九自由度上肢康復機構及其運動學分析研究

梁輝，張廣興，王術徽，孔祥旭，王輝，汪傳生,b

(青島科技大學 a.機電工程學院; b.山東省高分子材料先進制造技術重點實驗室，山東 青島 266061)

0 引言

近年來，隨著我國人口老齡化進程不斷加快,腦卒中患者也不斷增加。腦卒中引起偏癱帶來的肢體運動障礙不僅降低了患者的生活質量，而且給患者的生理和心理帶來了極大的痛苦[1-2]。傳統的人工治療方法效率低、勞動強度大，且不適合在家里操作。在現今醫學領域，康復訓練機器人利用機械手臂帶動患肢在空間內進行康復訓練運動，模擬日常生活中的手臂運動規律，通過控制實現手臂各個關節的運動訓練、肌肉鍛煉以及神經功能的恢復訓練，使機器人與人的手臂協調運動[3-4]，取得了顯著的效果。

本文結合并聯結構和串聯結構各自的優點，設計出一種適合不同人群的上肢康復機構。該康復機構既有串聯機構運動空間大的優勢，又有并聯機構的剛度大、支撐能力強等特點[5-6]。該結構可穿戴在患者的上肢上，通過控制調節能夠很好地模擬人體上肢運動，然后帶動患者的上肢運動，使患者康復訓練達到良好效果。該機構結構簡單，價格低廉，具有安全性、經濟型和實用性。

1 機構介紹及其自由度計算

1.1 機構特點

上肢康復機構可幫助偏癱患者進行肢體的康復訓練，為了使患者康復過程更加安全，故設計機構的自由度至少與上肢自由度相同。本康復機構是將3-RPC、3-RPR和 3-PSR 并聯結構串聯成最終的3層康復結構，可實現上肢7個自由度的康復運動。下層部分 3-RPC 機構仿制的是機械臂的大臂，通過控制下層部分在x、y、z三軸上運動，可以實現肩部的二維轉動，進行肩部的康復；中間部分3-RPR 是球面并聯機構，仿制的是機械臂的肘部，通過控制3個方向的轉動，可以進行大臂的回轉和肘部的轉動，實現肘部伸展、收縮康復訓練，其中的回轉是將大臂部分不能完成的肩部回轉移到中間部分。上層部分和中間部分結合使最終活動平臺和中下過渡層之間的距離為前臂。上層部分3-PSR 仿制的是腕部，人手抓握上活動平臺，通過控制輸出3個方向的轉動，可以實現腕部屈伸、內收、外收以及內旋、外旋等康復訓練。大臂結構和前臂結構的尺寸設計是否合理，對機構實現其康復性能都有一定的影響，所以通過控制大臂結構移動副的伸縮以及調節腕部平臺桿和主動桿之間的角度，可以改變其尺寸大小，以適應不同人群的需要，使康復過程更加安全有效。該康復結構的模型及其結構簡圖如圖1所示。

圖1 九自由度康復結構模型圖及結構簡圖

1.2 機構的自由度計算

如圖2所示，大臂機構由1個固定平臺、1個中下過渡層以及連接動靜平臺的3條相同支鏈組成，每條支鏈通過轉動副R與中下過渡層聯接，通過轉動副R與固定平臺聯接，中間是移動副P，作為驅動。圖中機構3個基面轉動副的軸線是關于中心O點呈切線分布的，上、下平臺運動副的連線都是等邊三角形[7-9]。

圖2 大臂結構圖

大臂部分被限制的是3個方向的轉動，故該機構階數為3。因此，計算得到該機構的自由度數為：

3(8-9-1)+9=3

(1)

如圖3所示，肘部機構由1個中下過渡層、1個中上過渡層以及連接動靜平臺的3條相同支鏈組成，每條支鏈通過轉動副R與中上過渡層聯接，通過轉動副R與中下過渡層聯接，中間是移動副P，作為驅動，圖中機構3個基面轉動副的軸線是關于中心O點呈切線分布的，上下過渡層運動副的連線都是等邊三角形。

圖3 肘部機構模型圖與部分簡圖

中間肘部機構被限制的是3個方向的移動，故該機構階數為3。該機構的自由度數為：

(2)

