線性代數(shù)方程組有解判別定理的教學(xué)方法探討

陳建春

【摘要】本文針對(duì)大學(xué)線性代數(shù)課程中線性方程組解的存在性這一教學(xué)內(nèi)容，從二維幾何空間內(nèi)兩條直線的相對(duì)位置關(guān)系出發(fā)，闡述了兩條直線不同交會(huì)情況下，需要滿足的幾何條件與線性方程組解的判別定理中矩陣秩的關(guān)系在數(shù)學(xué)上的等價(jià)性.從幾何空間的自由度與約束度的概念出發(fā)，分析了這兩個(gè)因素對(duì)方程組解的存在性的影響.教師在教學(xué)中采用由具體到一般的教學(xué)思路，有助于學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)概念的理解.

【關(guān)鍵詞】線性方程組;解的存在性;約束度;自由度

【基金項(xiàng)目】西安電子科技大學(xué)2019教學(xué)改革重點(diǎn)項(xiàng)目資助（20901190007）

一、引 言

線性方程組是線性代數(shù)中非常重要的知識(shí)點(diǎn)[1][2]，涉及線性方程組解的存在性的判別以及方程組的解法等內(nèi)容.由于方程組的有解判別定理的條件是采用矩陣的秩這一抽象概念表述的，所以學(xué)生較難理解和把握.對(duì)于這部分教學(xué)內(nèi)容，有的教師從具體的案例出發(fā)闡述了其解法與技巧[3][4]，有的教師從教學(xué)方法方面進(jìn)行了有益的探討[5][6]，但這些做法基本上都是從純數(shù)學(xué)概念的角度去分析相關(guān)問(wèn)題.本文針對(duì)方程組有解判別定理，按照從具體到抽象自然過(guò)渡的思維方式，探討其教學(xué)方法.從學(xué)生熟悉的相對(duì)具體的幾何空間出發(fā)，對(duì)線性方程組的幾何意義及有解、無(wú)解、多解需要滿足的幾何條件，與線性方程組有解判別定理中抽象的矩陣秩的關(guān)系建立聯(lián)系與對(duì)比，使學(xué)生對(duì)線性方程組解的判別定理的理解有一個(gè)由具體到抽象的自然過(guò)渡.最后，關(guān)于方程的個(gè)數(shù)及未知量的個(gè)數(shù)，從幾何空間上的約束度及自由度的概念出發(fā)，直觀地解釋了二者對(duì)方程組解的存在性的影響，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)方程組問(wèn)題本質(zhì)的理解.

二、線性方程組有解判別定理

設(shè)A為一個(gè)m行n列的已知實(shí)矩陣，b為一個(gè)m維的已知實(shí)列向量，x為n維的未知列向量，則n元一次線性方程組的矩陣形式可表示為：

構(gòu)造增廣矩陣B=[A|b]，則有方程組解的存在性定理如下[2]：

定理：對(duì)于（1）式所表示的n元一次線性方程組，

1.其有解的充分必要條件是rank（A）=rank（B）;

2.其有唯一解的充分必要條件是rank（A）=rank（B）=n;

3.其有多解的充分必要條件是rank（A）=rank（B）

顯然，其無(wú)解的充分必要條件是rank（A）≠rank（B），其中rank（·）表示矩陣的秩.其定義如下：

三、方程組解的存在性定理的幾何解釋

幾何平面是學(xué)生最熟悉的幾何空間之一，下面就以平面上兩條直線的相對(duì)位置關(guān)系來(lái)引入二元一次方程組的解的存在性問(wèn)題，并從幾何角度解釋這種直線的相對(duì)位置關(guān)系與方程組解的實(shí)際情況之間所存在的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

設(shè)X1-X2平面上兩條已知直線l1和l2的方程為：

其中，ai，bi，ci，i=1，2均為已知實(shí)數(shù)，現(xiàn)在要解決的問(wèn)題是尋求兩條直線的公共部分，即交點(diǎn).

顯然，從方程的角度（2）式是一個(gè)二元一次線性方程組，所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題就是要求這兩個(gè)二元一次線性方程的聯(lián)合解.該線性方程組的系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B可分別列出，即

如果從幾何的角度理解這個(gè)問(wèn)題，就要考慮這兩條直線在平面上的相對(duì)位置關(guān)系，其存在以下三種可能性：

1.兩條直線交于一點(diǎn)

在幾何平面上，出現(xiàn)這種情況的條件是這兩條直線的斜率不相同，即

其位置關(guān)系的示意圖如圖1所示（兩條直線交于一點(diǎn)）.

