階梯圓環壓電超聲換能器徑向振動性能的理論研究?

許 龍 范秀梅

(中國計量大學理學院 杭州 310018)

0 引言

徑向振動壓電陶瓷復合換能器具有輻射面積大[1]、輻射效率高[2]、徑向輻射均勻以及徑向靈敏度高等突出優點[3?4]，在水聲發射和接收[5]、超聲降解[6]、超聲拔絲拔管等方面得到了廣泛的應用[7?8]。這種換能器是由壓電陶瓷圓環/圓管與金屬圓環/圓管徑向復合而成[9]。金屬圓環/圓管可以改善壓電陶瓷圓環的散熱[10]，提高換能器的功率容量[11]；改變金屬圓環的結構參數，可以調節換能器的工作頻率以滿足不同的應用場景[12]。

為了適用于徑向超聲滾動切割或徑向超聲滾焊的應用需求[13?14]，設計了一種由壓電陶瓷圓環和階梯型金屬薄圓環復合而成的徑向振動壓電超聲換能器。根據力電類比原理建立了階梯型金屬薄圓環徑向振動的等效電路，推導了其徑向共振頻率方程和位移放大系數，根據理論模型和有限元仿真模擬分析了階梯型金屬薄圓環的徑向振動性能。在此基礎上進一步建立了階梯圓環壓電超聲換能器的等效電路，推導了其共振和反共振頻率方程，根據理論推導和有限元仿真模擬研究了階梯圓環壓電超聲換能器的徑向振動性能。本文研究的階梯圓環徑向振動壓電超聲換能器與目前應用于超聲滾焊和超聲切割的換能器在結構及工作原理上均不同。現有的超聲滾焊系統主要是通過夾心式壓電超聲振動系統的縱向振動實現超聲滾動焊接，超聲振動系統的尺寸通常大于等于3個半波長；應用于超聲切割的振動系統也是由夾心式壓電換能器、超聲變幅桿和切割刀的縱向振動實現食品或橡膠的切割，其振動系統的尺寸也較大，并且不能通過振動系統的滾動實現連續超聲切割；為此本文提出了一種幾何尺寸更小的階梯形徑向超聲換能器，通過選擇換能器的二階徑向共振模式，實現超聲能量由內向外聚焦以及換能器與外部設備在徑向位移節點處連接固定，從而實現通過換能器的滾動進行連續的超聲切割或焊接的功能。

1 階梯圓環徑向振動特性分析

1.1 徑向振動金屬薄圓環的等效電路

圖1所示為金屬薄圓環選擇柱坐標系統{r,θ,z}。當圓環軸向厚度遠小于圓環的平均半徑時，圓環的軸向應力近似為零(即可忽略縱向耦合)[15]，此時金屬薄圓環做純徑向簡諧振動[16]。圖1中R、R1和h1分別為金屬薄圓環內外半徑和軸向厚度，V1和V2、F1=?Tr1S1和F2=?Tr2S2以及S1=2πRh1和S2=2πR1h1分別為金屬薄圓環內外側面處質點的徑向振動速度、徑向應力和側面面積。根據文獻[17]可知金屬薄圓環徑向波動方程為

圖1 金屬薄圓環Fig.1 Thin metal ring

圓環的徑向振動速度：

其中，A1、B1為待定系數。

金屬薄圓環的徑向振動應力方程為[18]

將式(2)代入式(4)可得

將R、R1、V1、?V2代入式(3)中，可以求出待定系數A1和B1的表達式分別為

將式(6)、式(7)代入式(5)中，可得

化簡式(8)可得

其中：

根據力電類比原理[9]，由式(9)可得如圖2所示的非互易二端口等效網絡，即金屬薄圓環等效電路圖。

圖2 金屬薄圓環徑向振動等效電路Fig.2 Radial vibration equivalent circuit of a thin metal ring

1.2 階梯圓環徑向振動等效電路、共振頻率方程和位移放大系數

階梯圓環可看作由圖3所示的兩個軸向厚度不同的金屬薄圓環徑向復合而成，其軸向厚度沿半徑方向的變化規律為

圖3 階梯圓環結構示意圖Fig.3 Schematic diagram of stepped metal thin ring structure

R1、R2和h2分別為外圓環內半徑(內環外半徑)、外半徑和軸向厚度，V3和V4、F3=?Tr3S3和F4=?Tr4S4以及S3=2πR1h2和S4=2πR2h2分別為外環內外側面處質點的徑向振動速度、徑向應力和側面面積。將R1、R2、V3、?V4代入式(3)中，可求出外環徑向位移方程中的待定系數A2和B2：