如圖4所示，腕部機構由1個上活動平臺、1個中上過渡層以及連接活動平臺的3條相同支鏈組成，每條支鏈的平臺桿和主動桿通過轉動副R聯接，各支鏈通過移動副P與中上過渡層聯接，中間是球面副S，上過渡層運動副的連線是等邊三角形。

圖4 腕部機構圖

腕部機構被限制的是3個方向的移動，故該機構階數為3。該機構的自由度數為：

3(8-9-1)+9=3

(3)

由式(1)-式(3)知，九自由度上肢康復結構的自由度為3+3+3=9。

2 運動學分析

把并聯機構廣泛地運用到上肢康復機構中，首先必須解決3層并、串結構的分析問題，在此通過串聯機構的特性對該康復結構進行位置分析。由于大臂部分的輸出層是中間肘部的輸入層，中間肘部的輸出層又是腕部的輸入層，故對該機構分成3部分分析，最后再合并，相比較傳統對整體結構求解，大大減少了計算量。

2.1 位置正解

a)對大臂部分進行分析

如圖2所示，以等邊三角形B11B12B13中心處為坐標原點O，以垂直面B11B12B13為z軸，以B13O為y軸，建立固定坐標系，再在中間平臺部分建立新坐標系，中下坐標系中，以運動副B31、B32、B33軸線交點為O1，以過點O1且垂直面B31B32B33為z′軸，以過點O1且垂直面B31Oz′為x′軸，y′軸在面B31Oz′中。固定坐標由中下坐標系繞z軸旋轉-60°，再沿x軸、y軸、z軸平移得來。

在已知中下坐標系O1與固定坐標系O的位置矢量后，由于B21、B22、B23在新坐標系的位置不固定，所以換一種解法，利用等效法進行幾何計算。對于OO1向量可以選取沿x、y、z軸的3條向量，即機構先沿z軸移動z1，再沿y軸移動y1，最后沿x軸移動x1。

機構先沿z軸到達指定位置，設上、下三角邊長分別為a、b，且均為等邊三角形，則

(4)

如圖5所示，沿y軸到達指定位置，此時

圖5 沿y軸移動圖

(5)

如圖6所示，在沿x軸到達最后位置，此時

圖6 沿x軸移動圖

(6)

當已知各桿長度，由式(6)可以求得O1在固定坐標系的位置，則兩坐標系關系為：

OR=T1O1R+P1

(7)

P1=[x1y1z1]T

中間肘部是球面并聯機構，圓環的中心點為O2，如圖7所示，中軸Wi在中下坐標系中位置為：

圖7 球面多邊形圖

1)W1的坐標余弦

(8)

2)W2的坐標余弦

W2z=sinα12cosθ12

(9)

3)W3的坐標余弦

W3z=sinα13cosθ13

(10)

由機構約束條件

Wi·Wj=cosθ1i,j=1,2,3且i≠j

(11)

其中θ1為固定值。

可以求出Wi(i=1,2,3)在中下坐標系的值，以O2為坐標原點，以環的軸線為z″軸，以O2W1為x″軸，y″軸由右手螺旋法則確定。又知中間肘為球面并聯機構，則O1O2為定值，設為h1。由式(12)知

(12)

其中α'、β'、γ'是中上過渡層相對于中下過渡層的轉角。已知T2，則中上層相對于中下層各轉角可知，即

O1Ri=T2O2Ri+P2

(13)

b)對前臂部分進行分析

由于滑塊在環上運動(圖4)，可以看成繞環軸線運動的轉動副，主動桿長度為L1，平臺桿長度為L2，平臺桿與動平臺之間夾角為θ2，均為固定值。動平臺上以P點為原點，垂直動平臺的為zp，以PV1方向為xp，yp由右手螺旋法則確定。其中O2B4i與x″夾角為βi，ViB5i與B5iB4i夾角為γi，圓環半徑為R2，上活動平臺半徑為R3。

球鉸之間的距離在坐標系O2-x″y″z″的值與在坐標系P-xpypzp的值是相等的。

(14)