如果從一般的線性方程組的角度考慮，這種情況對(duì)應(yīng)于二元一次線性方程組（2）有唯一解.根據(jù)前述定理，線性方程組有唯一解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣的秩等于其增廣矩陣的秩，且等于線性方程組未知量的個(gè)數(shù)，即定理的第2條：

顯然，（5）式的條件與（6）式的條件是等價(jià)的.因?yàn)椋?）式可以寫(xiě)為

而此關(guān)系式表明rank（A）=rank（B）=2，即（6）式成立.反之亦然.

2.兩條直線完全重合（多個(gè)交點(diǎn)）

在幾何平面上，兩條直線完全重合發(fā)生的條件是這兩條直線不僅斜率相同，而且截距也相同，即

其位置關(guān)系的示意圖如圖2所示（兩條直線交于多點(diǎn)）.

從線性方程組的角度出發(fā)，這一情況對(duì)應(yīng)于二元一次線性方程組（2）有無(wú)窮多解.根據(jù)前述定理，線性方程組有無(wú)窮多解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣的秩等于其增廣矩陣的秩，且小于方程組未知量的個(gè)數(shù)，即定理的第3條：

（7）式的條件等效于（8）式.因?yàn)椋?）式可以寫(xiě)為下面三個(gè)關(guān)系式：

上式中，當(dāng)ai，bi，i=1，2至少有一個(gè)不為0時(shí)，意味著rank（A）=rank（B）=1<2，即（8）式成立.反之亦然.

3.兩條直線不相交（平行）

在幾何平面上，兩條直線不相交發(fā)生的條件是這兩條直線的斜率相同，但是截距不同，即

其位置關(guān)系的示意圖如圖3所示（兩條直線不相交）.

從線性方程組的角度去理解，這一情況對(duì)應(yīng)于二元一次線性方程組（2）無(wú)解.根據(jù)前述定理，線性方程組無(wú)解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣的秩與其增廣矩陣的秩不相等，即定理的第1條的逆否形式：

顯然，（9）式的條件等效于（10）式.因?yàn)椋?）式可以寫(xiě)為下面三個(gè)關(guān)系式：

上式中，當(dāng)ai，bi，i=1，2至少有一個(gè)不為0時(shí)，意味著rank（A）=1≠rank（B）=2，即（10）式成立.反之亦然.

四、線性方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)對(duì)方程組解的影響的幾何解釋

在線性方程組（1）中，方程的個(gè)數(shù)為m，未知量的個(gè)數(shù)為n.一般情況下，m和n的大小關(guān)系是任意的，當(dāng)m=n時(shí)，我們稱該方程是恰定方程組;當(dāng)m>n時(shí)，稱其為超定方程組;當(dāng)m

1.方程個(gè)數(shù)m對(duì)線性方程組解的影響

m的大小體現(xiàn)了方程組約束條件的多少，每一個(gè)方程都是一個(gè)約束條件.顯然，約束越多（m增大），方程組有解的可能性減小，反之則增加.

從幾何空間理解，設(shè)m=n=2，則（1）式是二維幾何平面的兩條直線.若n=2不變，m增加到3，即增加一個(gè)方程，則表示在二維幾何平面上增加了一條直線.新的方程組表示三條直線的公共交點(diǎn)，顯然原來(lái)兩條直線交于一點(diǎn)的可能性將趨于減小.

2.未知量個(gè)數(shù)n對(duì)方程組解的影響

n的大小體現(xiàn)了自由度的大小，每一個(gè)未知量都代表著一個(gè)自由度.顯然，自由度增大（n增大），方程組有解的可能性增大，反之則減小.

從幾何空間理解，設(shè)m=n=2，則方程（1）代表二維幾何平面上的兩條直線.若m=2不變，n增加到3，即增加一個(gè)自由度，則空間擴(kuò)展為三維幾何空間，方程組中的每個(gè)方程不再代表二維幾何平面上的直線，而是代表三維幾何空間上的平面.新的方程組表示兩個(gè)平面的公共交點(diǎn)，顯然原來(lái)兩條直線交于一點(diǎn)的可能性將趨于增加.

五、總 結(jié)

針對(duì)一般n元一次線性方程組解的存在性及有解判別定理中矩陣秩的關(guān)系這一抽象概念，通過(guò)將其與幾何空間上多個(gè)直線（或平面）能否相交的相對(duì)位置關(guān)系及需滿足的條件做對(duì)比，讓學(xué)生直觀理解線性方程組解的存在性的幾何意義及有解判別定理的本質(zhì)含義;從約束度和自由度與方程個(gè)數(shù)及方程未知量個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)，從幾何角度解釋了其對(duì)方程解的影響.使學(xué)生完成由熟悉的知識(shí)到一個(gè)新的知識(shí)的自然過(guò)渡，提高學(xué)生對(duì)該部分知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣，加深學(xué)生對(duì)方程組問(wèn)題的理解.

【參考文獻(xiàn)】

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