“除了上面的方法，還可以怎樣求圓的周長”的問題，引導學生探究更為一般化的方法。通過“圓的周長和圓的大小有關系，圓的大小取決于……”啟發學生從圓本身的特征去想辦法突破。鼓勵學生利用自制的、大小不同的圓形紙片，開展實驗操作，并通過測量、計算、猜測和驗證等探究過程，了解圓的周長與它的直徑的比值是一個固定值，從而引出圓周率的概念，并總結出圓的周長計算公式。例1 是圓的周長計算的實際問題。第一個問題，求“這輛自行車的輪子轉1 圈，大約能走多遠”是直接根據公式求圓的周長。第二個問題，“小明從家到學校1 千米，騎車從家到學校，輪子大約轉了多少圈”是應用圓的周長公式解決實際問題。

（2）在轉化操作中理解并掌握圓的面積計算方法。

教材通過“圓形草坪占地面積是多少平方米”，引出圓的面積計算的必要性。考慮到圓面積公式的推導過程與其他多邊形面積公式的推導過程存在較大的差異，特別是把曲線圖形轉化為直線圖形所涉及的極限思想等，對學生來說不僅陌生而且過于抽象，為此教材一方面注意借助直觀呈現轉化過程，另一方面注意通過由簡單到復雜的逐步變化，幫助學生逐步形成認識。教材首先引導學生把圓平均分成16 份，拼成一個近似的平行四邊形，初步感受轉化的方法。接著，結合呈現的32 等份拼圖以及虛線長方形圖，幫助學生認識到：分的份數越多，每一份就會越小，拼出的圖形就會越接近于一個長方形，從而體會極限思想。接著，通過“這個近似的長方形的長和寬與圓的周長、半徑有什么關系”，引導學生推導出圓的面積計算公式。例1 求“鋪滿草皮需要多少錢”，需要先求出圓形草皮的面積，再求出需要的錢數。例2 求“圓環的面積是多少”，教材通過插圖幫助學生了解圓環的含義，理解求圓環的面積是用外圓面積減去內圓面積。教材給出了兩種算法，引導學生采用相對簡便的方法解決實際問題。例3 是新教材增加的內容，它以中國古建筑中“外方內圓”和“外圓內方”兩種經典設計為情境，直觀清晰地提出了需要解決的數學問題──求圓與外切正方形、內接正方形之間的面積。例3 給出一個特殊的圓半徑，先解決特殊問題，在“回顧與反思”部分再討論一般性的規律。

3.立足扇形初步認識，突出扇形與圓的聯系。

扇形的認識是學習扇形統計圖的必要基礎，新教材把這部分內容由選學變為正式教學內容。教材呈現了三個名稱中含有“扇”的物體，引出問題“什么是扇形”，把扇形這個數學名詞與學生已有的生活經驗建立聯系，有助于激發學生的研究興趣。然后結合圖示，直接揭示了“弧”“扇形”“圓心角”等概念的含義。扇形的大小與圓心角的大小緊密相關，也與所在圓的半徑大小有關。這些需要學生直觀感知并理解，但總體要求并不高，例如，教材上只列出了兩類特殊的扇形：半圓為弧的扇形對應的圓心角是180°，四分之一圓為弧的扇形對應的圓心角是90°。但也應該讓學生認識到，扇形與圓密不可分，無論是與扇形有關的概念，還是畫扇形、求扇形及扇環的面積，都離不開圓的基本內容。

二、教學建議

1.豐富學習素材，積累數學經驗。

圓的定義是“平面內與一個定點的距離等于定長的點的集合”。教學中，應為學生提供豐富的學習素材，通過對圓的素材的觀察、比較和實際操作等直觀的方式，引導學生逐步感悟圓的本質特征。細致觀察，即通過引導學生觀察生活中的圓形物體表面，找到圓，體會圓是由曲線圍成的圖形，直觀把握圓的形狀特征。細心比較，即通過引導學生將圓與長方形、正方形、平行四邊形等進行比較，一方面可以把圓和其他圖形一起納入平面圖形知識結構中，另一方面在比較中體會圓不是由線段圍成、而是由曲線圍成的圖形。實際操作，即通過實際操作活動，經歷圓的形成過程，激活畫圓經驗，感悟畫圓方法的共同點。

圓心、半徑和直徑的教學，要充分利用學生用圓規畫圓的活動體驗，啟發學生思考：用圓規一腳固定的那個點對于圓重要嗎？這個點在所畫的圓的哪里？圓規兩腳之間的距離重要嗎？在所畫的圓中找一找，從哪里到哪里？是怎樣的圖形？以突出半徑是從圓心到圓上任意一點的一條線段。在此基礎上，再讓學生尋找直徑，理解半徑與直徑之間的關系。

