五模聲學超表面理論分析與定向反射聲學仿真?

郝瀟瀟 王 真 趙志高 沈 敏

(1 武漢紡織大學機械工程與自動化學院 武漢 430200)

(2 武漢第二船舶設計研究所 武漢 430205)

0 引言

常見的聲學超材料通常需要有一定數量的微結構周期排布才能實現其特殊功能，存在成本高、體積大、損耗大和帶寬窄等缺點。而聲學超表面[1?2]憑借亞波長厚度的人工超薄結構，理論上能夠實現對聲波傳播路徑的任意調控，如異常反射、異常折射和聲波完美吸收等[3]，是聲學超材料的重要分支，對于空間受限的應用領域具有重要價值。

聲學超表面的理論基礎是廣義斯奈爾定律(the generalized Snell’s law)[4]。2011年，哈佛大學的Federico Capasso課題組在《Science》上發表了廣義斯奈爾定律，通過設計界面處的相位突變實現了對電磁波反射(折射)的任意調控[4]。2013年，Li等[1]將廣義斯奈爾定律應用到聲學，通過聲波入射表面上的特殊人工結構調節界面處的相位梯度，實現波陣面的調控。目前較為常見的聲學超表面人工結構主要為折疊空間結構[1,5]和亥姆赫茲共振腔結構[6]，均可實現透射式或反射式的聲學超表面，但是這類結構基于共振機理，存在頻率依賴性，具有較窄的帶寬。因此，為實現對聲波的寬頻和高效調控，2015年，Tian等[7]依據廣義斯奈爾定律，借助五模材料優良的寬頻特性[8]以及與環境介質的阻抗匹配特性，設計了五模聲學超表面，通過調控超表面的速度梯度分布實現了聲波異常折射、亞波長平面聚焦等多種波陣面調控。2019年，Liu等[9]進一步仿真驗證了五模超表面的聲波異常折射、平面聚焦和平面波轉換能力。Chen等[10]實驗驗證了五模超表面用于水下柱面波到平面波的轉換，實現了寬頻帶(15～23 kHz)的波形轉換，聲能轉換率為69%。2020年，Chu等[11]設計了具有8個五模單胞的聲學超表面，仿真實現了頻率2600～5600 Hz范圍內，入射角0°～35°范圍內正向入射或反向入射的異常折射，聲能傳輸率高達85.4%，驗證了五模超表面對于非對稱聲傳輸的寬頻和高效性。Zhang等[12]采用慢走絲電火花加工了鋁基的五模超表面并進行了聲學性能實驗，該超表面能夠在寬頻范圍內對反射聲波調控，調控精度與理論仿真結果一致。

本文以廣義斯奈爾定律為理論依據，對五模聲學超表面的基本原理進行了解析推導和理論分析，提出了五模超表面的尺度設計準則，采用多物理場仿真軟件進行了水下聲場超表面定向反射的仿真實驗，利用均勻化理論計算五模微結構等效物性參數，通過優化單胞的幾何參數獲得了滿足特定物性參數需求的五模微結構。

1 五模超表面聲波調控原理與解析推導

若界面上引入相位突變Φ，根據費馬原理，假設聲波從A點出發經界面反射后到達C點(如圖1所示)，從中選取路徑ABC和ADC，它們均無限接近實際的聲波傳播路徑，它們之間的相位積累差為0，即[4]

圖1 有相位突變界面上的反射Fig.1 The anomalous re flection of abrupt phase shift

式(1)中，θi和θr分別為入射角和反射角；Φ和Φ+dΦ分別為兩條路徑在界面處的相位突變，Φ為位置x的函數；dx為兩條路徑在界面交點間的距離；k0為波數，k0=2π/λ0，λ0為入射介質中的波長。因此，入射角θi和反射角θr遵循下列反射廣義斯奈爾定律[4]：

式(2)中，dΦ(x)/dx為沿界面切向的相位梯度。當Φ與x無關時，式(2)為經典的斯奈爾定律表達式。

廣義斯奈爾定律指出，在界面上引入相位突變，即相位不連續，波的反射不再遵循斯奈爾定律。廣義斯奈爾定律指明了一種新的波控思路：在界面上引入合適的相位分布Φ(x)可以任意調控波傳播方向。這就是超表面調控聲波的基本原理，突破了經典聲學的理論限制。從波動學的角度看，相位的變化與聲程有關，因此，相位調節可以通過調節聲程來實現。并且，如果能夠設計界面具有合適的dΦ(x)/dx抵消波數k0=2π/λ0，就能夠消除頻率相關項，從而實現寬頻帶調控。因此，可以利用五模材料的寬頻特性來設計反射式超表面，過程如下。