由圖3可知，階梯圓環做徑向振動時，內外環兩部分連接處滿足徑向應力和速度連續，由圖2所示的金屬薄圓環徑向振動的等效電路和內外環兩部分之間的邊界條件可得圖4所示的階梯圓環等效電路。

圖4中內環部分的各等效阻抗參數在1.1節中已給出，外環各部分阻抗參數分別為

其中，Z3=ρcS3，Z4=ρcS4。

當外環的外側面為自由端，即F4(F4=0)處短路時，根據圖4推導出階梯圓環的輸入阻抗為

階梯圓環的徑向共振頻率方程為

將1.1節中的A1、B1和1.2節中的A2、B2代入式(2)中，可求出內環和外環的內外側面質點位移ξr1(R)、ξr1(R1)和ξr2(R1)、ξr2(R2)，進一步可得階梯圓環的位移放大系數M為

由式(12)結合圖4可得

圖4 階梯圓環等效電路Fig.4 The equivalent circuit of a stepped metal thin ring

1.3 階梯圓環徑向振動性能分析

選取階梯型圓環的材料為硬鋁，材料參數σ=0.33，E=71 GPa，ρ=2810 kg/m3。階梯圓環的內外環軸向厚度分別為10 mm和3 mm，改變內環的外半徑，可得其一階、二階徑向共振頻率與內外環徑向厚度之比K1的變化關系，其中K1=(R1?R)/(R2?R1)。理論計算和仿真結果如圖5和表1所示。

圖5(a)、圖5(b)分別是理論計算和有限元仿真模擬得到的一階、二階共振徑向位移放大系數M隨內外環徑向厚度之比K1的變化關系曲線。由圖5可知，K1值逐漸增大(即內環半徑增大，外環半徑減小)，階梯圓環的一階徑向共振位移放大系數先迅速減小后平緩增大，且M值始終小于1，即在一階徑向共振模式下階梯圓環的內部徑向位移大外部徑向位移小，及階梯圓環未能實現由內到外的徑向位移振幅放大；二階徑向共振位移放大系數先增大后減小，內外環半徑比在0.250

圖5 階梯圓環一階、二階徑向共振位移放大系數M與內外環徑向厚度之比K1的關系Fig.5 The relationship between the first-order and second-order radial resonance displacement ampli fication coefficient M of the stepped ring and the radial thickness ratio K1of the inner and outer rings

在表1中，fa1和fa2分別表示理論計算得出的一階和二階徑向共振頻率值，fb1和fb2分別為仿真模擬得出的一階和二階徑向共振頻率值，Δf1ab和Δf2ab分別為兩種方法計算得出的一階、二階徑向共振頻率值的相對誤差。由表1可知，K1值增大，階梯圓環的一階徑向共振頻率隨之減小，二階徑向共振頻率隨之增大，且二階共振頻率變化幅度大于一階共振頻率；兩種方法計算的一階徑向共振頻率的相對誤差小于0.25%，二階徑向共振頻率的相對誤差小于4.5%。

表1 階梯圓環一階和二階徑向共振頻率隨內外環徑向厚度之比K1變化的理論值與仿真值Table 1Theoretical and simulated values of the first-and second-order radial resonance frequency of the stepped ring as a function of the radial thickness ratio K1of the inner and outer rings

設置階梯圓環內環的內外半徑(外環的內半徑)和外環的外半徑分別為30 mm、45 mm和80 mm，改變外環的軸向厚度，可得其一階、二階徑向共振頻率與內外環軸向厚度之比K2的變化關系，其中K2=h1/h2。理論計算和仿真結果如圖6和表2所示。

