從“函數(shù)的零點(diǎn)”出發(fā)論解題教學(xué)

王霞

【摘要】函數(shù)的零點(diǎn)問題是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的重要內(nèi)容，它作為函數(shù)方程與圖像知識(shí)的交匯點(diǎn)，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的聯(lián)系，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)形結(jié)合思想.教學(xué)中，教師應(yīng)基于學(xué)生已有的知識(shí)水平，讓他們通過實(shí)際體驗(yàn)探究，準(zhǔn)確理解應(yīng)用零點(diǎn)的概念和零點(diǎn)存在性定理，提高解題能力和邏輯思維能力.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)的零點(diǎn);零點(diǎn)存在性定理;數(shù)形結(jié)合;解題教學(xué)

一、問題導(dǎo)出

設(shè)函數(shù)f（x）=1/2ax2-1-ln x，其中a∈R.

（1）若a=0，求過點(diǎn)（0，-1）且與曲線y=f（x）相切的直線方程;

（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.本文主要研究問題（2）.

二、解題過程分析

解法1：從函數(shù)本身出發(fā)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性、極值、最值，結(jié)合函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)得出最值大于零或者小于零，從而求出a的取值范圍.

f ′（x）=ax-1/x=ax2-1/x，x>0.

①若a≤0，則f ′（x）<0，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在（0，+∞）上至多有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，舍去.

②若a>0，由f ′（x）=0，解得x=1/a.

當(dāng)01/a時(shí)， f ′（x）>0，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以f（x）min=f 1/a=1/2-ln 1/a-1=-1/2-ln 1/a.要使函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，首先有-1/2-ln 1/a<0，解得0

下面利用零點(diǎn)存在性定理驗(yàn)證：當(dāng)0

零點(diǎn)存在性定理：一般地，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn).若加上條件函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有唯一零點(diǎn).

當(dāng)01/e>1/e，

因?yàn)閒 1/e=a/2e2>0，故 f 1/e·f 1/a<0，又函數(shù)f（x）在1/e，1/a上單調(diào)遞減，且其圖像在1/e，1/a上連續(xù)不間斷，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間1/e，1/a內(nèi)恰有1個(gè)零點(diǎn).

第一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間容易找到，尋找第二個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間相對較難，此時(shí)可以考慮用放縮法來處理.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）中含有l(wèi)n x，自然想到函數(shù)不等式ln x≤x-1，

所以f（x）=1/2ax2-1-ln x≥1/2ax2-x.

令1/2ax2-x=0，得x=2/a，所以f 2/a≥0.又因?yàn)?/a-1/a=2-a/a>0，故2/a>1/a.因?yàn)閒 1/a·f 2/a≤0，且f（x）在區(qū)間1/a，+∞上單調(diào)遞增，又圖像連續(xù)不間斷，所以f（x）在區(qū)間1/a，2/a上恰有1個(gè)零點(diǎn).

綜上，a的取值范圍是（0，e）.

解法2：因?yàn)閒（x）=1/2ax2-1-ln x有2個(gè)零點(diǎn)，則方程 1/2ax2-1-ln x=0有2個(gè)根，即方程a=2（1+ln x）/x2有兩個(gè)根，進(jìn)而可知函數(shù)y=a與y=2（1+ln x）/x2的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).

設(shè)h（x）=2（1+ln x）/x2，h′（x）=-2（1+2ln x）/x3，有h′（x）=0且x>0，解得x=1/e.

當(dāng)00;當(dāng)x>1/e時(shí)，h′（x）<0.所以h（x）max=h1/e=e.當(dāng)x>1/e時(shí)，

h（x）>0恒成立，利用數(shù)形結(jié)合思想，作出h（x）的大致圖像，根據(jù)函數(shù)y=a與y=h（x）的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，得0

但上述解題過程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，下面需要驗(yàn)證：當(dāng)0a，所以要在區(qū)間0，1/e和1/e，+∞內(nèi)分別找到x1和x2，使得h（x1）

小結(jié)：上述解題過程呈現(xiàn)了解決函數(shù)零點(diǎn)問題的兩種基本方法.

（1）零點(diǎn)存在性定理：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而得出函數(shù)的大致圖像，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題.

