蜂窩胞壁厚度與邊長對等效模型計算精度的影響

康洪軍，江蘭馨，王明猛

(1.中車唐山機車車輛有限公司 產品研發中心，河北 唐山 063000;2.西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，四川 成都 610031)

0 引言

近年來,隨著車輛輕量化技術的發展,鋁蜂窩板結構以其特輕的質量、良好的強度與剛度以及降噪等特性在國外軌道車輛尤其是高速列車(如磁浮列車)上開始得到應用,并顯示出廣闊前景,在國內也受到了較大的關注。

鋁蜂窩夾層板結構多樣，可通過設計其面板厚度、芯層高度、蜂窩胞壁厚度和蜂窩胞體邊長等參數并進行實驗以提高其力學性能。當前的工程軟件如ANSYS、NASTRAN中沒有專門的蜂窩結構單元，若使用蜂窩的精確模型仿真車體，則工作量和計算量過大。所以，在進行鋁蜂窩車體仿真計算時只能采用三維實體模型或等效板模型[1]。其中三維實體模型計算精度較高，但是計算量大；等效板模型計算量小，應用更為廣泛。當前蜂窩夾層板的等效板模型有Reissner理論模型[2-3]、蜂窩板理論模型和層合板低階剪切理論模型。分析以上等效理論可發現，正六面體蜂窩結構的胞壁厚度與邊長的比值對等效模量、等效密度和等效泊松比均有影響。以上理論研究并沒有考慮蜂窩胞壁厚度與邊長比值對不同等效板模型計算精度的影響，但在實際應用中胞壁厚度與邊長之比對等效板模型計算精度的影響規律是不一致的。研究蜂窩夾層板長厚比對等效板模型計算精度的影響規律，對于含蜂窩夾層板用于車體計算時等效模型的選擇方面有著重要的影響。

本文首先歸納了芯層均勻壁厚正六邊形鋁蜂窩夾層板的等效板模型，包括Reissner理論模型、蜂窩板理論模型和層合板低階剪切理論模型；然后針對自由邊界下的不同胞壁厚度的蜂窩夾層板，將等效板模型的模態分析結果與精細化模型進行對比，分析胞壁厚度與邊長之比值比對模態頻率計算精度的影響；最后，總結了胞壁厚度與邊長之比對等效板模型動力學計算精度的影響規律，為含蜂窩夾層板構件的計算提供參考。

1 正六邊形鋁蜂窩夾層板的等效模型

在鋁蜂窩夾層板結構中，蜂窩與面板之間膠層厚度小、質量輕且不是主要承載件，故在進行蜂窩精確建模時忽略膠層的影響。本文主要研究芯層均勻壁厚的正六邊形鋁蜂窩夾層板的簡化板模型。圖1為蜂窩夾層板的幾何參數：hf為上、下面板厚度；hc為芯層厚度；H為總厚度；t為蜂窩胞壁厚度；l為蜂窩胞體邊長。

圖1 蜂窩夾層板簡易模型

本文研究鋁蜂窩胞壁厚度與邊長之比對蜂窩夾層板等效模型計算精度的影響時，保持蜂窩胞體邊長不變，通過改變胞壁厚度來探究兩者之比對等效模型計算精度的影響。胞壁厚度與邊長之比為λ=t/l。圖2為蜂窩夾層板的精細化有限元模型。

圖2 蜂窩夾層板精細化有限元模型

蜂窩夾層板中，面板和蜂窩芯材均采用牌號為6A02的鋁材。材料6A02常規力學性能參數如表1所示，蜂窩夾層板仿真結構組合類型如表2所示。

表1 材料6A02常規力學性能參數

表2 蜂窩夾層板結構參數仿真組合類型 單位：mm

1.1 芯材均質化

芯層均質化是將精細化模型的蜂窩芯層等效為等厚度實體芯層。假設芯層結構極軟，僅僅能夠抵抗橫向切應力，忽略其彎曲剛度和面內剛度；因其上、下面板極薄，假設上、下面板服從Kirchhoff 假設，只能承受面內應力，忽略其抵抗橫向切應力的能力[4]。根據Gibson提出的胞元材料理論，在進行分析時將其簡化為線彈性Bernoulli-Euler梁，則可將蜂窩芯層等效為正交各向異性的均質化材料，材料參數計算公式如下：