Si在O2-x″y″z″中的位姿為

Si在上活動平臺坐標系下位姿為

PSi=PVi+ViB5i+B5iSi=[PxS,iPyS,iPzS,i1]T，

pxS,i=[L1sin(γi-θ2)-L2sinθ2]R3cosφi，

pyS,i=[L1sin(γi-θ2)-L2sinθ2]R3sinφi，

pzS,i=-L1cos(γi-θ2)-L2cosθ2。

令mi為Si到Si+1的距離，則

(15)

將式(14)中左右兩邊平方得：

(16)

令：

(17)

在式(17)中替換關于(γ1-θ2)的函數后變成下面方程式：

(18)

求解得

(19)

P點在O2-x″y″z″中的坐標為(xP,yP,zP)，P點坐標有如下約束方程：

(20)

對每一組γi(i=1,2,3)，可以得到(xP,yP,zP)的兩組解，但γi的解是成對出現，且ni2中cos(γi-θ2)=cos(θ2-γi)，所以最多有16組(xP,yP,zP)的解，對應16個平臺位置[8]。

c)求平臺方位

設旋轉矩陣：

(21)

齊次變換矩陣如下：

(22)

其中O2P=[xP,yP,zP]T。

根據連桿的連接關系，利用變換矩陣可得：

O2TPPSi=Si

(23)

把式(20)、式(21)代入式(22)中得到9個線性方程：

(24)

(25)

(26)

由式(24)-式(26)可求出旋轉矩陣O2TP，即：

O2R=T3PR+P3

(27)

P3=[xpypzp]T

由式(7)、式(13)和式(27)可知：

(28)

其中：T=T1T2T3；P=T1P2+T2P3+P1。

則九自由度上肢康復機構的位置正解求解完成。

2.2 位置反解

當已知上活動平臺和中上過渡層的位姿后，可以求出上活動平臺相對于中上過渡層的6個位姿參量。對上層進行分析，求出上活動平臺Vi和B5i在中上坐標系的位置：

O2Vi=T3·PVi+P3

O2B5i=T3·PB5i+P3

(29)

根據3條支鏈對稱分布，轉動副B5i軸線平行于過平臺桿與上活動平面的切線，且和主動桿軸線垂直，同時也和平臺桿軸線垂直，有以下公式：

(xP-cosβi)(xV,i+1-xV,i+2)+

(yP-sinβi)(yV,i+1-yV,i+2)+zP(zV,i+1-zV,i+2)=0

(xB5i-cosβi)(xV,i+1-xV,i+2)+

(yB5i-sinβi)(yV,i+1-yV,i+2)+zB5i(zV,i+1-zV,i+2)=0

(30)

P1=OO2-P2，OO2=[xO2yO2zO2]T

(31)

其中P1向量為中下過渡層相對于固定坐標系的位置。根據式(6)即可求出各桿li(li>0)。至此該機構的9個輸入量都已求出。位置反解求解完成。

3 運動仿真

本康復機構利用三維繪圖軟件SolidWorks對九自由度上肢康復結構建模(圖1)，然后運用其Motion模塊對該康復機構進行運動仿真。令上、下正三角形邊長a=180 mm，b=125 mm，固定角度θ1和θ2分別為120°和150°，主動桿和平臺桿的長度分別為L1=30 mm，L2=105 mm，圓環半徑和上活動平臺半徑分別為R2=95 mm，R3=24 mm。對康復機構添加電機驅動和約束，通過運行該康復機構，得到上活動平臺質心位置的位移、速度、加速度的測試結果如圖8-圖10所示。

圖8 上活動平臺位移曲線

圖9 上活動平臺速度曲線

圖10 上活動平臺加速度曲線

由圖8-圖10可以看出，上活動平臺在運動過程中，速度平穩，加速度并沒有出現突變的情況，驗證了該康復結構運動的穩定性和可行性。

4 結語

提出一種九自由度上肢康復結構，分析了該結構的特點，對該機構進行了運動學正反解研究，利用分步求解法，將機構整體拆分成3部分，再分別求解整合，并運用了坐標變換和球面解析理論對康復機構進行求解。這種求解方法相比較傳統求解整體結構的方法可以簡化計算量。通過運動仿真，得到末端上活動平臺的位移、速度、加速度曲線圖，驗證了該結構設計的運動的合理性。本次研究對以后多層串并聯機構的位置分析具有一定的參考意義。