習(xí)題靈活變式 實(shí)現(xiàn)融會(huì)貫通

高海軍

摘? ?要：借助對(duì)一道練習(xí)題的解答情況進(jìn)行深度分析和變式拓展，讓學(xué)生感受一題多變、多解歸一、建構(gòu)模型、思想內(nèi)化等解題策略，促進(jìn)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的綜合能力，進(jìn)而提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：等邊三角形;共點(diǎn);變式;模型

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2021）32-0053-03

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容和最基本的思維活動(dòng)形式，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。本文借助一道教材課后習(xí)題解答的深度分析，挖掘內(nèi)在本質(zhì)，靈活變式條件，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、題目呈現(xiàn)

已知 如圖1，△ABD、△AEC都是等邊三角形，求證DC=BE.

本題是新人教版八年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)》第十三章平行四邊形復(fù)習(xí)題鞏固綜合運(yùn)用第12題，是學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形、軸對(duì)稱、等腰三角形、等邊三角形知識(shí)后的一道綜合運(yùn)用題，需要學(xué)生靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定條件來解決，中等難度。

（一）解決策略

思考：如何證明DC=BE，圖形結(jié)構(gòu)上有什么特點(diǎn)？

基本思路：利用學(xué)生已掌握的等邊三角形性質(zhì)，以及圖形特點(diǎn)，容易得到三角形全等的條件，再證明△ADC、△ABE全等即可。

規(guī)范解答：

（二）拓展問題

結(jié)合圖形進(jìn)一步思考，挖掘新問題讓學(xué)生計(jì)算∠BPC的度數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的基本能力。

分析：計(jì)算∠BPC的度數(shù)，可以轉(zhuǎn)化為計(jì)算∠DPB的度數(shù)，由三角形全等可獲得∠ADC=∠ABE，又有對(duì)頂角相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可以推出∠DPB=∠DAB=60°，從而算出∠BPC=120°.

二、共線共頂點(diǎn)變式

如圖2，點(diǎn)C是線段AB上除點(diǎn)A、B外的任意一點(diǎn)，分別以AC、BC為邊在線段AB的同旁作等邊△ACD和△BCE，連接AE交DC于點(diǎn)M，連接BD交CE于點(diǎn)N，連接MN.

反思：此環(huán)節(jié)是學(xué)生在已掌握基本思維和方法的基礎(chǔ)上，通過三個(gè)問題的設(shè)計(jì)，進(jìn)一步鞏固加強(qiáng)學(xué)生對(duì)圖形變換后解決問題和分析問題的能力培養(yǎng)，有助于學(xué)生內(nèi)化為自己的邏輯思維.

三、能力提升變式

如圖3 若BD與AE相交于點(diǎn)P，連接CP，判斷下列結(jié)論正確與否，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”。

此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)的意圖是：對(duì)基本圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單變換，挖掘更深層次的問題，可以很大程度提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性思維和好奇心。通過前面的講解，學(xué)生容易把①②③④⑤問題判斷出來， 問題⑥重點(diǎn)考查學(xué)生的綜合能力，通過三角形全等可推理得到面積相等，由AE=BD可得這兩條邊上的高相等，再結(jié)合角平分線的判定定理，可以證明出CP平分∠APB .

四、共點(diǎn)等腰三角形變式

如圖4，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，

AD、BE相交于點(diǎn)H，連接CH.

求證：（1）AD=BE;（2）HC平分∠AHE;

（3）求∠AHE的度數(shù)（用含α的式子表示）.

（1）證明：

此題設(shè)計(jì)意圖：發(fā)掘共性問題，由特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，可進(jìn)一步提升學(xué)生的思維能力，圖形意識(shí)。

五、小試身手 學(xué)以致用

六、反思解題過程，內(nèi)化數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探尋共性問題

由教材的習(xí)題入手，深入挖掘問題本質(zhì)，通過條件、問題、圖形進(jìn)行變式，發(fā)現(xiàn)它們的共性。它們的本質(zhì)就是共頂點(diǎn)、等線段，全等圖形之間的旋轉(zhuǎn)變換，都可以看成一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)得到另一個(gè)三角形，這一類問題所凸顯出來的共同問題是都可以用邊角邊定理判定兩個(gè)三角形全等。在教學(xué)中，我們學(xué)要會(huì)讓學(xué)生抓基礎(chǔ)圖形，探索已知條件和問題之間的關(guān)系，結(jié)合圖形的基本性質(zhì)，幫助學(xué)生分析問題和解決問題，從而提高學(xué)生的幾何邏輯推理能力。

七、結(jié)語(yǔ)

解題教學(xué)不能就題講題，泛泛而談，應(yīng)努力挖掘題目背景所承載的知識(shí)、思想、經(jīng)驗(yàn)，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。我們?cè)诜治鰡栴}時(shí)，要重視數(shù)學(xué)思想方法的引領(lǐng)作用，在解題過程的反思中，讓學(xué)生真正參與深度思考和交流，不斷地提煉、整合、內(nèi)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成優(yōu)化的經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，然后將這種經(jīng)驗(yàn)遷移到變式的問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、應(yīng)用，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。