2.經歷探究過程，感悟數學思想。

圓的周長和面積計算公式，不僅僅是重要的數學結論，更具有探究價值。教學中，要充分展開探索公式的活動過程，重視學生在活動過程中對于數學思想的感悟和數學活動經驗的積累。

（1）轉化思想。

如圓的周長計算公式探究中，用卷尺、皮尺或繩子直接沿圓形物體繞一圈，把圓形物體在尺子或繩子上滾一圈，量出長度等。這樣的操作本質是把難以測量的曲線轉化成可以直接測量的線段，體現了化曲為直的轉化思想。在圓的面積計算公式探究中，把圓等分后轉化成長方形來研究，同樣體現了化曲為直的轉化思想。

（2）極限思想。

教學圓的面積時，把圓平均分成16 份后，可以拼成一個近似的平行四邊形。如果繼續把圓平均分成32 份、64 份……分的份數越多，每一份越小，拼成的圖形就會越接近于一個長方形。當把圓分的份數足夠多時，就可以拼成一個長方形。教材中的虛線長方形表示的就是圓無限細分后所拼成的圖形。圖形虛化的原因，是因為實際操作中，只能是無限地接近長方形，而不是一個真正的長方形。只要無限細分下去，就能得到一個長方形。極限思想是學生第一次接觸，因此，教學中要充分地讓學生體會、想象、推理、感悟。

（3）符號化思想。

本單元涉及用字母表示的地方很多，比如用字母表示圖形的名稱，圓心、半徑、直徑的名稱，半徑與直徑的關系，圓周長計算公式和面積計算公式等。系統地運用數學符號，可以簡明地表達數學思想，簡化數學運算或推理過程，使解題思路更清晰，提高解題速度和準確率。

3.感受知識聯系，重視綜合應用。

重視不同數學知識的綜合應用，讓學生感受數學知識的內在聯系，有利于不斷提高解決實際問題的能力。例如，在認識圓的特征時，可以讓學生綜合應用平移和數對確定位置的方法，體會圓心決定圓的位置的道理；用圓設計漂亮的圖案時，可以把正方形、長方形、三角形等圖形一起加入，既豐富了圖案的內容，又能提升對圓的特征的感悟；在學習圓的周長公式后，可以讓學生列方程解答已知周長和直徑或半徑的實際問題。在學習圓的面積計算后，讓學生綜合應用學過的平面圖形的面積公式，計算簡單的組合圖形的面積。這樣的安排，對于培養學生綜合運用數學知識和方法解決問題的意識和能力，是非常有益的。

4.歷史現實結合，凸顯文化價值。

本單元涉及數學史的知識相對較多，在教學時，要充分利用數學史的魅力，激發學生對數學的情感。比如，學習圓的周長后，教材安排了關于圓周率的數學史。從某種意義上來說，對于圓周率的認識過程，就是一個人類不斷獲取圓周率精確數值的過程。教材通過“你知道嗎”介紹圓周率的研究歷史時，突出了中國古代數學家的貢獻。教學時，不僅要讓學生受到愛國主義教育，也要讓他們感受到數學家堅定的意志和可貴的探索精神。學習圓的面積后，教材又介紹了劉徽運用極限思想解決圖形問題的史料。在具體的練習中，穿插了大量與生活密切相關的問題。通過這些內容的學習，學生既了解到古今中外數學家對圓的研究的偉大成果，又欣賞到了生活中美麗的圓，體會到解決與圓有關的一些現實問題的方法等。所有這些，都能讓學生在厚重的歷史與精彩的現實中，深切感受數學的文化價值。

資料存盤

1.《圓》課標解讀。

《義務教育數學課程標準（2011 年版）》在“學段目標”的第二學段中提出：

探索一些圖形的形狀、大小和位置關系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征，體驗簡單圖形的運動過程，能在方格紙上畫出簡單圖形運動后的圖形，了解確定物體位置的一些基本方法，掌握測量、識圖和畫圖的基本方法；在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果；在運用數學知識和方法解決問題的過程中，認識數學的價值。

2.外國部分數學家關于圓周率的研究。

古希臘的阿基米德從周長著眼，得出圓周率介于兩個同邊數內接和外切正多邊形的周長之間，通過計算圓內接和外切正96 邊形的周長，得出中亞著名數學家阿爾·卡西在《關于弦和正弦》一文中，分別計算了圓內接和圓外切805306368 邊形的周長，計算出2π=6.2831853071795865，使圓周率小數點精確到小數點后16 位。德國數學家魯道夫于1596年，把π值算到小數點以后20位，在他去世前又算到了小數點后35位。在德文中，圓周率π又叫“魯道夫數”。