(1)

式中：Es、Gs、μs、ρs分別為蜂窩芯層結構材料的彈性模量、切變模量、泊松比和密度；Ecx、Ecy、Ecz分別為蜂窩芯層均質化后等效的3個主方向的彈性模量；Gcxy、Gcxz、Gcyz為蜂窩芯層均質化后等效的面內切變模量；μcxy、μcxz、μcyz為蜂窩芯層均質化后等效的泊松比；ρc為蜂窩芯層均質化后等效的芯層密度。

1.2 Reissner理論模型

Reissner理論等效模型是將芯層均質化后的蜂窩夾層板等效為與原模型不等厚的單層板。假設表層處于薄膜應力狀態，忽略芯層平行于xy面內應力分布，由于在芯層和表面中z方向的應力極小，故忽略z方向的應力[4]。根據以上假設，Reissner理論等效模型的基本參數計算公式如下：

(2)

式中：tr、ρr、Er、μr分別為Reissner理論等效模型等效后的厚度、密度、彈性模量和泊松比；Ef、μf、ρf分別為蜂窩夾層板面板材料的彈性模量、泊松比和密度。

1.3 蜂窩板理論模型

蜂窩板理論將整個蜂窩夾層板等效成等剛度、同尺寸、等厚度的正交各向異性板。利用哈密爾頓原理可得出蜂窩夾層結構的等效參數[5]，根據以上原理，蜂窩板理論模型的基本參數計算公式如下：

(3)

式中：Ex、Ey、Gxy、Gxz、Gyz、μxy、ρr分別為蜂窩板理論模型等效后的彈性模量、切變模量、泊松比和密度。其中中間變量計算公式如下：

其中

1.4 層合板低階剪切理論模型

層合板低階剪切理論是將芯層均質化后的蜂窩夾層板等效為與原板相同尺寸且層間位移低階連續的3層剪切板，等效板的第1層和第3層為各向同性，中間層為正交各向異性[6]。上、下面板參數為已知鋁板參數、芯材參數為均質化后芯層參數，利用ANSYS中復合層合板理論對91號單元進行建模，低層合板理論模型的基本參數計算公式如下：

(4)

式中：E′、μ′、ρ′分別為鋪層建模時第1層和第3層材料的彈性模量、泊松比和密度；E″x、E″y、E″z為鋪層建模時中間層材料的3個方向的彈性模量；G″xy、G″xz、G″yz為中間層材料的面內切變模量；μ″xy、μ″xz、μ″yz為中間層材料的3個主方向的泊松比；ρ?為中間層材料的等效密度。

2 蜂窩結構胞壁厚度與邊長之比對等效模型的影響分析

運用有限元計算軟件ANSYS對精細化模型和相應等效模型進行自由邊界下的模態計算，將等效模型的模態計算結果與精細化模型計算結果做誤差分析。各模型建模過程中，面板和芯層厚度、胞體邊長不變，改變蜂窩胞壁厚度，分析λ對等效模型計算精度的影響。

進行精細化模型建模時，蜂窩夾芯層與上、下面板均采用殼單元建模。進行芯層均質化后的理論模型建模時，芯層采用實體單元(Solid185)建模，上、下面板采用殼(Shell181)單元建模。Reissner理論模型采用均質板模，蜂窩板理論模型采用lamina板建模，層合板低階剪切理論模型采用復合材料層合板模塊建模。仿真計算時采用的蜂窩夾層板幾何尺寸為500 mm×500 mm，蜂窩胞體邊長l=6 mm,蜂窩胞壁厚度t=0.1 mm、0.15 mm、0.2 mm、0.25 mm、0.3 mm、0.35 mm。