表2 階梯圓環一階和二階徑向共振頻率隨內外環軸向厚度之比K2變化的理論值與仿真值Table 2Theoretical and simulated values of the first-and second-order radial resonance frequency of the stepped ring as a function of the axial thickness ratio K2of the inner and outer rings

圖6 階梯圓環一階、二階徑向共振位移放大系數M與內外環軸向厚度之比K2的關系Fig.6 The relationship between the first-order and second-order radial resonance displacement ampli fication coefficient M of the stepped ring and the axial thickness ratio K2of the inner and outer rings

圖6(a)、圖6(b)分別是理論計算和有限元仿真模擬得到的一階、二階共振徑向位移放大系數M隨內外環軸向厚度之比K2的變化關系曲線。由圖6可知，K2值逐漸增大(即內環軸向厚度增大，外環軸向厚度減小)，階梯圓環的一階、二階徑向共振位移放大系數均增大；在一階徑向共振模式下階梯圓環的內部徑向位移大外部徑向位移小，及階梯圓環未能實現由內到外的徑向位移振幅放大，內外環軸向厚度比在K2>2.25范圍內，M值大于1，在此范圍內階梯圓環在二階共振模式下能夠實現由內向外的徑向位移振幅放大。表2為理論計算和有限元仿真的階梯圓環在不同的軸向尺寸下其一階、二階徑向共振頻率值。

由表2可知，K2值增大，階梯圓環的一階徑向共振頻率隨之增大，二階徑向共振頻率隨之減小，且二階共振頻率變化幅度大于一階共振頻率；兩種方法計算的一階徑向共振頻率的相對誤差小于0.25%，二階徑向共振頻率的相對誤差小于2.7%，由此可知，理論計算與仿真結果符合較好。

2 階梯圓環壓電超聲換能器的徑向振動性能研究

階梯圓環壓電超聲換能器的結構如圖7所示，換能器由內部壓電陶瓷圓環和外部階梯型金屬薄圓環構成，圖中a和R分別為壓電陶瓷圓環的內半徑和外半徑，R1和R2分別為階梯圓環的內環外半徑和外環外半徑。

圖7 階梯圓環壓電超聲換能器Fig.7 Stepped ring piezoelectric ultrasonic transducer

2.1 階梯圓環壓電超聲換能器徑向振動等效電路和共振頻率方程

由文獻[19]可知，壓電陶瓷薄圓環的等效電路如圖8所示。

其中，N31、C0r和S0分別為壓電陶瓷圓環的機電轉換系數、徑向振動電容和橫截面積，機械阻抗Z10、Z20和Z30的表達式分別為

壓電陶瓷圓環與階梯型金屬薄圓環連接處滿足機械上串聯、電學上并聯的邊界條件[20]，由圖4和圖8可得階梯圓環壓電超聲換能器的整體等效電路如圖9所示。

圖8 壓電陶瓷圓環徑向振動等效電路Fig.8 Radial vibration equivalent circuit of piezoelectric ceramic ring

當Fa和F4兩處短路時，即Fa=0、F4=0，由圖9可得階梯圓環壓電超聲換能器的輸入機電阻抗為

圖9 階梯圓環壓電超聲換能器的等效電路Fig.9 The equivalent circuit of a stepped circular piezoelectric ultrasonic transducer

其中，

換能器的徑向共振頻率方程為

徑向反共振頻率方程為

2.2 階梯圓環壓電超聲換能器徑向振動性能的分析

表3 階梯圓環壓電超聲換能器的共振、反共振頻率和有效機電耦合系數的理論計算值和仿真值Table 3 Theoretical calculation and simulation values of the resonance,anti-resonance frequency and the effective electromechanical coupling coefficient of the stepped circular piezoelectric ultrasonic transducer

圖10(a)和圖10(b)分別為有限元仿真模擬得到階梯圓環壓電超聲換能器的一階、二階徑向共振和反共振模態振型圖。由圖10(b)可知，該換能器的二階徑向共振模態存在位移節圓，工程應用中可作為與外部設備的連接固定處。

