核心素養背景下高中數學規則課型教學探究

李琳

摘 ?要：在核心素養的背景下，教師采用規則課型教學，讓學生經歷完整的三個階段的學習，師生共同探究直線與平面平行的判定定理的教學。

關鍵詞：核心素養;規則課型

我們把以高中數學中的法則、公式、公理、定理、數學重要結論和數學基本題的解法等數學規則的教學作為主要教學任務的一類課統稱為高中數學規則課。皮連生教授綜合運用多種理論解釋了廣義知識學習三階段模型為：知識習得階段，知識的鞏固和轉化階段，知識的提取或遷移和應用階段。本文將以“直線與平面平行的判定定理”為例，闡述如何在核心素養的背景下進行高中數學規則課的廣義知識三階段模型的教學。

一、高中數學規則課型的基本特點

美國教育心理學家加涅將人類學習的結果分為五種類型：言語信息、智慧技能、認知策略、動作技能、態度。其中，前四種屬于能力范疇，第五種屬于情感領域。華東師范大學皮連生教授綜合運用多種理論解釋了廣義知識學習的一般過程與條件，并從學習結果和學習過程這兩個維度，提出了廣義知識學習三階段模型，后又進一步發展了廣義知識學與教的一般過程模型，可概括為“六步三階段模型”。具體表述為第一階段：知識的習得階段，包含注意與預期，激活原有知識，選擇性知覺，新知識進入命題網絡四個步驟;第二階段：知識轉化階段，它是指通過變式練習，命題轉化為產生式系統的步驟;第三階段：知識遷移和應用階段，它是指應用習得的概念和規則對外辦事（程序性知識的學與教）或應用習得的概念和規則對內調控（陳述性知識的學與教）。相應的教學過程的六個步驟是：1.引起注意與告知教學目標;2.提示學生回憶原有信息;3.呈現有組織的信息;4.闡明新舊知識的關系，促進理解;5.引起學生的反應，提供反饋與糾正;6.提供技能應用的情境，促進遷移。皮連生教授還指出完整的教學過程必須符合六步三階段模型，缺少任何一步，或者學習不能發生，或者學習雖然發生，但不能轉化或持久保持。

二、教學探究

（一）教材

新教材[人教A（2019）版數學必修第二冊]在直線與平面平行（包含判定定理和性質定理）的設計安排上與之前的版本有區別，新教材更加注重模塊學習，把直線與平面的平行編寫在一個小節即“8.5.2直線與平面平行”中，更有利于學生系統地理解并學習知識。本堂課選自8.5.2的第一課時。通過前面對基本立體圖形，立體圖形的直觀圖，簡單幾何體的表面積與體積，空間點、直線、平面之間的位置關系的教學，學生已經對空間概念及圖形，空間點、線、面的位置關系已有了初步的掌握，但還不足以具體刻畫空間中點線面的位置關系。而且，空間中直線與平面的平行關系是非常重要的關系，不僅應用廣泛，而且是后續學習空間立體幾何的基礎。因此本節內容在立體幾何教學中起著承上啟下的作用，同時還具有良好的示范作用，具有重要的意義與地位。

（二）教學內容

本節課的主要內容是直線與平面的判定定理的探究與發現、概括與證明、練習與應用，通過觀察，直觀感知，操作確認，思辨論證，度量計算的認知過程展開。先通過直觀感知和操作確認的方法，概括出直線與平面平行，然后再對歸納出的直線與平面平行的判定定理做出論證或證明，因為教材對此判定定理的證明不做要求，所以我們可以根據學情分情況處理。通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學生進一步了解空間的直線、平面平行關系的基本性質及判定方法，學會準確地使用數學三種語言表述幾何對象的位置關系，并能解決一些簡單的推理論證及應用問題。

直線與平面平行的教學乃至整個立體幾何的教學都是以培養學生的邏輯思維能力和空間想象力為主要目標，培養和發展學生的幾何直觀核心素養。注重對典型實例的觀察、分析，給學生提供動手操作的機會，引導學生進行歸納、概括活動，在經歷觀察、實驗、猜想等活動后，再進行論證，使學生在問題驅動下進行更加主動的思維活動。經歷從實際背景中抽象出數學模型、從現實的生活空間中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程。不僅可以更好地培養學生數學抽象核心素養，讓學生更好地理解數學命題，形成一般性思考問題的習慣，還可以培養學生的數學建模核心素養，讓學生掌握數學建模的過程，積累用數學語言表達實際問題的經驗，提升學生的應用能力和創新意識。