為實現聲波的高效調控，減小聲能損失，應使入射聲波全部透射至超表面內部，因此垂直入射(θi=0)的聲波應當在超表面的上下表面分別發生全透射和全反射，總的傳播路徑長度為2h，h為超表面法向厚度，相位積累為

式(3)中，k=2π/λ，k和λ分別為超表面中的聲波波數和波長。對于五模材料，波長λ和聲速c有關，λ=c/f0。入射波頻率f0=c0/λ0(c0為入射介質聲速)。將上述關系式代入式(2)和式(3)，對于垂直入射至超表面的聲波，其反射角θr為

式(4)表明，五模超表面的反射角θr只與聲速梯度d(c(x)?1)/dx分布有關，而與入射波頻率無關，因此，五模超表面具有寬頻帶特性。

聲波全部透射至超表面內部，超表面與入射介質需滿足特性阻抗匹配[13]，即

式(5)中，z和z0分別為超表面和介質的特性阻抗。有z=ρc，z0=ρ0c0，ρ和ρ0分別為超表面和入射介質的密度。代入式(5)得

這說明調控聲速的同時，密度需要以相反方向變化才能實現阻抗匹配。天然材料的密度和聲速一般同趨勢變化，在聲速變化的情況下，無法保證阻抗不變。因此，要滿足全透射的存在條件，只有人工材料才能實現。

將式(6)代入式(4)，可得反射五模聲超表面的理想密度分布為

式(7)中，L為超表面長度；C0為積分常數，理論上其取值不影響波控能力，但會影響五模材料物性參數的物理實現。

對于各向同性材料，超表面體積模量K0和入射介質體積模量K0滿足

式(7)和式(8)為反射五模超表面的連續密度分布和體積模量分布，密度ρ和體積模量K為空間位置x的線性函數。以式(7)和式(8)為依據，設計合適的五模周期性單胞，獲得離散等效密度和等效體積模量，實現超表面所需的物性參數分布。

2 反射五模聲學超表面尺寸設計

超表面尺寸設計應考慮物理實現的可能性。對于超表面法向厚度h，至少應小于最小入射波長，且希望h越小越實用；對于超表面切向長度L，從擴大有效工作頻率范圍的角度考慮，L越長越好。然而，根據式(7)，厚度h越小或者長度L越大，超表面物性參數梯度越大，物理實現難度越大。超表面切向長度兩端的物性參數最難實現，假設可物理實現的密度范圍為[ρa,ρb]，依據式(7)，厚度h和長度L應滿足式(9)：

同時為保證有效波控，根據采樣定理，長度L需滿足

式(10)中，λ0為最大入射波長。

3 五模超表面定向反射聲學特性仿真

以水下垂直入射的平面聲波為背景場，仿真模擬了五模超表面的定向反射性能。分別模擬了15°、30°和45°三種反射角度的調控，超表面的法向厚度為0.1 m，長度為2 m，入射波頻率在1000～6000 Hz范圍內變化。

超表面下層鋪設背襯板，背襯板為鋼板以模擬剛性邊界，聲波進入超表面后，在下層表面發生反射。仿真聲場邊界為完美邊界層用來模擬無限大空間聲場，采用自由三角形網格劃分模型，最大網格尺寸為入射波長的1/6。

理想五模超表面的密度與體積模量分別由式(7)和式(8)計算得到。然而，連續物性參數的實現受制備工藝等限制，張向東等[14]在五模材料聲學隱身衣的設計中采用了離散的思想，將聲學隱身衣分層設計來近似實現連續物性參數。本文將超表面沿長度方向離散為n個單胞，每個單胞的密度由該單胞形心位置處的密度來表征(如圖2所示)。

圖2 反射五模超表面離散示意圖Fig.2 The physical parameters of re flective pentamode metasurface unit cells