（2）轉(zhuǎn)化法（數(shù)形結(jié)合）：由函數(shù)y=f（x）存在零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程f（x）=0有解，進(jìn)而“參變分離”轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=a與函數(shù) y=f（x）或者函數(shù)y=g（x）與函數(shù)y=h（x）的圖像交點(diǎn)問題.

在平時(shí)解決問題的過程中，選擇題和填空題利用數(shù)形結(jié)合較多，且無須非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣页隽泓c(diǎn)所在區(qū)間.但在解決零點(diǎn)問題的綜合性題目時(shí)，必須嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣页隽泓c(diǎn)所在區(qū)間，這也是解決零點(diǎn)問題的難點(diǎn)所在.所以，教師在教學(xué)過程中要循序漸進(jìn)，深入淺出.

三、聯(lián)想拓展

利用放縮法尋找函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間時(shí)，需要找到合適的函數(shù)不等式.一般地，我們可以借助曲線上某點(diǎn)處的切線方程來構(gòu)造函數(shù)不等式，達(dá)到放縮目的.比如，函數(shù)y=ex在x=0處的切線方程是y=x+1，結(jié)合圖像得ex≥x+1;函數(shù)y=ex在x=1處的切線方程是y=ex，可得ex≥ex.又如，

函數(shù)y=ln x在x=1處的切線方程是y=x-1，結(jié)合圖像得ln x≤x-1.放縮法實(shí)際上就是將ex，ln x等函數(shù)放縮成關(guān)于x的多項(xiàng)式.

教師在教學(xué)中，對學(xué)有余力的學(xué)生可以適當(dāng)進(jìn)行拓展，補(bǔ)充極限知識(shí)、洛必達(dá)法則等.例如，解法1中的第二個(gè)零點(diǎn)的證明可以改為f（x）=1/2ax2-1-ln x+x-x=x1/2ax-1+x-1-ln x，具體過程如下：

因?yàn)閤-1-ln x≥0且a>0，當(dāng)x→+∞時(shí)，x1/2ax-1 →+∞，所以f（x）→+∞，

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在1/a，+∞上是增函數(shù)，且圖像不間斷，所以函數(shù)在1/a，+∞內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn).

又如，解法2中利用極限思想可以避開尋找零點(diǎn)所在區(qū)間，具體過程如下：由a=2（1+ln x）/x2，令h（x）=2（1+ln x）/x2，當(dāng)x→0時(shí)，1/x2→+∞，1+ln x→-∞，所以h（x）→-∞.當(dāng)x>1/e時(shí)，h（x）>0恒成立，

且limx→+∞2（1+ln x）/x2=limx→+∞1/x2=0，所以a>0，所以a的取值范圍是（0，e）.

四、反思與升華

回顧與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的各類問題，對于零點(diǎn)的考查主要有以下三個(gè)方面：函數(shù)零點(diǎn)的求解與所在區(qū)間的判斷，判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)的取值范圍.解題方法以轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合為主.學(xué)生在處理這類問題時(shí)，一是直接利用零點(diǎn)存在性定理，二是將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題.

如何讓學(xué)生理解零點(diǎn)存在性定理并且熟練使用，這是教學(xué)的一大難點(diǎn).首先，教師要讓學(xué)生理解運(yùn)用定理時(shí)條件必須完備，即函數(shù)f（x）的圖像在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不間斷的曲線這個(gè)條件需要寫出.其次，教師要讓學(xué)生學(xué)會(huì)找出區(qū)間[a，b]，并且明白a，b的值不唯一.當(dāng)然，a，b的值有時(shí)是比較難找的，需要借助函數(shù)不等式有針對性地進(jìn)行放縮.教師在教學(xué)中可以循序漸進(jìn)，先講解常用放縮不等式、如何找出a，b，以及不同情況下會(huì)發(fā)生哪些變化等，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生鉆研數(shù)學(xué)的刻苦精神.

教師在具體的教學(xué)過程中，對于不同層次的學(xué)生的要求應(yīng)該有所不同.學(xué)有余力的學(xué)生可以多學(xué)習(xí)極限的思想去解決零點(diǎn)問題，這樣可以發(fā)散思維，提高邏輯思維能力.