歸納得出直線與平面平行的判定定理，對于培養學生的空間感與邏輯推理能力起到重要作用，尤其是對于后續的面面平行及線面垂直和面面垂直的判定定理和性質定理的學習都具有重大作用。線面平行的判定蘊含了化歸與轉化的數學思想方法。

（三）教學目標

1.理解直線與平面平行的判定定理;

2.學生通過觀察圖形，借助已有知識，掌握直線與平面平行的判定定理;

3.進一步培養學生觀察、探究、發現問題的能力及空間想象能力和邏輯思維能力。

（四）教學重難點

直觀想象是高中數學六大核心素養之一，它借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題。通過本節課的教學，培養學生運用圖形和空間想象思考問題的習慣，提升學生的數形結合能力，建立良好的數學直覺，最終達到培養學生直觀想象核心素養的目的。

本節課的教學重點是通過直觀感知、操作確認，歸納出直線與平面平行的判定定理，難點是把空間問題（直線與平面的平行關系）轉化為平面問題（直線間的平行關系），即直線和平面平行的判定定理的探索過程及其應用。

（五）教學過程

1.習得階段

習得規則，核心是對規則的理解，包括規則是什么以及為什么是這樣。有例規法和規例法兩種習得方式。

由于列舉正例涉及直線與平面平行的判定，這是判定定理的內容，所以我們采用概念同化學習的方式。對本節課有較大影響的是空間點、線、平面之間的位置關系，而其中直線與平面的位置關系讓學生抓住線面平行的關鍵點，為發現判定定理做鋪墊。我們可以設置以下圖表讓學生完成。

問題1：

位置關系 直線在平面內 直線與平面

相交 直線與平面

平行

符號表示

圖形表示

公共點的個數

通過以上圖表的完成，學生準確迅速的回憶空間中直線與平面的位置關系，并為引出我們本節課的教學內容做鋪墊。

問題2：直線與平面的位置關系中，平行是最重要的關系之一，那么我們怎樣判斷直線與平面平行？

學生A：直線與平面沒有公共點。

教師：非常好！根據定義，我們只需判定直線與平面沒有公共點就能得知直線與平面是平行的。但是我們在解題時也這樣判定的話會有什么困難嗎？

學生思考……

學生B：由于直線和平面都是無限延展的，我們在解題或畫圖時不好保證直線與平面沒有公共點。

教師對學生B的回答表示認可和贊賞，從而引導學生進行以下兩個實驗操作。

（直觀感知）實驗1：當（矩形）門扇繞著墻上的一邊轉動時，觀察門扇轉動的一邊l與墻所在的平面位置關系如何？

（操作確認）實驗2：將一塊矩形硬紙板ABCD平放在桌面上，把這塊紙板繞邊DC轉動。在轉動的過程中，DC的對邊AB與桌面有公共點嗎？邊AB與桌面平行嗎？

通過直觀感知和操作確認，勾起學生的求知欲望，由已有知識出發，到為什么要解決這個問題，怎么解決？激發學生的思考。教師引導探討，讓學生養成思考的習慣。

問題3：如果直線a與平面α內的直線b平行，是否可以保證直線a與平面α平行？

學生C：不能。通過剛才轉動紙板我發現當硬紙板的AB邊轉動到桌面內時，AB邊與DC邊是平行的，但是AB邊與桌面不平行。

問題4：如果平面α外的直線a與平面α內的直線b平行，那么直線a與平面α平行嗎？

有了這些問題的鋪墊，學生很自然就能歸納出直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。

設計意圖：引導學生思考，探索，學會歸納，總結。在學生初步感知新定理之后，教材采用直陳式直接呈現新定理。由直觀感知得出結論，這一部分可以通過反證法來證明該定理，說明猜測，論證的完整性，不過不做詳細討論。對語言的表達，一定要強化圖形語言，符號語言的表達，接下來教師引導學生用數學的三種語言對直線與平面平行的判定定理進行呈現和轉化。

直線與平面平行的判定定理

文字語言 符號語言 圖形語言

如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行

2.轉化階段

學習樣例，幫助學生明確運用規則辦事的程序或步驟。通過變式練習，幫助學生初步熟悉運用規則辦事的程序與步驟，即將規則轉化為對外辦事的技能。將學習樣例與變式練習連在一起更有利于高中數學教師的習慣，因為有許多規則的教學過程需要反復進行多次的學習樣例和變式練習。因此，在教學中，我們設計了以下練習和例題及變式。