表1～表3分別列出了調控3種反射角的離散超表面的聲速和密度。可以看出，要實現異常反射，對材料參數要求非常苛刻，即要求材料有大的聲速而小的密度，或者小的聲速而大的密度，尤其是超表面兩端的物性參數從物理實現上是最困難的。對比反射角為15°、30°與45°的物性參數，45°反射角的物性參數范圍是最寬的，這是由于調控角度越大，物性參數梯度越大，這與式(7)的理論結果一致。

表1 離散物性參數表(θr=15°)Table 1 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 15°re flection

表2 離散物性參數表(θr=30°)Table 2 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 30°re flection

表3 離散物性參數表(θr=45°)Table 3 The discrete physical parameters of pentamode metasurface with 45°re flection

圖3～圖5分別為入射波頻率為2000 Hz、4000 Hz和6000 Hz時，分別調控3種反射角的散射聲場。可以看出當聲波入射至超表面時，離散單胞提供局域化切向動量，使得相位在空間上產生不同的延遲，從而形成所需的波陣面，得到理論反射聲場。

圖3 定向反射聲場(f=2000 Hz)Fig.3 The acoustic fields of directional re flection at 2000 Hz

圖4 定向反射聲場(f=4000 Hz)Fig.4 The acoustic fields of directional re flection at 4000 Hz

圖5 定向反射聲場(f=6000 Hz)Fig.5 The acoustic fields of directional re flection at 6000 Hz

圖6為入射波頻率在2000～6000 Hz范圍內，仿真的3種定向反射角度(θr=15°、30°、45°)與入射波頻率f的關系圖。水平虛線示值為目標反射角度。可以看出，在2000～6000 Hz較寬的工作頻率范圍內，對于3種角度調控的準確度都比較高，體現了五模超表面的寬頻有效性。

圖6 反射角θr與入射波頻率f關系Fig.6 The relationship between re flection angle and incident wave frequency

4 具有特定聲學特性的五模微結構設計

Norris單胞構型的幾何描述如圖7所示，對于該構型等效模量K主要取決于幾何參數t，等效密度主要取決于幾何參數d和h。采用周期性結構的均勻化理論計算微結構的等效剛度矩陣和密度，利用有限元建立微結構的參數化有限元模型，施加周期性邊界條件，以幾何參數作為優化變量，以表1(15°反射角)中的離散單胞體積模量矩陣C和密度ρ為優化目標，即可獲得所需的微結構參數。

圖7 Norris單胞構型Fig.7 The pentamode structure of Norris

分別對單胞1、6、15、20進行了五模微結構設計，4個單胞構型如圖8所示，設計方案如表4所示。對于單胞1，需要較高的體積模量和較低的密度，因此選擇鋁基材(Em=69 GPa、ρm=2700 kg/m3、vm=0.33)，而單胞20與之相反，鋁基材不能夠滿足其等效物性參數的設計要求，因此選擇模量較低而密度較高的鉛鋅合金(Em=10 GPa、ρm=9000 kg/m3、vm=0.4)。從表4中可以看到，優化得到的單胞等效物性參數與設計目標值非常接近，微結構單胞的等效性質具有較好的五模材料特征。

圖8 五模微結構設計構型Fig.8 The design con figurations of pentamode structures

表4 五模微結構設計方案Table 4 The design solution of pentamode structures

5 結論

以廣義斯奈爾定律為理論依據，對五模聲學超表面的定向反射調控原理進行了理論推導，獲得了五模超表面的理想連續物性參數分布，并給出了五模超表面尺寸設計準則；然后將超表面離散，獲得離散單胞的密度和體積模量，以此為目標，以單胞基本構型的幾何參數為設計變量，進行五模微結構優化設計，采用均勻化理論計算微結構的等效物性參數；最后，為驗證五模超表面的聲波調控能力，采用多物理場仿真軟件仿真模擬了在1000～6000 Hz聲波頻率范圍內，對15°、30°和45°三種角度的定向反射調控，分析了入射波頻率對超表面定向反射性能的影響，仿真結果展現了五模超表面寬頻有效的聲波調控能力以及調控的可靠性和準確性。本文的研究工作為五模聲學超表面的設計和物理實現提供理論指導。

需要指出的是，五模材料的寬頻特性具有上下限。對于低工作頻率，五模微結構的等效特性比較好；而當頻率過高時，微結構不能等效為均質材料，采用均勻化理論計算的微結構等效聲學參數誤差較大，聲學特性較差，會影響調控效果。