圖10 階梯壓電圓環超聲換能器一階、二階徑向共振和反共振模態Fig.10 First-order and second-order radial resonance and anti-resonance modes of stepped piezoelectric toroidal ultrasonic transducer

通過改變壓電陶瓷圓環的內半徑和階梯型金屬薄圓環中內環外半徑尺寸，研究徑向尺寸對換能器的一階和二階徑向共振頻率的影響規律。圖11和圖12分別為通過改變壓電陶瓷圓環內半徑和階梯圓環的內環外半徑，階梯圓環壓電超聲換能器一階和二階徑向共振和反共振頻率隨徑向尺寸的變化關系曲線。由圖11可知，隨著壓電陶瓷圓環內半徑a增大，換能器的一階徑向共振和反共振頻率逐漸減小，二階徑向共振和反共振頻率逐漸減小并趨于接近，此時換能器的帶寬將變窄，有效機電轉換系數趨于零。由圖12可知，隨著階梯圓環內環外半徑R1增大，換能器的一階徑向共振和反共振頻率逐漸減小，二階徑向共振和反共振頻率先增大后減小。該結果對完善圓環形換能器的設計理論具有一定的指導意義和實際應用價值，對階梯圓環壓電超聲換能器的工程應用提供理論參考。

圖11 換能器的一階、二階徑向共振和反共振頻率與壓電陶瓷圓環內半徑的關系Fig.11 The relationship between the first-order and second-order radial resonance and antiresonance frequencies of the transducer and the inner radius of the piezoelectric ceramic ring

圖12 換能器的一階、二階徑向共振和反共振頻率與階梯圓環內環外半徑的關系Fig.12 The relationship between the first-order and second-order radial resonance and antiresonance frequencies of the transducer and the outer radius of the inner ring of the step ring

3 結論

本文設計了一種由壓電陶瓷圓環和階梯型金屬薄圓環復合而成的階梯環形壓電超聲換能器。根據力電類比原理建立階梯型金屬薄圓環徑向振動的等效電路，推導了其共振頻率方程和位移放大系數；在此基礎上建立了階梯圓環壓電超聲換能器的徑向振動等效電路，推導其共振和反共振頻率方程，分析了其徑向振動性能。結合理論推導和仿真模擬的結果，探討了徑向尺寸對階梯圓環壓電超聲換能器的徑向振動的影響特性，結論如下：

(1)隨著階梯圓環內環徑向厚度增大，外環徑向厚度減小，它的一階徑向共振頻率逐漸減小，二階徑向共振頻率逐漸增大，且二階徑向共振頻率變化明顯；階梯圓環在一階共振模式下環內徑向位移振幅大于環外徑向位移振幅，即階梯圓環無法實現由內向外的位移振幅放大；當內、外環徑向厚度之比在0.250

(2)隨著階梯圓環內環軸向厚度增大，外環軸向厚度減小，它的一階徑向共振頻率逐漸增大，二階徑向共振頻率逐漸減小；階梯圓環在一階共振模式下環內徑向位移振幅大于環外徑向位移振幅，即階梯圓環無法實現由內向外的位移振幅放大；當內、外環軸向厚度之比在K2>2.25范圍內，階梯圓環在二階共振模式下能夠實現由內向外的位移振幅放大。

(3)階梯圓環壓電超聲換能器在二階徑向共振模態下存在位移節圓，有利于在工程應用中與外部設備在節圓位置連接。

(4)階梯圓環壓電超聲換能器中壓電陶瓷薄圓環的內半徑增大，換能器的一階徑向共振和反共振頻率逐漸減小，二階徑向共振和反共振頻率逐漸減小并趨于接近，此時換能器的帶寬將變窄，有效機電轉換系數趨于零；階梯圓環內環外半徑增大，換能器一階徑向共振和反共振頻率逐漸減小，二階徑向共振和反共振頻率先增大后減小。

本文所得結果對于完善徑向超聲換能器的設計理論和此類換能器的工程應用有一定的參考價值，有望通過換能器的徑向振動實現連續超聲滾動切割和焊接的應用。