練習1：辨析正誤：

（1）若a//b，b?α，則a//α

（2）若a//b，a?α，則a//α

（3）若a?α，b?α，則a//α

（4）若a//b，b?α，a?α，則a//α

（5）若一條直線平行于一個平面內的無數條直線，則該直線平行于此平面。

例1（人教2019A版課本137頁例2） 求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊的平面。

已知：如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是 ?AB，AD的中點。

求證：EF ∥平面BCD。

變式練習1：

若上題中的條件“E、F分別是AB、AD的中點”改為“E、F分別在AB、AD上且 ? ? ? = ? ? ? ”，那么EF是否與平面BCD平行？請說明理由。

教師總結應用判定定理證明直線與平面平行的方法和步驟。

此時學生明確了利用判定定理證明直線a和α平面平行的基本步驟：

第一步：在平面內尋找（或做出）一條直線b;

第二步：證明直線b與a直線平行;

第三部：根據判定定理下結論。

這個基本步驟是學習判定定理的重點，也是學習規則的關鍵。教學中，教師在講解規則的時候應幫助學生歸納概括運用規則解決問題的具體步驟。

變式練習2：

⑴如圖，正方體中，E為DD1的中點，

求證：BD1//平面AEC。

⑵如圖，在正方體中ABCD-A'B'C'D'，E、F分別是棱BC與C'D'的中點，求證：EF//平面BDD'B'。

⑶如圖，在三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點。判斷A'B與ADC'平面的位置關系，并證明你的結論。

設計意圖：這一階段主要是幫助學生把判定定理的文字語言轉化為符號語言，通過例1的教學，學生更加明確了該怎樣運用規則去判斷直線與平面平行，后面的變式練習幫助學生在變化的情境中練習和運用規則，獲得熟練解決問題的技能。對于變式練習2，有的是在所給的圖形中能在有關平面內直接找到需要的平行線，另一種是不能直接找到，需要做出輔助線，對于后一種情境，教師可以根據學生的能力判斷是否需要在變式練習2之前提供一個例題，幫助學生總結作輔助線的方法。

3.知識遷移和應用階段

知識遷移和應用階段即為運用數學規則對外辦事階段。

本節課的總結應幫助學生形成對直線與平面的位置關系完整的知識體系以及教材中蘊含的數學思想方法。由于課時有限，這個階段我們通過提供課外作業或在后續課程中繼續完成。作業實際上是提供技能應用的情境（相似的和不同的情境），促進遷移。

三、教學反思

（一）立足核心素養，明確核心素養的內容

本節課包含的核心素養主要有：數學抽象，（下轉第26頁）（上接第24頁）邏輯推理，直觀想象。數學抽象在本節課教學中主要是從圖形與圖形關系中抽象出一般規律和結構，并且用數學符號或者數學術語予以表征。數學抽象是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反應了數學的本質特征。本節課通過數學抽象核心素養的培養，學生能夠更好地理解數學的概念和定理，形成一般性思考問題的習慣。邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證;通過邏輯推理核心素養的培養，學生能夠發現和提出命題，掌握推理的基本形式，表述論證的過程，理解數學知識之間的聯系，能夠理解一般結論的來龍去脈、形成舉一反三的能力。直觀想象是指借助空間想象感知事物的形態與變化，利用幾何圖形理解和解決數學問題，本節課教學中主要是利用圖形描述數學問題，建立形與數的聯系;通過直觀想象核心素養的培養，學生能夠養成運用圖形和空間想象思考問題的習慣，提升數形結合的能力，建立良好的數學直覺。本節課的設計正是從直觀感知、操作確認，然后進行思考交流、嚴謹的邏輯推理，從而抽象出直線與平面平行的判定定理。

（二）明確課型特點，揭示定理的發現過程

直線與平面平行的判定屬于規則，因此本節課采用規則課型的模式教學，規則屬于智慧技能，因此也是程序性知識，對于規則的學習通常要經歷完整的三個階段：習得階段，轉化階段，遷移和應用階段。其中，第一個階段的核心是對規則的理解，包括規則是什么以及為什么是這樣的，第二個階段是通過變式練習將規則轉化為對外辦事的技能，第三個階段是運用規則對外辦事。在這三個階段中，第一、二階段一般要在課堂內完成，第三階段既可在課內完成，也可在課外完成，甚至是在后續的課程中完成。本節課的教學圍繞三個階段展開，首先是讓學生明確規則，即直線與平面平行的判定定理是什么以及為什么是這樣，少了條件是否能成立，其次通過例題和練習來運用規則即直線與平面平行的判定定理，并明確運用規則辦事的程序或步驟，即解題的規范性。最后是規則的遷移和應用階段，由于課堂時間有限，本階段將在課后完成。

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（作者單位：廣州市第七十五中學，廣東 ? 廣州 ? 510000）