通過式(1)計算不同胞壁厚度下芯層均質化的材料參數，并且建立不同胞壁厚度下與精細模型對應的均質化模型。在自由邊界下，計算精細化模型與均質化模型的前4階模態。表3為精細化模型自由邊界下前4階模態頻率值，圖3為t=0.2 mm的精細化模型的陣型圖。分析不同λ下，均質化等效模型與精細化模型的誤差值，結果如表4所示。

表3 精細化模型自由邊界下的模態頻率

圖3 t=0.2 mm的精細化模型陣型圖

表4 不同t下均質化模型的模態頻率

通過式(2)計算不同胞壁厚度下Reissner理論模型的材料參數，在自由邊界下，計算Reissner理論模型的前4階模態頻率，并將其結果與精細化模型的模態結果相對比，分析不同λ下Reissner等效模型與精細化模型的誤差值，結果如表5所示。

表5 不同t下Reissner模型的模態頻率

通過式(3)計算不同胞壁厚度下蜂窩板理論等效模型的材料參數。在自由邊界下，計算蜂窩板理論等效模型的前4階模態，并將其結果與精細化模型的模態結果相對比，分析不同λ下蜂窩板等效模型與精細化模型的誤差值，結果如表6所示。

表6 不同t下蜂窩板模型的模態頻率

通過式(4)計算不同胞壁厚度下層合板低階剪切理論模型的材料參數。在自由邊界下，計算層合板低階剪切理論模型的前4階模態，并將其結果與精細化模型的模態結果相對比，分析不同λ下層合板等效模型與精細化模型的誤差值，結果如表7所示。

表7 不同t下層合板低階剪切模型的模態頻率

將胞壁厚度不等的各等效模型的計算結果與相應精細化模型進行對比，將其誤差絕對值繪制成折線圖，如圖4所示。

圖4 各等效模型誤差絕對值

由圖4可以觀察得到蜂窩胞壁的厚度變化對均質化等效模型的模態計算精度基本無影響，前4階的計算誤差絕對值維持在1%以下，誤差主要來源為模型簡化時計算量的簡化。胞壁厚度的變化對層合板低階剪切理論模型的模態計算精度影響不大，前4階的計算誤差絕對值維持在3%～6% 的范圍內。在t≤0.2 mm時，層合板低階剪切理論模型的計算優于蜂窩板理論等效模型；在t≤0.15 mm時，層合板低階剪切理論模型的計算優于Reissner和蜂窩板理論等效模型。Reissner理論等效模型的模態計算精度隨著胞壁厚度的增大而減小，并隨著胞壁厚度的增加計算精度趨于穩定，在t=0.1 mm時，Reissner模型的精度最低，當t≥0.15 mm時，Reissner理論等效模型有較好的計算精度。同樣，蜂窩板理論等效模型的模態計算精度也隨著胞壁厚度的增加而減小，并隨著胞壁厚度的增加計算精度趨于穩定，在t≥0.15 mm時，其計算精度維持在5% 左右，在胞壁厚度在0.2 mm≤t≤0.35 mm時，Reissner等效模型精度為板殼類模型中最高的，精度誤差<2%。

3 結語

對蜂窩不同胞壁厚度與邊長之比的各個理論等效模型與精細化模型模態計算結果比較可得出以下結論：

1)不同胞壁厚度與邊長的比值下，均質化理論等效模型模態計算結果精度最高，與精細化模型對比誤差<1%。

2)Reissner理論等效模型和蜂窩板理論等效模型模態的計算精度隨著胞壁厚度與邊長比例的增大而減小，在λ≥0.025 mm時，兩種理論模型前4階模態的誤差<10%。蜂窩板理論等效模型的精度低于Reissner理論等效模型。

3)層合板低階剪切理論模型的模態計算精度隨胞壁厚度與邊長的比值變化基本不變，與精細化模型的計算誤差維持在5%左右。